支持向量机课件

支持向量机，一种线性和非线性数据有前途的新划分类方法。巧妙利用向量内积的回旋，通过将非线性核函数将问题变为高维特征空间与低维输入空间的相互转换，解决了数据挖掘中的维数灾难。由于计算问题最终转化为凸二次规划问题，因此挖掘算法是无解或有全局最优解。第一页第二页，共30页。支持向量机定义所谓支持向量机，顾名思义，分为两个部分了解：一，什么是支持向量（简单来说，就是支持或支撑平面上把两类类别划分开来的超平面的向量点）二，这里的“机（machine，机器）”便是一个算法。在机器学习领域，常把一些算法看做是一个机器，如分类机（当然，也叫做分类器），而支持向量机本身便是一种监督式学习的方法，它广泛的应用于统计分类以及回归分析中。第二页第三页，共30页。SVM的描述目标：找到一个超平面，使得它能够尽可能多的将两类数据点正确的分开，同时使分开的两类数据点距离分类面最远。解决方法：构造一个在约束条件下的优化问题，具体的说是一个约束二次规划问题(constrainedquadraticprograming),求解该问题，得到分类器。第三页第四页，共30页。概述第四页第五页，共30页。1.线性可分情形第五页第六页，共30页。线性可分情形最大边缘超平面(MMH)边缘：从超平面到其边缘的侧面的最短距离等于到其边缘的另一个侧面的最短距离，边缘侧面平行于超平面第六页第七页，共30页。分类面与边界距离(margin)的数学表示:分类超平面表示为：Class1Class2m数学语言描述第七页第八页，共30页。一、线性可分的支持向量(分类)机首先考虑线性可分情况。设有如下两类样本的训练集：

线性可分情况意味着存在超平面使训练点中的正类和负类样本分别位于该超平面的两侧。如果能确定这样的参数对（w,b）的话,就可以构造决策函数来进行识别新样本。第八页第九页，共30页。线性可分的支持向量(分类)机问题是：这样的参数对（w,b）有许多。解决的方法是采用最大间隔原则。最大间隔原则：选择使得训练集D对于线性函数(w·x)+b的几何间隔取最大值的参数对(w,b)，并由此构造决策函数。在规范化下，超平面的几何间隔为于是，找最大几何间隔的超平面表述成如下的最优化问题：(1)第九页第十页，共30页。线性可分的支持向量(分类)机

为求解问题(1),使用Lagrange乘子法将其转化为对偶问题。于是引入Lagrange函数：其中，称为Lagrange乘子。首先求Lagrange函数关于w,b的极小值。由极值条件有：得到：(2)(3)(4)第十页第十一页，共30页。线性可分的支持向量(分类)机将(3)式代入Lagrange函数，并利用(4)式，则原始的优化问题转化为如下的对偶问题(使用极小形式)：这是一个凸二次规划问题有唯一的最优解(5)求解问题(5)，得

。则参数对(w,b)可由下式计算：第十一页第十二页，共30页。线性可分的支持向量(分类)机

支持向量：称训练集D中的样本xi为支持向量，如果它对应的

i*>0。

根据原始最优化问题的KKT条件，有

于是，支持向量正好在间隔边界上

于是，得到如下的决策函数：第十二页第十三页，共30页。几何意义：超平面法向量是支持向量的线性组合。几何意义a6=1.4Class1Class2a1=0.8a2=0a3=0a4=0a5=0a7=0a8=0.6a9=0a10=0第十三页第十四页，共30页。对于线性不可分的样本怎么办？非线性可分情形如何找到正确的分类曲线和正确的超平面对此类情况分类?第十四页第十五页，共30页。非线性可分情形关键点:把xi

变换到高维的特征空间为什么要变换？通过加入一个新的特征xi，使得样本变成线性可分的，此时特征空间维数变高Transformx

(x)第十五页第十六页，共30页。例子ax12+bx22=1[w]1z1+[w]2z2

+[w]3z3+b=0第十六页第十七页，共30页。设训练集，其中假定可以用平面上的二次曲线来划分：现考虑把2维空间映射到6维空间的变换上式可将2维空间上二次曲线映射为6维空间上的一个超平面：非线性分类第十七页第十八页，共30页。可见，只要利用变换，把x

所在的2维空间的两类输入点映射x所在的6维空间，然后在这个6维空间中，使用线性学习机求出分划超平面：最后得出原空间中的二次曲线：非线性分类第十八页第十九页，共30页。如何选择到较高维空间的非线性映射？给定的检验元组，必须计算与每个支持向量的点积，出现形如可以引入核函数（内积的回旋）来替代第十九页第二十页，共30页。需要求解的最优化问题非线性分类最后得到决策函数或为此，引进函数第二十页第二十一页，共30页。实现非线性分类的思想给定训练集后，决策函数仅依赖于而不需要再考虑非线性变换如果想用其它的非线性分划办法，则可以考虑选择其它形式的函数，一旦选定了函数，就可以求解最优化问题第二十一页第二十二页，共30页。实现非线性分类的思想其中解得，而决策函数第二十二页第二十三页，共30页。目前研究最多的核函数主要有三类：核函数的选择多项式内核得到q阶多项式分类器包含一个隐层的多层感知器，隐层节点数是由算法自动确定Sigmoid内核每个基函数中心对应一个支持向量，它们及输出权值由算法自动确定高斯径向基函数内核RBF第二十三页第二十四页，共30页。几个典型的核函数第二十四页第二十五页，共30页。核的比较第二十五页第二十六页，共30页。现有5个一维数据x1=1,x2=2,x3=4,x4=5,x5=6,其中1,2,6为class1，4,5为class2

y1=1,y2=1,y3=-1,y4=-1,y5=1选择polynomialkernelofdegree2K(x,y)=(xy+1)2C=100求解ai(i=1,…,5)12456例子第二十六页第二十七页，共30页。例子通过二次规划求解，得到支持向量为{x2=2,x4=5,x5=