高考数学MST2023届一轮复习答案

卜彳学习数学领悟数学应用数学第十一章夜倚概率听江声，小舟统计寄余生

X=20)=0.5X0.6X0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0,6x0.2=0.34,P(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列为

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

考点二二项分布

例题1【解析】(1)依题意，可知々〜B(3,3，〃〜8(2,1)

P("0)=C心3=：,PC=i)=c；(y(y,PC=2)=C：(J)2(y=；,P&=3)=C；d)3=].

ZoZZoL2.oLo

PO7=O)=C(；)2=5，尸0=l)=C；g)'(5'=；,P(；7=2)=d(l)2=i.

所以岁的分布列为

自0123

332

P

8888

叮的分布列为

7012

]_1

P

424

3I1

(2)由(1)知，甲至少有2次正面朝上的楼率为尸Cw2)=Pe=2)+PC=3)=g+g=：

88:2?

乙至多有1次正面朝上的概率为

]133

产(〃01)二0("=0)+尸(〃=1)==+；=：.(或尸(〃41)=1一0(〃=2)=:).

(3)甲获胜的情况有：4=1,7=o；g=2,7=0,1；4=3,n=0,I,2;所以尸(甲获胜)

3131

=+

8-4-8-8-

乙获胜的情况有：〃=1,4=0：〃=2,4=0,1,所以尸(乙获胜)=-x-+-x(-+-)=—.

2848816

2

例题2【解析】(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为;,

221

故X〜8(3,§),从面P(X=Z)=C：(§)*(pj(4=0,123).所以，随机变量X的分布列为:

X0123

284

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2

随机变量X的数学期望E(X)=3x]=2.

(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为y,则y〜8(3,1).且

M=｛x=3,y=l｝u｛x=2,y=o｝,由题意知事件｛牙=3,丫=1｝与｛*=2,丫=0｝互斥,

且事件｛X=3｝与｛y=3｝,事件｛X=2｝与｛y=0｝均相互独立，从而由(1)知：

尸(M)=尸(｛%=3,y=i｝u｛x=2,r=o｝)=p(x=3,r=i)+P｛x=2,y=O)

=p(x=3)p(y=i)+p(x=2)p(y=o)=AX2.+1XJ_=21.

279927243

C5291

例题3【解析】(1)设事件N表示至少有I人的年龄低于45岁，则P(/)=l-法=加.

(2)由题意知，以手机支付作为首选支付方式的概率为里=3.设X表示销售的10件商品中以手机支

1005

付为首选支付的商品件数，则x~4。。，1)，

设y表示销售额，则丫=40>+50(10-牙)=500-10X,

3

所以销售额丫的数学期望EY=500-10£¥=500-10x10x1=440(元).

例题4【解析】(1)选择方案一若享受到兔单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件彳，

C2cl11

则尸8)=停=商,所以两位顾客均享受到免单的概率为0=2壮尸⑷二脸

(2)若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0、500、700、1000.

C2Cl1稣=53管抬,/>-700)=等吆

P(X=0)=^-=—

%120

17791

P(%=1000)=1------------------------=——.故X的分布列为，

12012040120

X05007001000

17791

P

12012040120

17791

所以E(X)=0x」-+500x,+700x，+1000x—=910(元).若选择方案二，设摸到红球的个数为丫，付款金

12012040120

339

额为Z,则Z=1000-200y,由已知可得y〜8(3,伍)，故E(Y)=3XM=历，所以

E(Z)=E(1000-200F)=1000-200E(Y)=820(元).因为E(X)>E(Z),所以该顾客选择第二种抽奖方案更

285

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合算.

【训练1】(I)设4表示事件“日销售量不低于100个“，4表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在

未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个因此

)=(0.006+0.004+0.002)x50=0.6.尸(4)=0.003x50=0.15.

P(B)=0.6x0.6x0.15x2=0.108.

(2)X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为

P(X=0)=Cf(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=C}0.6(1-0.6)2=0.288,

P[X=2)=C；♦06(1-0.6)=0.432,P(X=3)=C；♦0.63=0.216,

分布列为

X0123

P0.0640.2880.4320.216

因为X〜8(3,0.6),所以期望为E(X)=3x0.6=1.8,方差ZXX)=3x0.6x(l-0.6)=0.72.

4

【训练2】甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为《，

(4、、412

则甲击中的次数X〜.•.甲三次射击命中次数的期望为E(X)=3x1=w,

73

乙第一次射击的命中率为一，第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为一，

84

如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为工，乙若射中，则不再继续射击,

2

,,〜江-*人„713II163，注4A1263

则乙射中的概率为：P=-+-x-+-x-x-=——.故答案为：一，一

88484264564

考点三超几何分布

例题1【解析】当X=2时，P(X=2)=;当X=3时，尸(X=3)=W=」-,则

56C/56

286

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15I2

P(X>2)=P(X=2)+P(X=3)=—+—=-,故选C.

56567

例题2【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：2,由于采用分层抽样的方法

从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.

(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(左=0,1,2,3).

C；

所以，随机变量X的分布列为

X0123

p112184

35353535

随机变量X的数学期望£,(%)=0x—+ix—+2x—+3X—=—.

353535357

(ii)设事件8为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人"；事件C为“抽取的3

人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人“，则Z=BUC,且8与C互斥，

由(i)知，尸(8)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故尸(4)=尸(811。)=尸(牙=2)+尸«=1)=9.

7

所以，事件/发生的概率为9.

7

,C45

【训练1】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含4但不包含用的事件为则p(A/)=W_=±

Go18

(2)由题意知X可取的值为：0,1,2,3,4.蛔

C51C：C；_5C3c210

P(X=0)=片=石,尸(X=l)=尸(X=2)=,=

do42党一21'Cio21

C2C35C；c：_1

P(X=3)=k=《，P(X=4)=

go21c；。一42'

287

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【训练2】(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，

所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为葛=0.3.

(2)由图知，A,B,C,D四人中，指标》的值大于1.7的有2人：A和C.

所以自的所有可能取值为0,1,2.

。JO

(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差

(2)因为甲、乙、丙3人投中的概率分别为±,±二，所以甲、乙、丙3人中恰有2人投中的概率：

432

P=22,l3_21_3

xx(1)+x(1+(12X1=H

43243243224

288

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第6节正态分布

考点一正态曲线

例题1解析】根据正态曲线关于x=〃对称，且〃越大图象越靠近右边，所以从<4=〃3，BC错误：又。

越小数据越集中，图象越瘦长，所以AD正确，故选AD.

【训练1】(1)由题意可知，峰期后移了70-35=35(天)；

(2)峰值下降了(马T历%卜—V=5。％.故答案为：35:50

考点二正态分布

例题1【解析】(1)由题图(2)可知，100株样本树苗中高度高于1.60米的共有15株，以样本的频率估计

总体的概率，可得这批树苗的高度高于1.60米的概率为0.15.记X为树苗的高度，结合题图(1)(2)可得：

、213

P(1.20<%<1.30)=P(170<%<1.80)=—=0.02,P(1.30<%<1.40)=P(1.60<%<1.70)=—=0.13,

P(1.40<X<1.50)=P(1.50<%<1.60)=^(l-2x0.02-2x0.13)=0.35.因为组距为0/，所以a=0.2,A=1.3,

c=3.5.

(2)以样本的频率估计总体的概率，可得：从这批树苗中随机选取1株，高度在(140,1.60]的概率为

P(1.40<X41.60)=P(1.40<^<1.50)+尸(1.50<X

41.60)=0.7.因为从这批树苗中随机选取3株，相当于三次独立重复试脸，所以随机变量&服从二项分布

8(3,0.7),故4的分布列为尸e=〃)=C；x0.3”"x0.7"("=0,1,2,3),即

0123

P0.0270.1890.4410.343

£,(%)=0x0.027+1x0.189+2x0.441+3x0.343=2.1(A£(^)=3x0.7=2.1)

(3)由N(1.5,0.01),取〃=1.50,cr=0.1,由(2)可知心一<T<X4〃+CT)=RL40<X41.60)=0.7>0.6826,

结合(1)得出Z-2CT<X4〃+2CT)=/XL30<XSL70)=2XH1.60<X41.70)+CL40<X4L60)=0.96>0.9544,

所以这批树苗的高度满足近似于正态分M15,0.01)的概率分布，应认为这批树苗是合格的，将顺利被该公司

签收.

例题2【解析】因为N(2,cr2),所以尸(2<XM2.5)=0.36,因此

P(X>2.5)=P[X>2)-P(2<%<2.5)=0.5-0.36=0.14.故答案为：0.14.

例题3【解答】因为某物理量的测量结果服从正态分布NQO,"),

所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差/越小，则分布越集中，

对于力，b越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故选项/

289

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正确；对于8,不管o■取何值，测量结果大于10的概率均为0.5,故选项8正确；

对于C,由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概■率等于小于9.99的概率，故选项C正确；

对于。，由于概率分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的区域大于(10,10.3)分布在10附近的

区域，故测量结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率，故选项。错误.故选：D.

【训练1】由题意，〃=75,cr=4,则尸(79<X(83)=；［P(〃-2cr<XW〃+2cr)-P(〃+cr<X《〃+b)］

=ix(0.9545-0.6827)=0.1359.故直径在(79,83］内的个数约为0.1359x1000=135.9=136.故选：B.

2

【训练2】由于X~N(3,『)，则正态密度曲线关于直线x=3对称，

所以「04X45)=1-2尸(XN5)=l-2x0.2=0.6,故选A.

290

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第7节统计

考点一：随机抽样

例题1【解析】从随机数表第1行第3列开始由左到右依次选取两个数字中小于30的编号依次为29,17,12,

13,26,03,则第6个个体的编号为26,故选C.

on38

例题2【解析】设女生总人数为x人，由分层抽样的方法可得：抽取女生人数为80-42=38人，所以-----=—,

2400x

解得x=1140,故选D.

【训练1】①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的：②不是简单随机

抽样.因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简

单随机抽样.因为不是等可能抽样.故选/.

【训练2】根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到

的概率都是"，故Pi=P2=，故选。.

N

4

【训练3】应从一年级抽取300x-----------------=60名.

44-5+5+6

考点二：用样本估计总体

例题1-1【解析】(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)x］0=0.6,所

以样本中分数小于加的频率为1-0.6=04.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率

估计为0.4.

(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(001+0.02+0.04+0.02)x10=0.9,分数在区间［40,50)内的

人数为100-100x0.9-5=5.所以总体中分数在区间［40,50)内的人数估计为400x高=20.

(3)由题意可知，样本中分数不少于70的学生人数为(0.02+0.04)x10x100=60,故样本中分数不少于70的

男生人数为60x』=30.故样本中的男生人数为30x2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的

2

比例为60:40=3:2.故由分层抽样比可知，总体中男生和女生人数的比例为3:2.

例题2-1【解析】由于共有10个数字，则10x25%=2.5,

10x75%=7.5,10x90%=9.故25%分位数为7,75%分位数为12,90%分位数为旦卢=13.5.

例题3-1【解析】(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业

频率为YW=0.21.产值负增长的企业频率为高=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产

值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.

291

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(2)y=—(-0.10x2+0.10x24+0.30x53+0.50x14+0.70x7)=0.30,si2=-^-Yn,(%-刃?=-^-[(-O.4O)2

100IOU/s|100

2222

x2+(-0.20)x24+0x53+0.20x14+0.40x7]=0.0296,5=^0,0296=0.02x774»0.17,所以，这类企

业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.

【训练1】由题意可得，直径落在区间[5.43,5.47)之间的零件频率为：(625+500)x002=0225,

则区间［5.43,5.47)内零件的个数为：80x0.225=18,故选B.

【训练2】(I)由频率分布直方图，可知：月用水量在［0,0.5］的频率为0.08x0.5=0.04.

同理，在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,

0.04,0.02.由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5xa+0.5xa,解得a=0.30.

(2)由(1),100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000x0.12=36000.

(3)设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,

而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,所以24x<2.5.

由0.50X(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位•数为2.04吨.

【训练3】按从小到大排列原始数据

151156157157158159160160161161

162163163163163164164165165166

166167167167168168168168168168

169169169170171171174174176180

i=40x30%=12为整数.又因第12项与第13项数据都是163,所以他们的平均数也为163.

所以估计该校高三年级男生的身高数据的30%分位数约为163.

【训练4】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为"tZ»=7.4,A选项结论正确.

2

对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1。……。

------------------------------------------------------------------------------=8.50625>8,

16

B选项结论正确.

对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值9=0.375<0.4,C选项结论错误.

16

292

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13

对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值一=0.8125>0.6,D选项结论正确.

16

故选：C.

【训练5】因为数据%+b(i=l,2,…的方差是数据x,(i=l,2,…的方差的/倍，

所以所求数据方差为IO?xO.Ol=l,故选：C.

【训练6】对于“选项，该组数据的平均数为"'=(l+4)x0.l+(2+3)x0.4=2.5,

方差为s：=(1-2.5『xO.I+(2-2.5)2x0.4+(3-2.5)2x0.4+(4-2.5)2x0.1=0.65；

对于8选项，该组数据的平均数为需'=(1+4)X0.4+(2+3)X0.1=2.5,

方差为s；=(1-2.5『x0.4+(2-2.5)2x0』+(3-2.5)2x0.1+(4-2.5)2x0.4=1.85:

对于C选项，该组数据的平均数为1=(1+4)x0.2+(2+3)x0.3=2.5,

2

方差为s；=(1-2.5『*0.2+(2-2.5)2x0.3+(3-2*0.3+(4-2.5)x0.2=1.05:

对于D选项，该组数据的平均数为需'=(1+4)X0.3+(2+3)X0.2=2.5,

方差为4=(1-2.5)2x0.3+(2-2,5)2x0.2+(3-2.5)2x0.2+(4-2.5)2x0.3=1.45.

因此，8选项这一组的标准差最大.故选：B.

【训练7】设样本数据占，x”…，事的标准差为J而］,则向可=8,即方差。(X)=64,而数据

2x,-l,2x2-l,•••,2占0-1的方差。(2万-1)=22£>(%)=2"64,所以其标准差为122-64=16,故选

C

293

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第8节成对数据的分析

考点一变量间的相关关系

1M1

例题1【解析】(1)样区野生动物平均数为「=」~xl200=60,地块数为200,该地区这

20^-20

种野生动物的估计值为200x60=12000.

20

E(x,-5XZ-歹)

了迎―=逑=0.94.

(2)样本(x,,匕)的相关系数为r=-^旦

20780x90003

E四-守£8-7y

(3)由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.先将植物覆盖面

积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.

X(x,-x)(/-8.5)

抵0・⑻

【训练I](I)r==0.212x18.439=-

-8.5)2

•.什|<0.25,.•.可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.

(2)(>=9.97,5=0.212,二合格零件尺寸范围是(9.334,10.606),

显然第13号零件尺寸不在此范围之内，.•.需要对当天的生产过程进行检查.

(")剔除禹群值后，剩下的数据平均值为£(16x9.97-9.22)=10.02,

之x,2=16x0.2122+16x9.97?=1591.134,

剔除离群值后样本方差为七(1591.134-9.222-15x]0.022)=0.008,

剔除离群值后样本标准差为V0.008«0.09.

【训练2】(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值亍=等=0.06,

39

样本中10棵这种树木的材积量的平均值歹=苗=0.39,

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.060?,平均一棵的材积量为0.39n?.

1010

ZGi-可(X-刃》/-1。取

294

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第十一章夜倚概率听江声，小舟统计寄余生

_______0.2474-10x0.06x0.390.01340.0134ccr

,X----------X0.97

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392)x/0.00018960.01377

则r=0.97.

(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为ym3,又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

可得粽=竿，解之得y=1209m'则该林区这种树木的总材积量估计为1209m，

考点二线性回归

例题1【解析】因为1=22.5,1=160,所以3=160-4x22.5=70,y=4x24+70=166,故选C.

例题2【解析】(1)由所给数据计算得i=g(l+2+3+4+5+6+7)=4,

-17

y=一(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,=9+4+1+0+1+4+9=28,

7/=1

7_

Z(/|-b(Z-y)=(-3)X(-1.4)+(-2)x(-l)+(-1)X(-0.7)+0x0.1+1x0.5+2x0.9+3x1.6=14

f=l

7__

.14_

b=J--------=—=0.5,a=y-5=4.3-05x4=23,所求回归方程为y=0.5，+2.3.

Z(/.-b228

t=\

(2)由(1)知，Z>=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年

增加0.5千元.将2015年的年份代，=9带入(I)中的回归方程，^7=0,5x9+23=6.8,故预测该地区

2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.

f...I科［/-8.2+8.6+10+11.3+11.9_6.2+7.5+8+8.5+9.8•上小、、上,c士/L

【训练1】x=---------------------=10,y=-------------------=8,,・•样本中心点在回归直线上，

.-.8=W0+0.4,b=0.76,回归方程为：y=0.76x+0.4,...x=15时，y=0.76x15+0.4=11.80万元，

该社区一户收入为15万元的家庭年支出是11.80万元.，故选B.

考点三非线性回归

例题1【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图像附近，因此，最适合作为发芽率y和

温度X的回归方程类型的是y=a+61nx,故选D.

例题2【解析】(1)由散点图可以判断，y=c+d不适宜作为年销售量y关于年宣传费X的回归方程类型.

、r,£(”-立必一，)1088

(2)々w=Jx,先建工y关于w的线性回信方程，由于2=旦-^------------=-----=68.

石(叱-沔216

&二歹一加=563-68x6.8=100.6,

所以y关于w的线性回归方程为/=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为夕=100.6+684.

295

学习数学领悟数学应用数学第H"一章夜倚概率听江声，小舟统计寄余生

(3)(i)由(2)知，当x=49时，年销售量y的预报值3=100.6+68如=576.6,

年利润z的预报值£=576.6x0.2-49=66.32.

(ii)根据(2)得结果知，年利泗z的预报值2=0.2(100.6+68&)-X=-X+13.64+20.12,所以当

V7=—=6.8,即x=46.24时，2取得最大值，故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.

2

【训练1】(1)由散点图可以判断，/=3+自2更适宜作为交易额y关于时间变量/的回归方程类型；

II

.2(叱-沔(乂一歹),u9790

(2)令w=/，先建立y关于w的线性回归方程.由于d=-------------------=22,j=890.

Z/树"

1=1

iv==46.:.c=y—dw=890-22x46=-122.

.•.y关于w的线性回归方程为J=-122+22w,因此，y关于，的回归方程为夕=-122+22产.

令/=12,得$=-122+22x122=3046.即可预测2020年“双十一”的交易额为3046亿元.

考点四独立性检验

例题1【解答】(1)由题意可得，甲机床、乙机床生产总数均为200件,

因为甲的一级品的频数为150,所以甲的一级品的频率为受=3

2004

1203

因为乙的一级品的频数为120,所以乙的一级品的频率为士丝

2005

n(ad-be)2400(150X80-50X120)10,256>6.635.

(2)根据2x2列联表，可得K?=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)270x130x200x200

所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.

例题2【解析】(1)由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

(0.012+0.014+0.024