安徽省示范高中培优联盟2023-2024学年高一上学期冬季联赛数学试题

安徽省示范高中培优联盟2023年冬季联赛（高一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第3页，第Ⅱ卷第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再根据交集定义即可得解.【详解】由，解得或，则，，所以.故选：A.2.若命题：，是真命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】变形为在上有解，利用基本不等式求出最小值，从而得到，得到答案.【详解】由题意得在上有解，即在上有解，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，故实数的取值范围为.故选：C.3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定的函数关系，结合抽象函数定义域，列出不等式组求解即得.【详解】由函数的定义域为，得，因此函数中，，解得或，所以函数的定义域为.故选：D4.若，：关于的方程有两个不相等的实数根，则是成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到或，进而判断出答案.【详解】由，解得或，由于或，但或，故是成立的充分不必要条件.故选：A.5.已知定义域为的函数和，函数图象关于原点对称，函数满足，若，则与的大小关系为（）A. B.C. D.不确定【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用方程组的思想求出函数的解析式即可得解.【详解】由函数图象关于原点对称，得，又，，则，即，解得，，因此，，所以.故选：A6.已知，，，，则（）A.2 B.5 C.10 D.20【答案】D【解析】【分析】利用换底公式转化，再利用基本不等式与已知条件结合，得出结果.【详解】∵，∴，即，由基本不等式可知，又因为，所以，即满足基本不等式取等条件，即，故选：D.7.已知函数定义域为，若对于，当时，都有成立，则称函数是“共建”函数，则下列四个函数中是“共建”函数的是（）A. B.C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根据题意可对化简后得，然后构造函数从而可求解.举例说明A不成立.【详解】对于B：，定义域为，根据题意，，当时，都有，化简得，即，设，即，得在其定义域上为单调递减函数，此时在上是单调递减函数，故B项符合；对于C：，，定义域为，由上可知得在其定义域上为单调递减函数，但此时在上单调递增，故C项不符合；对于D：，，定义域为，由上可知得在其定义域上为单调递减函数，但此时在上单调递增，故D项不符合；对于A：当且时，恒成立，不符合“共建”函数定义，即A项不符合；故选：B.8.函数的最小值是（）A B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】设，函数变形后利用基本不等式求出，结合对勾函数性质得到答案.【详解】设，则，，因为，由对勾函数性质可知在上单调递增，所以.故选：D.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若实数，满足，则下列说法中正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】A选项，举出反例；B选项，由同向可加性得到结果；CD选项，由不等式性质得到.【详解】A选项，当时，，故A错误；B选项，因为，根据同向可加性可知，故B正确；CD选项，因为，所以，，则，故C错误，D正确.故选：BD.10.若点在幂函数的图象上，则以下关于函数的说法中正确的是（）A.的定义域是 B.的值域是C.是增函数 D.【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，结合幂函数定义求出，进而求出的解析式，再逐项求解判断即可.【详解】由为幂函数，得，解得，由点在的图象上，得，解得，于是，由，解得，的定义域是，A错误；函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数是增函数，C正确；当时，，即，的值域为，B正确；由，得，即，D正确.故选：BCD11.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先得到四个选项中函数的零点，再根据零点存在性定理得到的零点所在区间，从而得到答案.【详解】A选项，在R上单调递增，令，解得，B选项，因在R上单调递增，所以在R上单调递增，令，解得，C选项，因为在R上单调递增，在R上单调递减，故在R上单调递增，又，故零点为0，D选项，由于在上单调递增，且单调递增，令，解得，由同增异减可知，在上单调递增，又，故零点为1，在上单调递增，又，，，由零点存在性定理可得的零点所在区间为，因为，，所以ABD选项满足要求，C选项不满足要求，故选：ABD.12.定义在上的函数，当时，，当时，，若关于函数在定义域内有四个零点，则实数的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】画出的图象，设，故函数有两个不同零点和，不妨设，根据韦达定理和函数图象可得，结合对勾函数单调性得到，得到答案.【详解】画出的图象，如下：令，则，由题意原函数有4个零点，结合函数图象，可知函数有两个不同零点和，不妨设，且，，分析函数的图象可知，，由对勾函数性质可知，在上单调递增，则，解得.故选：AB第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知函数，则的值域为________.【答案】【解析】【分析】换元后，转化二次函数问题，求出值域.【详解】令，则，，，当时，取的最小值，最小值为，则的值域为.故答案为：14.已知函数的图象不经过第二、四象限，请写出满足条件的一组的值________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定条件，可得函数的图象过原点求出，再按分类讨论即得.【详解】函数的定义域为，当，即时，的图象必过第四象限，矛盾，因此，由函数的图象不经过第二、四象限，得点只能在原点，则，即，当时，若，则有，的图象必过第四象限，矛盾，当时，若，则，此时的图象在第三象限，若，则，此时的图象在第一象限，所以且，满足条件的一组的值可以为.故答案为：15.设点，，点是函数图象上一点，则面积的最小值为________.【答案】【解析】【分析】设，表达出，利用基本不等式求出最小值.【详解】如图所示，设，，因为，所以，当且仅当时取等号，此时面积的最小值为.故答案为：16.若函数对于都有，则________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出函数图象的对称中心，再求出函数的所有零点，求出解析式即可得解.【详解】由对于都有，得函数图象的对称中心为，显然，则，于是，因此，所以.故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表月份1月2月3月小型汽车数量（辆）306080创造的收益（元）480060004800（1）根据上表数据，从下列三个函数模型中：①，②，③选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量（辆）与创造的收益（元）之间的关系，并写出这个函数关系式；（2）利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？【答案】17.选取②，18.且【解析】【分析】（1）根据表格中数据的单调性选取②，根据对称性得到对称轴，设函数顶点式，代入坐标，求出解析式；（2）在（1）基础上，得到，求出不等式，因为只能取整数值，所以得到且.【小问1详解】选取②，由题表可知，随着的增大，的值先增大后减小，而函数及均为单调函数，故不符合题意，所以选取②，将，，三点分别代入函数解析式，可得二次函数对称轴为，故可将函数解析式设为，即得到，解出，∴，∴，，；【小问2详解】设在一周内大约应生产辆小型汽车，根据题意，可得，即，即，因为，所以方程有两个实数根，，由二次函数的图象可知不等式的解为.因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量且之间时，这家工厂能够获得6020元以上的收益.18.（1）已知，求证；（2）利用（1）的结论，证明：（且）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）作差法比较出大小；（2）在（1）的基础上，得到，利用放缩法证明出，得到答案.【详解】（1）证明：因为，所以，于是.（2）即证（且），由（1）式可知，，故（且），（且），即（且），原式得证.19.我们知道存储温度（单位：℃）会影响着鲜牛奶的保鲜时间（单位：），温度越高，保鲜时间越短.已知与之间的函数关系式为（为自然对数的底数），某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为，在25℃的保鲜时间为.（参考数据：）（1）求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时（结果保留到整数）；（2）若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，那么对存储温度有怎样的要求？【答案】19.254小时；20.存储温度要不高于15℃.【解析】【分析】（1）把给定的数对代入函数关系，求出，并确定，再求出即得.（2）利用（1）中信息，建立不等式，再借助指数函数单调性解不等式即得.【小问1详解】依题意，把，分别代入，得，于是，则，，当时，，此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间为254小时.【小问2详解】依题意，，由（1）知，显然，于是，则，因此，而，则有，所以想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，存储温度要不高于15℃.20.定义在上的函数，满足，对于任意的都有成立，并且，使得.（1）判断函数的单调性，并证明；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）函数单调递减，证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义结合条件计算即可证明；（2）由条件转化不等式为，利用（1）的结论去函数符号，分离参数计算范围即可.【小问1详解】函数单调递减.，证明如下：由得，，设，则当时，，因为，所以，则，故，所以函数单调递减.【小问2详解】不等式可等价变形为，因为，所以，则不等式可变为，由（1）知，函数在定义域内单调递减，故，恒成立，则，解得，因此实数的取值范围是.21.已知函数（1）请在网格纸中画出的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数在定义域内的，若满足，则称为函数的一阶不动点，简称不动点；若满足，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点.①求函数的不动点；②求函数的稳定点.【答案】（1）作图见解析，单增区间为，，的单减区间为（2）①；②，和1.【解析】【分析】（1）根据分段函数解析式，画出相应的函数图像，结合函数图像写出单调区间.（2）结合分段函数解析式，由不动点，稳定点的定义计算分析求解.【小问1详解】的单增区间为，，的单减区间为.【小问2详解】易知①当时，，令得，解得；当时，，令得，解得（舍）综上所述：函数的不动点为.②当时，，且，则令得，，解得或（舍）；当时，，且，则令，得，解得；当时，，且，则，令，得，解得或（舍）综上所述：函数的稳定点有3个，分别是，和1.22.已知函数，其中.（1）若存在，使得，求的最小值；（2）令，若关于的方程有两个根，求当时，实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用对数函数的性质结合基本不等式计算即可；（