高中专题复习及考试要求 第八章 平面解析几何 第一课时 椭圆及简单几何性质

第5节椭圆考试要求1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1.椭圆的定义知

识

梳

理在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做______.这两定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做椭圆的_____.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若______，则集合P为椭圆；(2)若______，则集合P为线段；(3)若______，则集合P为空集.椭圆焦点焦距a＞ca＝ca＜c2.椭圆的标准方程和几何性质性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为____；短轴B1B2的长为____焦距|F1F2|＝____离心率e＝

∈__________a，b，c的关系c2＝_________2a2b2c(0，1)a2－b2诊

断

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)√解析

(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.2.(老教材选修2－1P49T1改编)若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是___________________________________________.解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.故选B.答案B答案A根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝6，所以|PF|＝2.解析设PF的中点为M，椭圆的右焦点为F′，连接OM，MF′，则F(－2，0)，F′(2，0)，|OM|＝2，|PF′|＝2|OM|＝4.又因为|FF′|＝4，所以在Rt△MFF′中，第一课时椭圆及简单几何性质考点一椭圆的定义及其应用【例1】(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(

) A.椭圆 B.双曲线

C.抛物线

D.圆解析(1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.(2)∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2为直角三角形，得|PF1|·|PF2|＝18.在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9.又知b>0，∴b＝3，又知△PF1F2的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①又知a2－c2＝9，∴a－c＝1，②规律方法1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系.答案C考点二椭圆的标准方程【例2】(1)已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为(

)(2)(一题多解)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________________.规律方法根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.(2)∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，角度1椭圆的长轴、短轴、焦距考点三椭圆的几何性质多维探究答案A规律方法1.椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c.2.与椭圆几何性质有关的问题要注意数形结合、分类讨论思想的应用.角度2椭圆的离心率规律方法求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.答案(1)D

(2)A角度1与椭圆定义有关的最值问题考点四与椭圆定义、性质有关的最值范围问题多维探究解析易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为B′，则B′(0，1)，如图，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，所以|PB|＝4－|PB′|，因此，|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋|PA|－|PB′|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5，当且仅当点P在AB′的延长线上时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最大值为5，故选D.答案D规律方法解决与椭圆定义有关的最值问题，注意应用|PF1|＋|PF2|＝2a，同时对称和转化思想是解决问题的关键.角度2与椭圆有界性有关的最值(范围)问题规律方法椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如－a≤x≤a，－b≤y≤b，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系，同时注意应用函数思想处理最值问题.角度3与离心率有关的最值(范围)问题答案D规律方法解决椭圆离心率的最值或范围问题，注意应用椭圆的性质建立不等关系，同时注意椭圆的离心率e∈(0，1).∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.解析(1)由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|，∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线且P在线段MF2上时取得等号，(2)①当焦点在x