高中专题复习及考试要求 第二章 函数 顶层设计 前瞻 函数与导数热点问题

函数与导数热点问题核心热点真题印证核心素养利用导数研究函数的性质2019·Ⅲ，20；2018·Ⅱ，21；2018·Ⅰ，21；2017·Ⅱ，21数学运算、逻辑推理利用导数研究函数的零点2019·Ⅱ，20；2019·江苏，19；2018·Ⅱ，21(2)数学运算、直观想象导数在不等式中的应用2019·Ⅰ，20；2018·Ⅰ，21；2017·Ⅲ，21；2017·Ⅱ，21数学运算、逻辑推理教材链接高考——导数在不等式中的应用[教材探究](选修2－2P32习题1.3B组第1题(3)(4))利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证.(3)ex>1＋x(x≠0)；(4)lnx<x<ex(x>0).[试题评析]

1.问题源于求曲线y＝ex在(0，1)处的切线及曲线y＝lnx在(1，0)处的切线，通过观察函数图象间的位置关系可得到以上结论，可构造函数f(x)＝ex－x－1与g(x)＝x－lnx－1对以上结论进行证明.2.两题从本质上看是一致的，第(4)题可以看作第(3)题的推论.在第(3)题中，用“lnx”替换“x”，立刻得到x>1＋lnx(x>0且x≠1)，进而得到一组重要的不等式链：ex>x＋1>x－1>lnx(x>0且x≠1).3.利用函数的图象(如图)，不难验证上述不等式链成立.【教材拓展】

试证明：ex－lnx>2.

证明

法一设f(x)＝ex－lnx(x>0)，所以φ(x)在(0，＋∞)单调递增，故ex－lnx>2.法二注意到ex≥1＋x(当且仅当x＝0时取等号)，x－1≥lnx(当且仅当x＝1时取等号)，∴ex＋x－1>1＋x＋lnx，故ex－lnx>2.所以当x>x0时，f′(x)>0；当0<x<x0时，f′(x)<0.∴f(x)＝ex－lnx在x＝x0处有极小值，也是最小值.【链接高考】

(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)解

f(x)的定义域为(0，＋∞)，若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当x∈(0，1)时，g′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0，教你如何审题——利用导数研究函数的性质【例题】

(2019·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1.

证明：(1)f(x)存在唯一的极值点； (2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. [审题路线]所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增.[自主解答]证明(1)f(x)的定义域为(0，＋∞).故存在唯一x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0.综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.又当x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.探究提高1.利用导数研究函数的性质是历年高考的重点、热点，涉及的主要内容：(1)讨论函数的单调性；(2)求函数的极(最)值、极(最)值点；(3)利用性质研究方程(不等式).考查数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.2.本题求解的关键是明确函数的极值点与函数零点之间的联系，充分运用函数的单调性、极值、零点存在定理综合求解，善于把函数的零点转化为方程根的问题.(ⅰ)若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，(ⅱ)若a>2，令f′(x)＝0得，(2)证明由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1.又因x2>x1>0，所以x2>1.又t＝f(x1)－f(x2)－(a－2)(x1－x2)由第(1)问知，φ(x)在(1，＋∞)单调递减，且φ(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线.[规范解答](1)解f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞).满分答题示范——利用导数研究函数的零点问题所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零点x1(e<x1<e2)，即f(x1)＝0.·····················4′所以f(x)在(0，1)，(1，＋∞)单调递增.·····················2′综上，f(x)有且仅有两个零点.·····················7′所以曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线.·····················12′(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞).①当x∈(－1，0]时，由(1)知，f′(x)在(－1，0)单调递增，而f′(0)＝0，所以当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，故f(x)在(－