角平分线的性质与判定

4角平分线第1课时角平分线的性质与判定北师版八年级数学下册新课导入什么叫角平分线？如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线.你还记得角平分线上的点有什么性质吗？

新课探究

定理

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.已知：如图，OC

是∠AOB

的平分线，点P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.

求证：PD=PE.OABC12PDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∵

∠1=∠2，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴

PD=PE（全等三角形的对应边相等）.练习如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D.下列结论中错误的是（）

A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=POD想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．

定理

在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.已知：如图，点P

为∠AOB

内一点，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E

为垂足且PD=PE.

求证：OP平分∠AOB.OABC12PDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP=∠OEP=90°.∵PD=PE，OP=OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）.∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）.∴OP平分∠AOB.例1在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.

解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，ABCDEF∴AD平分∠ABC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.∴在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴

DE=AD=×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.1212练习判断下列推理是否正确ABCDEFP（1）如图，∵AD平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE=PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.√ABCDEFP（2）如图，∵PE=PF，∴AD平分∠BAC

（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.×ABCDEFP（3）如图，∵点P在∠BAC

的平分线上，

∴PE=PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.×（4）如图，∵PE⊥AB，PF⊥AC，

∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.ABCDEFP×ABCDEFP（5）如图，∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF，∴点P在∠BAC

的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.√ABCPEGH证明：作PE⊥AB，交AB延长线于E.PH⊥BC于H，PG⊥AC，交AC的延长线于点G，

∵BP是角平分线，

∴PE=PH.

∵PC是角平分线，

∴PH=PG.

∴PE=PG，

∴P在∠A的平分线上.2.已知：如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.求证：P在∠A的平分线上.课堂小结

定