【高中数学】等比数列的前n项和公式第2课时课件-2023-2024学年高二上人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2等比数列的前n项和公式复习回顾1、等比数列的前n项和公式(1)“知三求二”实质是方程思想．(2)当已知a1，q(q≠1)及n时，用公式求和比较方便；当已知a1，q，an时，则用公式求和．2、方法总结当q=1时，Sn=na1新知探究思考1：等比数列前n项和公式

(q≠1)有什么样的函数特征？等比数列前n项和公式的性质①当q≠1时，即Sn是n的指数型函数.②当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.qn的系数与常数项互为相反数.则Sn＝Aqn－A.1、一个等比数列的前n项和Sn=(1-2λ)+λ·2n，则λ=()A、-1 B、1 C、2 D、3

例题解析B解析：∵Sn＝Aqn－A.∴qn的系数与常数项互为相反数.∴1-2λ=-λ，∴λ=1随堂练习1、若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=3n+1-2k，则实数k等于

.

解析：∵Sn=3n+1-2k=3·3n-2k，且{an}为等比数列，∴3-2k=0，即2、记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ.(1)当λ＝3时，求{an}的通项公式；(2)是否存在常数λ，使得{an}为等比数列？请说明理由．例题解析解析：(1)把λ＝3代入数列的前n项和，求出首项，再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2时的通项公式，验证后得答案．解：(1)当λ=3时，Sn=2n＋3，①当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2n＋3－2n－1－3=2n－1.②当n=1时a1=S1=5，不符合上式.2、记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ.(1)当λ＝3时，求{an}的通项公式；(2)是否存在常数λ，使得{an}为等比数列？请说明理由．例题解析解：(2)由Sn＝2n＋λ，得

①当n＝1时a1＝S1＝2＋λ；

②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋λ－2n－1－λ＝2n－1.

若存在常数λ，使得{an}为等比数列，

则2＋λ＝20＝1，得λ＝－1.

故存在实数λ＝－1，使得{an}为等比数列．解析：(2)由数列的前n项和求得首项，再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2时的通项公式，由首项适合该通项公式即可求得λ的值．2、已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n-1，判断{an}是不是等比数列，请说明理由．随堂练习解：由Sn＝2n-1，得a1=S1=1，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n-1)－(2n－1-1)=2n－1，令n=1，得21-1=1=a1，所以an=2n－1，n∈N*，所以{an}是等比数列.新知探究注意：(3)(4)不能作为证明方法，证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法．等比数列的判定(2)等比中项法：若an＋12＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列．

(1)定义法：若数列{an}满足

(q为常数且不为零)或

(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．

(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和为Sn＝Aqn－A(Aq≠0且q≠1)，则数列{an}是等比数列．新知探究思考2：若{an}是公比为q的等比数列，S偶、S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶，S奇之间有什么关系？等比数列前n项和公式的性质(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋…

＋a2n-1＋a2n+1＝a1＋(a3＋…a2n-1＋a2n+1)＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)＝a1＋qS偶S奇＝a1＋qS偶S偶＝a2＋a4＋…＋a2nS奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1S偶＝a2＋a4＋…＋a2n⇔S偶＝qS奇⇔3、已知等比数列{an}共有32项，其公比q=3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是()A、30 B、60 C、90 D、120

例题解析D解：设等比数列{an}的奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶=qS奇=3S奇又S奇

+60=S偶，则S奇

+60=3S偶

∴S奇=30，S偶=90故数列{an}的所有项之和是30+90=120.3、已知等比数列{an}共有2n项，其和为-240，且(a1+a3+…+a2n-1)﹣(a2+a4+…+a2n)=80，则公比q=

.

随堂练习2解：因为{an}是项数为偶数的等比数列，又因为S奇+S偶=-240，S奇-S偶=80，所以S奇

=-80，S偶=-160新知探究思考3：已知等比数列{an}的公比q≠-1，前n项和为Sn，证明Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，并求这个数列的公比.等比数列前n项和公式的性质

因为qn为常数，所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，公比为qn.证明：当q=1时，Sn=na1，S2n-Sn=2na1-na1=na1，S3n-S2n=3na1-2na1=na1，4、等比数列{an}的前n项和为Sn=48，前2n项和为S2n=60，则前3n项和S3n=___.例题解析方法一：设等比数列的首项为a1，公比为q，由已知易知q≠1，方法二：由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)，解得S3n＝63.4、在等比数列{an}中，若S2=7，S6=91，则S4=

.

随堂练习解：∵数列{an}是等比数列，且易知公比q≠-1，∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4也构成等比数列，即7，S4-7，91-S4构成等比数列，∴(S4-7)2=7(91-S4)，解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2

=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0，∴S4=28.5、如果一个等比数列前5项和等于10，前10项的和等于50，求这个数列前15项的和及其公比.随堂练习方法一：设等比数列的首项为a1，公比为q，由已知易知q≠1，方法二：由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得(S10－S5)2＝S5·(S15－S10)，即(50－10)2＝10(S15－50)，解得S15＝210.例题解析等比数列前n项和公式的实际应用5、如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少?分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列.解：设正方形的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，则a1=25.设{an}的前项和为Sn.则数列{an}是以25为首项，公比为

的等比数列.所以，前10个正方形的面积之和为由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以例题解析等比数列前n项和公式的实际应用5、如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少?(2)当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和：a1+a2+a3+…+an+…，所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.随着n的无限增大，

将趋近与0，Sn趋近与50.例题解析等比数列前n项和公式的实际应用6、去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列

.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.解：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成等比数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成等差数列{bn}，

n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位：万吨)，则an=20(1+5%)n，bn=6+1.5n，Sn=(a1−b1)+(a2−b2)+…+(an−bn)=(a1+a2+…+an)−(b1+b2+…+bn)=(20×1.05+20×1.052+…+20×1.05n)−(7.5+9+…6+1.5n)当n=5时，S5≈63.5所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.方法总结数列求和方法：分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2)

将等差数列和等比数列分开：Tn＝c1+c2+…+cn＝(a1+a2+…+an)±(b1+b2+…+bn)(3)利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.例题解析等比数列前n项和公式的实际应用7、某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k，r为常数；(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精确到1)分析：(1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn+1与cn的关系；解：(1)由题意，得c1=1200，并且cn+1=1.08cn−100.①分析：(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；例题解析等比数列前n项和公式的实际应用7、某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k，r为常数；(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精确到1)解：(1)由题意，得c1=1200，并且cn+1=1.08cn−100.①(2)将cn+1-k=r(cn-k)化成cn+1=rcn−rk+k.②比较①②的系数，可得解这个方程组，得所以，(1)中的递推公式可以化为：cn+1-1250=1.08(cn-1250).例题解析等比数列前n项和公式的实际应用7、某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k，r为常数；(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精确到1)分析：(3)利用(2)的结论可得出解答。(3)由(2)可知，数列{cn-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则：(c1−1250)+(c2−1250)+(c3−1250)+⋯+(c10−1250)≈−724.3.所以，S10=c1+c2+c3+…+c10≈1250×10−724.3=11775.7≈11776.6、求下列各式的和(1)(2-3×5-1)+(4-3×5-2)+……+(2n-3×5-n)；(2)1+2x+3x2+……+nxn-1.随堂练习7、已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an+1，求Sn.随堂练习Sn=-2n+1，8、已知数列{an}的首项a1=3，通项an=2np+nq(n∈N*，pq为常数)且a1，a4，a5成等差数列.(1)求p，q的值；(2)求数列{an}的前n项和Sn.随堂练习p=q=1分组求和法9、已知等