【备战2021-专项突破】专题10.2-全等三角形、相似三角形、勾股定理（2）（解析版）

专题10.2全等三角形、相似三角形、勾股定理备战2021年中考数学精选考点专项突破卷（2）一、单选题1．如图，△ACB≌△A'C'B'，∠ACB=70°,∠ACB'=100°,则∠BCA'的度数为(

)A．30° B．35° C．40° D．50°【答案】C【分析】根据全等三角形的性质和角的和差即可得到结论．【详解】解：∵△ACB≌△A'C'B'，∠ACB=70°，∴∠ACB=∠A´CB´=70°，又∵∠ACB'=100°，∴∠BCB'=∠ACB'-∠ACB=100°-70°=30°，∴∠BCA´=∠B´CA´-∠B´CB=70°-30°=40°.故答案为C.【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．2．如图，直线a∥b∥c，则下列结论不正确的为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，判断即可．【详解】A、∵a∥b∥c，∴，本选项结论正确，不符合题意；B、∵a∥b∥c，∴，本选项结论正确，不符合题意；C、∵a∥b∥c，∴，本选项结论正确，不符合题意；D、连接AF，交BE于H，∵b∥c，∴△ABH∽△ACF，∴，本选项结论不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．3．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则BC的长是（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出AD＝CE，再利用勾股定理就可以求出BC的值．【详解】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E＝∠ADC＝90°，

∴∠EBC＋∠BCE＝90°．

∵∠BCE＋∠ACD＝90°，

∴∠EBC＝∠DCA．

在△CEB和△ADC中，

，

∴△CEB≌△ADC（AAS），

∴CE＝AD＝3，在Rt△BEC中，，故选D．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】过点作于，然后利用的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过点作于，是的角平分线，，，，解得．故选：．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．5．如图，在ABC中，AB＝4，AC＝9，BC＝11，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE，交BC于点M；分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交BC于点N；连接AM、AN．则MAN的周长为（）A．9 B．10 C．11 D．13【答案】C【分析】根据题意由作图可知，DE垂直平分线段AB，PQ垂直平分线段AC，推出MA＝MB，NA＝NC即可解决问题．【详解】解：由作图可知，DE垂直平分线段AB，PQ垂直平分线段AC，∴MA＝MB，NA＝NC，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC＝11．故选：C．【点睛】本题考查基本作图，解题的关键是理解题意并灵活运用垂直平分线段性质解决问题．6．如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）．A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】根据旋转的性质得出AC=AC1，∠BAC1=90°，进而利用勾股定理解答即可．【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，∴AC=AC1=2，∠CAC1=60°，∵AB=3，AC=2，∠BAC=30°，∴∠BAC1=90°，∴在Rt△BAC1中，BC1=．故选B．【点睛】此题考查旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．7．如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC＝9，AC＝12，∠BCA＝90°，在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（）A．7.5 B．8 C．8.5 D．9【答案】A【分析】利用勾股定理列式求出，再利用翻折的性质可得，，在中，利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：∵BC＝9，AC＝12，∠BCA＝90°，∴AB＝＝＝15，由翻折的性质得，AE＝DE，AB＝BD＝15，∴CD＝BD﹣BC＝6，在Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，即62+（12﹣DE）2＝DE2，解得DE＝7.5．故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相等的线段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键．8．如图，四边形中，，平分，，，，则四边形的面积为（）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】C【分析】由题意在BC上截取一点E使得BE=BA,并连接DE，证得进而求出和即可求出四边形的面积．【详解】解：由题意在BC上截取一点E使得BE=BA,并连接DE，∵平分，∴，∵，∴,,∵，，，，∴,∴,,∴四边形的面积为:;故选：C．【点睛】本题考查四边形综合问题，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及勾股定理和角平分线性质是解题的关键．9．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝4，CD＝1，BC＝4．在边BC上取一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，甲认为这样的点P只存在1个，乙认为这样的点P存在不止1个，则（）A．甲的说法正确 B．乙的说法正确C．甲、乙的说法都正确 D．甲、乙的说法都不正确【答案】B【分析】分△ABP∽△PCD和△ABP∽△DCP两种情况讨论可分别得到和，均可求出BP值，可得点P有2个.【详解】解：∵AB∥DC，∠ABC＝90°，∴∠B＝∠C＝90°，如图，①若△ABP∽△PCD，则，即，解得：BP＝2；②若△ABP∽△DCP，则，即，解得：BP＝；所以这样的点P有2个，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活的利用有一个角相等且这个角两边的线段对应成比例的两个三角形相似是解题的关键.10．如图，在中，点，分别是，的中点，与交于点，连接．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数有（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】由点D，E分别是边AC，AB的中点知DE是△ABC的中位线，据此知DE∥BC且，从而得△ODE∽△OBC，根据相似三角形的性质逐一判断可得．【详解】解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC且，∴∠ODE=∠OBC、∠OED=∠OCB，∴△ODE∽△OBC，∴，故，故①正确；∴，又∵，∴，故②正确；，故③正确；，故④正确；故4个结论均正确，故选：A；【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的判定与性质．二、填空题11．如图，AB=DE，AB∥DE．请添加一个条件____________使△ABC△DEF．【答案】BC=EF或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE【分析】要使△ABC≌△DEF，已知AB=ED，∠B=∠DEF，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．【详解】要使△ABC≌△DEF，已知∠B=∠DEF，AB=DE，则可以添加BC=EF，运用SAS来判定其全等；

也可添加一组角运用AAS来判定其全等，如∠A=∠D，或∠ACB=∠DFE．

故答案为：BC=EF或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．12．一棵垂直于地面的大树在离地面6m处折断，树的顶部落在离大树底部8m处，大树折断之前的高度是________．【答案】16m【分析】在折断的大树与地面构成的直角三角形中，由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出大树折断之前的高度．【详解】解：如图，

在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，

由勾股定理，得：AC===10(米)，

∴AC+AB=10+6=16米，即大树折断之前有16米高．

故答案为：16米．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是在直角三角形ABC中运用勾股定理求出AC的长．13．已知，则______．【答案】．【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．【详解】∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．14．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为__________．【答案】（2.5，5）．【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出A点坐标．【详解】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2，∵C（1，2），∴点A的坐标为：（2.5，5）故答案为（2.5，5）．【点睛】本题考查位似图形的应用，熟练掌握位似图形的相似比和两点间的距离公式是解题关键．15．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BD∥AC，且BD＝BC过点D作DE⊥BC，垂足为E．若CE＝2，则BD的长为_______．【答案】17【分析】依据AAS证明△BED≌△CAB得DE=AB=8，设BE=x，则BD=x+2，由勾股定理列方程求解即可得到结论．【详解】解：∵BD//AC，∴∠ACB=∠EBD，∵DE⊥BC，∴∠DEB=90︒∴∠A=∠DEB在△ABC和△EBD中∴△BED≌△CAB(AAS)∴DE=AB=8设BD=x，则BE=x-2在Rt△BED中，由勾股定理得，，即：解得，x=17，即BD=17，故答案为：17．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判断与性质以及勾股定理的应用，得出DE=AB=8是解答本题的关键．16．如图，AB⊥CD，且AB=CD，E，F是AD上两点，CF⊥AD，BE⊥AD．若CF=8，BE=6，AD=10，则EF的长为__________________．【答案】4【分析】只要证明△ABE≌△CDF，可得AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，再根据线段的和与差求出ED的值，最后求出EF的值．【详解】解：∵AB⊥CD，CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，∵AD=10，∴ED=AD-AE=10-8=2∴EF＝FD-ED=6-2=4，故答案为4．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，则木竿PQ的长度为_______m．【答案】2.4【分析】过N点作ND⊥PQ于D，先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再求出PQ即可．【详解】解：如图，过N点作ND⊥PQ于D，

∴，

又∵AB=2，BC=1.5，DN=PM=1.2，NM=0.8，

∴，∴QD=1.6，

∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.6+0.8=2.4（m）．

故答案为：2.4．【点睛】在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．18．如图，是的高，，点在边上，点在边上，，垂足为，当时，则_________．【答案】【分析】根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵是的高，∴BC⊥AD∵∴SR//BC∴△ASR∽△ABC∴∵∴，即∴，即．故答案为：．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用定理与性质是解答本题的关键．19．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②④【分析】①根据折叠、矩形的性质进行推理即可；②根据等高三角形的面积比等于底边的比计算分析即可；③由矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定定理计算分析即可；④由矩形的性质可得CD的长，根据CE＝CD﹣ED求得CE的值，则可求得答案．【详解】解：①由折叠的性质可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°．故①正确；②由折叠的性质可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6，∴HF＝BF﹣BH＝4，∴＝＝＝，∴2S△BFG＝5S△FGH；故②正确；③∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，AF＝＝8，设GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x，在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴AG＝3，∴FD＝2；同理可得ED＝，∴＝＝2，＝＝，∴≠，∴△ABG与△DEF不相似，故③错误；④∵CD＝AB＝6，ED＝，∴CE＝CD﹣ED＝，∴＝，∴4CE＝5ED．故④正确．综上所述，正确的结论的序号为①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．20．如图，已知中，，，直角的顶点是中点，两边．分别交．于点．，给出下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④四边形的面积随着点．的位置不同发生变化，当在内绕顶点旋转时（点不与．重合），上述结论中始终正确的有________（把你认为正确的结论的序号都填上）．【答案】①②【分析】利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．【详解】解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，

∴∠APE＝∠CPF，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，P是BC中点，

∴AP＝CP，

又∵AP＝CP，∠EPA＝∠FPC，∠EAP＝∠FCP＝45°

∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，

∴AE＝CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF＝S△ABC，①②正确，④错误，四边形的面积是固定的；

∵旋转过程中，EF的长度的变化的，故EF≠AB，③错误，

始终正确的是①②，

故答案为：①②．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．三、解答题21．已知：如图，是的中点，，．求证：．【答案】见解析【分析】由中点定义得AM=BM，在利用SAS判定两个三角形全等证明即可．【详解】解：∵是的中点，∴在和中．【点睛】本题考查SAS定理及其应用，观察图形，找出图中隐含的等量关系是解题关键．22．已知：如图，在中，为的中点，，垂足分别为，且．（1）求证：；（2）若，求的面积．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据已知利用HL定理证明，即可得证；（2）连接AD，利用HL定理易得证，根据已知数据利用分割法即可求解．【详解】（1）证明：∵为的中点，∴，∵，垂足分别为，∴，在与中∴，∴．（2）解：连接，∵，垂足分别为，∴，在与中∴，∴，∴，又∵∴．【点睛】本题主要考查直角三角形全等证明．掌握HL定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是本题的解题关键．23．如图，在中，于点为上的点，．（1）求证：（2）若求的长．【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）由题意可得AD=DP，由“HL”可证Rt△ADB≌Rt△PDC，可得结论；

（2）可求∠CPD=60°，∠PCD=30°，由直角三角形的性质可求PB的长．【详解】解：（1）∵BD⊥AC，∠PAC=45°，

∴∠DPA=∠PAC=45°，

∴AD=DP，且AB=CP，

∴Rt△ADB≌Rt△PDC（HL），

∴CD=BD；

（2）∵，∠DPA=45°，

∴∠CPD=60°，

又∵BD⊥AC，

∴∠PCD=30°，∵AB=CP，∴CP=2，∴PD=1，

∴CD=．∴BD=，∴PB=.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．24．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，点D在AB上，且BD＝CD．（1）求BD的长．（2）求△BDC的面积．【答案】（1）BD＝cm；（2）cm2．【分析】（1）由勾股定理逆定理判断出∠BAC＝90°，设BD＝CD＝xcm，则AD＝(8－x)cm，对Rt△ADC由勾股定理列方程，解出x，即可求出BD；（2）根据三角形的面积公式即可求出结论．【详解】解：（1）∵AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，设BD＝CD＝xcm，则AD＝(8－x)cm．在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2＋AC2＝CD2，即(8－x)2＋62＝x2，解得x＝，即BD＝cm．（2）S△BDC＝BD·AC＝××6＝cm2．【点睛】此题考查的是勾股定理及逆定理，本题关键在于设出未知数，借助勾股定理列方程求解．25．如图，在平行四边形中，过点作垂足为，连接为线段上一点，且．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据平行四边形的性质可得出∠C+∠B=180°、∠ADF=∠DEC，结合∠AFD+∠AFE=180°（邻补角互补）、∠AFE=∠B（已知）即可得出∠AFD=∠C，进而可证出△ADF∽△DEC；

（2）根据平行四边形的性质可得出CD=AB=8，根据相似三角形的性质可得出，代入各线段长度可求出DE的长度，再在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求出AE的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C．∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=8．

∵△ADF∽△DEC，∴∴DE=16．

∵AD∥BC，AE⊥BC