【圆相关证明与计算】类型一-圆的基本性质证明与计算（解析版）

PAGE类型一圆的基本性质证明与计算【典例1】如图．点A，B，C，D，E均在⊙O上．∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】D【解析】【分析】首先连接BE,由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数,然后由圆周角定理,求得∠BOD的度数.【详解】解：连接BE,∵∠BEC＝∠BAC＝15°,∠CED＝30°,∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°,∴∠BOD＝2∠BED＝90°.故选:D.【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用,做题的时候分清楚每一个角是解此类题的关键.【典例2】如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（）A．70° B．110° C．130° D．140°【答案】B【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，故选：B．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【典例3】如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（）A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°【答案】D【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．【详解】解：∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，∵∠AOD+∠COD＝90°，∴β+180°﹣2α＝90°，∴2α﹣β＝90°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．【典例4】如图，在中，，以点O为圆心，2为半径的圆与交于点C，过点C作交于点D，点P是边上的动点．当最小时，的长为（）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】【分析】延长CO交于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出CD，PO的长即可．【详解】延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，如图，∵CD⊥OB，∴∠DCB=90°,又，∴∠DCB=∠AOB，∴CD//AO∴∵OC=2，OB=4，∴BC=2,∴，解得，CD=；∵CD//AO，∴，即，解得，PO=故选：B．【点睛】此题主要考查了轴对称最短距离问题，同时考查了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键．【典例5】如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】连接BO，根据圆周角定理可得，再由圆内接三角形的性质可得OB垂直平分AC，再根据正弦的定义求解即可．【详解】如图，连接OB，∵是的内接三角形，∴OB垂直平分AC，∴，，又∵，∴，∴,又∵AD=8，∴AO=4，∴，解得：，∴．故答案选B．【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键．【典例6】如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据是的直径，弦，由垂径定理得，再根据证得，即可证明，即可得出．【详解】解：是的直径，弦，，．又在和中，，故选：B【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，等积变换，解此题的关键是证出，从而将阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积，题目比较典型，难度适中．【典例7】如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2．则BO的长是_________．【答案】4【解析】【分析】连结OC，设⊙O的半径为r，由DC2=CE•CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到，则，然后证明，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值即可．【详解】解：连结，如图，设的半径为，，，而，，，，，，，，，，，，，，，即，，即OB=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理．【典例8】如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为．【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．【解答】解：∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，∴AE＝AB，EG＝BC；根据圆周角的性质可得：∠MFG＝∠MEG．∵sin∠MFG＝sin∠MEG＝＝，∴sin∠MFG＝．故答案为：．【点评】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．【典例9】如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．【详解】∵和∠ABC所对的弧长都是，∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，∴在Rt△ACB中，AB=根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，∴=，故选A．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．【典例10】如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是()A．AE>BEB.eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))C．∠D＝eq\f(1,2)∠AECD．△ADE∽△CBE【答案】：D命题点2圆周角定理【典例11】如图，点O为优弧eq\o(AB,\s\up8(︵))所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D______．【答案】：27°重难点1垂径定理及其应用【典例12】已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2.(1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝_______；图1图2图3图4探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝_____；(2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点．①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝__________；②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝___________．【答案】：（1）8,（2）【思路点拨】由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．【变式训练1】如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为()A．4B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)【答案】：D【变式训练2】【分类讨论思想】已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是__________________【答案】：2cm或14cmeq\x(方法指导)1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．重难点2圆周角定理及其推论【典例14】已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；(2)如图2，若∠A＝45°：①求BC的长；②若点C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，求AB的长；(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．图1图2图3【答案】（1）4（2）4eq\r(2).,8（3）4eq\r(2).【点拨】连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解．【解析】解：(1)连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．∴BC＝OB＝4.(2)①连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形．∵OB＝OC＝4，∴BC＝4eq\r(2).②∵点C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直径．∴AB＝8.(3)在优弧eq\o(BC,\s\up8(︵))上任取一点D，连接BD，CD，连接BO，CO.∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.∵OB＝OC＝4，∴BC＝4eq\r(2).【变式训练3】如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是()A．58°B．60°C．64°D．68°【答案】：A【变式训练4】将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为()A．15°B．28°C．29°D．34°【答案】Ceq\x(方法指导)1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧．2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决．3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补．eq\x(模型建立)在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边．eq\x(易错提示)注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒．重难点3圆内接四边形【典例14】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为()A．50°B．60°C．80°D．90°【答案】C【思路点拨】延长AE交⊙O于点M，由垂径定理可得eq\o(CD,\s\up8(︵))＝2eq\o(DM,\s\up8(︵))，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE与∠EAD互余，由此得解．【变式训练5】如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是()A．80°B．120°C．100°D．90°【答案】B【变式训练6】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝____________【答案】n°eq\x(方法指导)1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ能力提升1．如图，在⊙O中，如果eq\o(AB,\s\up8(︵))＝2eq\o(AC,\s\up8(︵))，那么()A．AB＝ACB．AB＝2ACC．AB＜2ACD．AB＞2AC【答案】C2．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为()A．2B．2eq\r(3)C．4D．4eq\r(3)【答案】D3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C，分别作O′E⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.若OB＝8，OC＝6，则⊙O′的半径为()A．7B．6C．5D．4【答案】C4．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是()A．25°B．27.5°C．30°D．35°【答案】D5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为()A．15°B．35°C．25°D．45°【答案】A6．如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，则∠C的度数为()A．30°B．43°C．47°D．53°【答案】C如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是________cm.【答案】10cm8．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．【答案】：(1)证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE,∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝DB.(2)连接CD.∵eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴CD＝BD＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC是直径．∴∠BDC＝90°.∴BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝4eq\r(2).∴△ABC外接圆的半径为2eq\r(2).9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为()A．5B．4C．3eq\r(5)D．2eq\r(5)提示：过点D作DF⊥AC于点F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解．【答案】D10．如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，DE⊥AB于点E，且DE交AC于点F，DB交AC于点G.若eq\f(EF,AE)＝eq\f(3,4)，则eq\f(CG,GB)＝_____________．【答案】e