2023-2024学年湖北省随州市曾都六校高二（上）期中数学试卷（含解析）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省随州市曾都六校高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l经过A(0,1)，B(A.π6 B.π3 C.2π2.椭圆x219+y27A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等3.已知直线l1：(m+3)x+2y+A.1或−4 B.1 C.2 D.4.一束光线自点P(−1,1,1)A.23 B.6 C.25.在正四面体P−ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则异面直线PEA.−36 B.36 6.已知半径为2的圆经过点(3,4)A.4 B.5 C.6 D.77.已知F1、F2为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>bA.22 B.55 C.8.已知三棱锥S−ABC的顶点都在球O的表面上，球O的表面积为36π，在△ABC中，∠AA.4 B.26 C.5 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则个体m被抽到的概率是0.1

B.采用分层抽样的方法从高一640人、高二760人、高三n人中，抽取55人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为19人，则n=800

C.数据12，13，14，15，17，19，23，24，27，30的第70百分位数是23

D.已知一组数据1，2，m，5，8的平均数为410.已知事件A，B满足P(A)=0.7，A.P(AB)=0.14

B.如果B⊆A，那么P(A∪B)=0.7

11.已知圆C：(x−2)2+y2=1，点P是直线l：x−y=0上一动点，过点PA.圆C上恰有两个点到直线l的距离为12

B.切线长|PA|的最小值为2

C.当|PC|⋅|12.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，A.直线A1G，C1E为异面直线

B.直线A1G与平面DD1C1C所成角的正切值为255

C.过点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.将一颗质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是______．14.在正四棱台ABCD−A1B1C1D15.原点到直线(λ+2)x16.已知直线l与椭圆x29+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|M四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知圆心为M的圆经过O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)这三个点．

(1)求圆18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD，四边形ABCD正方形，PA⊥平面ABCD．PA=23，AB=219.(本小题12分)

已知△ABC的顶点B(4,3)，AB边上的高所在的直线方程为2x+3y−9=0，E为BC的中点，且AE所在的直线方程为x−320.(本小题12分)

第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行.为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛.已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12，13，14，通过初赛后再通过决赛的概率均为12，假设他们之间通过与否互不影响．

(1)求这3人中至多有2人通过初赛的概率；

(2)求这3人都参加市知识竞赛的概率；

(3)某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励21.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB/​/CD，AB⊥BC，AB=BC=2CD=2，PA=122.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率e=22，且经点(−1,22)．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C答案和解析1.【答案】D

【解析】解：设直线l的倾斜角为α，

因为直线l经过A(0,1)，B(3,0)两点，

所以直线l的斜率为kAB=0−132.【答案】C

【解析】解：椭圆x219+y27=1的长轴长为219，短轴长为27，

离心率为19−719=1219=233.【答案】B

【解析】解：直线l1：(m+3)x+2y+1=0，直线l2：2x+m4.【答案】C

【解析】解：点P(−1,1,1)关于平面yOz的对称点M(1,1,1)，

一束光线自点P(−1,1,5.【答案】B

【解析】解：如图，取AC的中点G，连接EG，PG，

因为E是棱AB中点，

所以EG/​/BC，故∠PEG或其补角为异面直线PE与BC夹角，

又正四面体棱长为2，故PE=PG=3,EG=1，

cos∠PEG=PE6.【答案】D

【解析】解：设圆心到原点的距离为d，

则dmax=(3−0)27.【答案】A

【解析】解：设|QF1|=3m，由题意sin∠F1PQ=|QF1||PF1|=35，

则|PF1|=5m，又QF1⊥QF2，

∴|PQ|8.【答案】B

【解析】解：因为∠ABC=90°，设O1是△ABC的外心，则O1为AC的中点，且O1B=12AC=22，

由球的表面积为36π，即4πR2=36π，解得R=3，所以OO1=R2−O1B2=1，

当S，O，O1三点共线，且SO垂直于面ABC，且9.【答案】AB【解析】解：对于A：个体m被抽到的概率P=10100=0.1，故A正确；

对于B：由题意可得，760640+760+n=1955，解得n=800，故B正确；

对于C：∵10×70%=7，∴第70百分位数第7、8两数的平均数，即23+242=23.5，故C错误；

对于D：由题意可得10.【答案】BC【解析】解：A选项：当A与B相互独立时，P(AB)=P(A)P(B)=0.14，A选项错误；

B选项：若B⊆A，则P(A⋃B)=P(A)=0.7，B选项正确；

11.【答案】AC【解析】解：由圆C：(x−2)2+y2=1，得圆心C(2,0)，半径圆r=1，

A选项：点C到直线l的距离为d=|2−0|12+(−1)2=2，又1<d<32，即r<d<r+12，

所以圆C上恰有两个点到直线l的距离为12，A选项正确；

B选项：切线长|PA|=|PC|2−|AC|2=|PC|2−1，

所以当|PC|取最小值时，切线长|PA|最小，|PC|min=d=2，所以|PA|min=1，B选项错误；

C选项：由已知SACBP=12|PC|12.【答案】BC【解析】解：选项A，连接EG，AC，A1C1，因为E，G分别是AD，CD中点，则EG//AC，又A1C1/​/AC，

所以EG//A1C1，所以A1，C1，G，E四点共面，从而直线A1G，C1E为共面直线，A错误；

选项B，连接D1G，由A1D1⊥平面DD1C1C知，直线A1G与平面DD1C1C所成角是∠A1GD1，

D1G=22+12=5，tan∠A1GD1=A1D1D1G=25=255，B正确；

选项C，延长FE交A1A的延长于H，连接HB，BC1，BE，正方体中易证AD1/​/BC1，

因为DD1//A1A，E是AD中点，F是DD1中点，所以EH=EF=12AD1=12BC1，

从而FH=BC1，EF//AD1//BC1，所以FHB13.【答案】536【解析】解：将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，

基本事件总数n=6×6=36，

“点数之和等于6”包含的基本事件有：

(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,14.【答案】283【解析】解：如图，设底面正方形的中心分别为O1，O，连接A1C1，AC，O1O，

则由ABCD−A1B1C1D1为正四棱台可知四边形ACC1A1为等腰梯形，

15.【答案】2【解析】解：(λ+2)x+(2λ−1)y+(λ−3)=0变形为(x+2y+1)λ+2x−16.【答案】x+【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点为E，

由x129+y123=1,x229+y223=1，相减可得y22−y12x22−x12=−13，

则kOE⋅kAB=y1+y2x1+x2⋅y2−y1x2−x1=y2217.【答案】解：(1)设圆M的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，

因为过O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，

所以a2+b2=r2(1−a)2+(1−b)2=r2(【解析】(1)设出圆M的标准方程，根据过点列出方程组求解即可；

(2)直线l斜率不存在讨论，直线l斜率存在，设方程，根据圆心到l的距离，l被圆18.【答案】(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE，

∵底面ABCD为正方形，∴O为BD中点，

∵点E是PD的中点，∴OE/​/PB，

∵OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，

∴PB/​/平面ACE．

(2)解：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形，

所以CD⊥AD，又PA∩AD=A，PA，AD⊂【解析】(1)连接BD交AC于点O，连接OE，即可得到OE/​/PB，从而得证；

(2)19.【答案】解：(1)AB边上的高所在的直线方程为2x+3y−9=0，

则可设直线AB：3x−2y+m=0，过点B(4,3)，

则3×4−2×3+m=0，解得m=−6，

所以AB：3x−2y−6=0，

又直线AE：x−3y−2=0，

联立方程组3x−2y−6=0x−3y−2=0，解得x=2y=0，

即A(2,0【解析】(1)根据高线方程可得直线AB斜率与方程，结合直线AE方程可得A，设点C(x0,y0)，则满足2x0+3y20.【答案】解：(1)由题意可得：3人全通过初赛的概率为12×13×14=124，

所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为1−124=2324；

(2)甲参加市知识竞赛的概率为12×12=14，

乙参加市知识竞赛的概率为1【解析】(1)计算出3人都没有通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

(2))计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件概率公式可求得所求事件的概率；

(21.【答案】(1)证明：连接AE，AE与BD的交点记为点O，因为AB=BC，

所以BE=12BC=1=CD，∠ABE=∠BCD=90°，

所以△ABE≌△BCD，所以∠BAE=∠CBD，

因为∠ABD+∠CBD=90°，

所以∠ABD+∠BAE=90°，

所以∠AOB=90°，即BD⊥AE，

又因为BD⊥PE，且PE⋂AE=E，PE⊂平面PAE，AE⊂平面PAE，

所以BD⊥平面PAE，

因为PA⊂平面PAE，所以BD⊥PA，

因为在△PAB中，PA2+AB2=PB2，所以【解析】(1)由