专题05椭圆十二个重难点归类（解析版）2023-2024学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019）

第第页专题05椭圆十二个重难点归类一、椭圆的定义平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.定义式：.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.二、椭圆的标准方程焦点在轴上，；焦点在轴上，.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：.三、椭圆的图形及其简单几何性质标准方程图形焦点位置几何性质范围顶点焦点对称性离心率在轴上，对称轴：轴，轴，对称中心：原点，在轴上，注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.四、必记结论1．设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处．2．已知过焦点F1的弦AB，则的周长为【重难点一椭圆的定义】例1．在平面直角坐标系中，，，平面中动点P满足条件（m为常数，且），则点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．直线 D．椭圆或线段【答案】A【分析】结合基本不等式及椭圆的定义判断即可.【详解】因为，所以，即，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．故选：A．例2．若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将方程转化为，利用椭圆定义法求标准方程.【详解】已知动点满足方程，设，且，则有，故点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，且中心在原点，焦点在轴，即点的轨迹轨迹方程为椭圆的标准方程，则，，故所求轨迹方程为,故选：B.平面内动点平面内动点到两定点的距离的和为常数，即，当时，动点的轨迹是椭圆；当时，动点的轨迹是一条线段；当时，动点的轨迹不存在.【跟踪练习】练习1．已知点，动点满足，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆【答案】C【分析】根据的大小关系判断动点轨迹即可.【详解】由题设知：，此时动点P必在线段AB上，即动点轨迹为线段.故选：C练习2．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用椭圆的定义列式计算得解.【详解】椭圆的长轴长，而点到椭圆一个焦点的距离为7，所以到另一个焦点的距离为.故选：A练习3．（多选）过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可能是（）A．圆 B．椭圆C．线段 D．射线【答案】AB【分析】根据椭圆及圆的定义数形结合得出结论.【详解】如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r．若点A与点B不重合，由于两圆相内切，则，由于，

∴，即．∴动点C到两个定点A，B的距离和为常数R．∵B为圆内的定点，∴．∴动点C的轨迹为椭圆．若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆．故选：AB.练习4．在中，若，，的周长是18，则顶点C的轨迹方程是【答案】，【分析】根据得到顶点C的轨迹是椭圆，确定即可得方程.【详解】设顶点，则，所以顶点C的轨迹是以为焦点的椭圆，除去左右两个顶点，设该椭圆为，其中，所以椭圆为，即顶点C的轨迹方程是，.故答案为：，.【重难点二求椭圆的标准方程】例3．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用待定系数法求出椭圆的标准方程.【详解】由题意，设椭圆的标准方程为，半焦距为，由题意可得：，解得，所以椭圆的标准方程为．故选：A.例4．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点；(2)经过两点，．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题设椭圆焦点在y轴上且，设椭圆方程，根据参数关系及点在椭圆上列方程求参数，即得方程；（2）设椭圆方程，由点在椭圆上列方程组求参数，即得方程.【详解】（1）由已知：椭圆焦点在y轴上且，则，且设椭圆方程为，又在椭圆上，所以，故椭圆方程为.（2）设椭圆方程为，且，在椭圆上，所以，则椭圆方程为.（1）若椭圆的焦点位置确定，则用待定系数法求椭圆的标准方程：（1）若椭圆的焦点位置确定，则用待定系数法求椭圆的标准方程：①根据焦点位置设方程为或；②根据已知条件求出，③写出椭圆的标准方程（2）若椭圆的焦点位置不确定，则可设椭圆的方程为，，避免因焦点位置不确定而对方程形式进行分类讨论.若求出的参数值有两组，则满足条件的椭圆的标准方程有两个.【跟踪练习】练习1．已知椭圆C过点，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】就焦点的位置分类讨论后结合基本量的关系可求标准方程.【详解】若焦点在x轴上，则．由，得，所以，此时椭圆C的标准方程为．若焦点在y轴上，则．由，得，此时椭圆C的标准方程为．综上所述，椭圆C的标准方程为或．故选：D.练习2．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设所求椭圆方程为，依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程.【详解】椭圆的焦点为或，设所求椭圆方程为，则，解得，所以椭圆方程为.故选：D练习3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点的坐标分别是，，并且经过点；(2)经过两点，.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意求出即可；（2）设椭圆的方程为，再利用待定系数法求解即可.【详解】（1）设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为，则，且焦点在轴上，，所以，所以椭圆方程为；（2）设椭圆的方程为，则，解得，所以椭圆方程为.练习4．分别根据下列条件求椭圆标准方程：(1)一个焦点为(2)与椭圆有相同的焦点，且经过点【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知可得a，c，然后由求出b，即可得椭圆方程；（2）根据已知椭圆方程可得焦点坐标，然后设所求椭圆方程为，代入已知点坐标，结合即可求解.【详解】（1）由题知，，椭圆焦点在x轴上，又，所以，所以，椭圆方程为.（2）椭圆的焦点为，设所求椭圆方程为，则有，解得，所以所求椭圆方程为.【重难点三根据椭圆的方程求参数】例5．“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据椭圆标准方程的特征，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】若方程表示的曲线是椭圆，则，，且，所以且．故“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选：C例6．如图，，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是边长为2的正三角形，则的值是．【答案】【分析】根据是边长为2的正三角形可得，同时可得到点P的坐标，将点P的坐标代入椭圆方程，再结合就是可以求出的值.【详解】因为是边长为2的正三角形可得，同时可得到点P的坐标为，因为点P在椭圆上，所以，又因为，即，所以由方程组，解得.故答案为：【跟踪练习】练习1．“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】把方程化为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，方程，可化为标，当时，方程表示焦点在上的椭圆，即充分性成立；若方程表示焦点在上的椭圆，则满足，即必要性成立，所以时方程表示焦点在上的椭圆的充要条件.故选：A.练习2．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为．【答案】【分析】方程表示焦点在轴上的椭圆，可得的分母均为正数，且的分母较大，由此建立关于的不等式，求解即可．【详解】∵方程表示焦点在轴上的椭圆，∴，解得，则的取值范围为是.故答案为：.练习3．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．【答案】【分析】直接根据椭圆标准方程与椭圆焦点位置的关系列不等式求解.【详解】方程，即表示焦点在y轴上的椭圆，得，解得.故答案为：.练习4．已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等边三角形，则是．【答案】3【分析】先确定，然后根据为等边三角形得到，带入已知计算即可.【详解】由已知得，则，又为等边三角形，则，即所以，解得.故答案为：.【重难点四椭圆的焦点三角形】例7．已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据条件设，再根据条件可得，代入即可求解出结果.【详解】设，由题知，，所以，又，得到，代入，解得，所以,故选：B.例8．（多选）椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，且点Q在第四象限，若，则（

）A．为等腰直角三角形 B．C的离心率等于C．的面积等于 D．直线l的斜率为【答案】ABC【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知，且满足，即可得A正确；易知可得C正确；在等腰直角三角形中，可知直线的斜率为，计算可得的离心率等于.【详解】对于选项A：因为，不妨设，又因为，可得；利用椭圆定义可知，所以；即，所以点即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：

由，可知满足，所以，故A正确；对于选项B：在等腰直角三角形中，易知，即可得离心率，故B正确；对于选项C：因为为等腰直角三角形，且，因此的面积为，故C正确；此时可得直线的斜率，故D错误；故选：ABC.在解椭圆中焦点三角形的有关问题时在解椭圆中焦点三角形的有关问题时，可结合椭圆的定义及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．【跟踪练习】练习1．已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与交于两点，若满足成等差数列，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由椭圆定义可得，结合已知条件可得，在中，由余弦定理得为等边三角形，在中，可得，得解.【详解】

由得到，设，,在中，由余弦定理得，，解得，为等边三角形，则在中，，，又，，得，解得.故选：B.练习2．（多选）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的有（

）A．点到右焦点的距离的最大值为 B．焦距为C．若，则的面积为 D．的周长为【答案】BD【分析】利用椭圆焦半径公式可得点到右焦点的距离的最大值为，可知A正确；易知焦距为，可知B错误，利用椭圆定义即勾股定理可知的面积为，即C正确；的周长为，D错误.【详解】根据椭圆方程可知，，则；点到右焦点的距离的最大值为，可知A正确；焦距为，即B错误；由椭圆定义可知，若，则，所以，可得，可得的面积为，即C正确；易知的周长为，即D错误；故选：BD练习3．已知直线l：经过椭圆C：的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，为椭圆的右焦点，的周长为16，则此椭圆的短轴长为．【答案】【分析】确定，根据周长确定，得到答案.【详解】直线l：经过椭圆的左焦点，则，，

的周长为，解得，故，椭圆的短轴长为.故答案为：.练习4．在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.(1)求动点的轨迹方程.(2)若为动点的轨迹上一点，且，求三角形的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，再根据题意列出关于的等式，化简即可；（2）根据椭圆的定义结合余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】（1）设，则，即，整理得，所以动点的轨迹方程为；（2）由（1）得动点的轨迹为椭圆，且为其焦点，则，由余弦定理得，即，所以，所以.【重难点五与椭圆定义相关的最值问题】例9．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可得，求出的最小值，即可得解.【详解】椭圆，则，，，如图，设椭圆的右焦点为，则；，由图形知，当在直线（与椭圆的交点）上时，，当不在直线（与椭圆的交点）上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，；当在的延长线（与椭圆的交点）上时，取得最小值，的最小值为．

故选：．例10．（多选）已知椭圆C：的右焦点为F，点为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得，则m的值可以为（

）A． B． C．24 D．25【答案】BCD【分析】根据题意，由点在椭圆内部，再结合椭圆的定义，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】设椭圆的左焦点为，则，由点A在椭圆内部得，结合，解得，根据椭圆的定义及得，又当P，，A三点共线时最大，从而，解得，综上，，故选:BCD．解决椭圆中最值问题的常见思路解决椭圆中最值问题的常见思路设为椭圆上一点，为椭圆的焦点．（1）与有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件．（2）与的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解．【跟踪练习】练习1．设F是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可.【详解】，设为该椭圆的左焦点，，所以，于是，显然当三点共线，且与垂直时，有最小值，最小值为，故选：D练习2．已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】先由焦点坐标求出椭圆方程，再根据椭圆定义转化，数形结合可得，得解.【详解】

由为椭圆的焦点，，，，，，设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义得，，所以的最小值为.故选：A.练习3．已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（

）A．12， B．，C．12，8 D．9，【答案】C【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合线段和差的三角不等式列式求解即可.【详解】令椭圆的左焦点为，有，由椭圆定义知，

显然点在椭圆内，，直线交椭圆于，而，即，当且仅当点共线时取等号，当点与重合时，，则，当点与重合时，，则，所以的最大值和最小值为12，8.故选：C练习4．设实数满足的最小值为（

）A． B． C． D．前三个答案都不对【答案】A【分析】利用椭圆的定义可求代数式的最小值.【详解】设，则在椭圆上，又，设，则为椭圆的右焦点，如图，设椭圆的左焦点为，则：，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，而，故的在最小值为，故选：A.

【重难点六椭圆的简单几何性质】例11．已知椭圆C的焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点，则的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆上的点及椭圆的长短轴关系即可求得椭圆方程.【详解】由题可知，所以，且椭圆C的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为.故选：A.例12．（多选）已知椭圆的一个焦点和一个顶点在直线上，则该椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】求出直线的两截距，注意区分椭圆焦点在轴上和椭圆焦点在轴上即可解答.【详解】由题直线的横截距为2，纵截距为，当椭圆焦点在轴上时，，则，此时椭圆的标准方程为；当椭圆焦点在轴上时，，则，此时椭圆的标准方程为.故选：AD.【跟踪练习】练习1．（多选）已知椭圆：，则下列各选项正确的是（

）A．若的离心率为，则B．若，的焦点坐标为C．若，则的长轴长为6D．不论取何值，直线都与没有公共点【答案】BCD【分析】对于A，分焦点在轴上和焦点在轴上讨论即可判断；对于B，根据得出的焦点在轴上，再由平方关系即可判断；对于C，根据，可以得出，根据长轴长的定义即可判断；对于D，首先求出的范围，然后在方程中，令，得出矛盾，由此即可判断.【详解】对于A，当椭圆：的焦点在轴上时，此时；但当椭圆：的焦点在轴上时，此时，解得，综上，若的离心率为，则或，故A错误；对于B，若，则的焦点在轴上，，即的焦点坐标为，故B正确；对于C，若，则的焦点在轴上，，所以的长轴长为，故C正确；对于D，由题意方程表示椭圆，所以，在中令，得，即，结合可知，，这与矛盾，这表明了不论取何值，直线都与没有公共点，故D正确.故选：BCD.练习2．已知菱形的四个顶点是椭圆的四个顶点，则菱形的面积为．【答案】【分析】根据菱形面积是对角线乘积再结合长轴长和短轴长计算即可.【详解】菱形的面积为．故答案为:.练习3．（多选）已知椭圆：，在下列结论中正确的是（

）A．长轴长为8 B．焦距为C．焦点坐标为 D．离心率为【答案】ABD【分析】先确定的值，然后根据椭圆性质逐一判断选项即可.【详解】由已知得，则，故椭圆长轴长为，焦距为，焦点坐标为，离心率，故ABD正确，故选：ABD.练习4．椭圆与椭圆的（

）A．长轴相等 B．短轴相等C．焦距相等 D．离心率相等【答案】C【分析】根据两个椭圆的标准方程，求出焦距即可得到结论.【详解】因为中的，所以，焦距为；因为中的，所以，焦距为；故选：C.【重难点七求椭圆的离心率】例13．国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为12cm，则小椭圆的长轴长为（

）cmA．12 B．24 C．10 D．【答案】B【分析】利用椭圆的扁平程度可知两椭圆离心率相同，即可求得小椭圆的长轴长为.【详解】由扁平程度相同可知其离心率相同，设大小椭圆的离心率为；对于大椭圆可得，设小椭圆的长轴长为，则，解得.故选：B例14．如图，是椭圆上的三个点，经过原点经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率为.

【答案】【分析】设椭圆的左焦点为，连接，设，利用对称性得到，，，再根据，分别在和中，利用勾股定理求解.【详解】解：如图所示：

设椭圆的左焦点为，连接，设，由对称性知：，，，因为，所以，在中，，即，解得，在中，，将代入上式，得，故答案为：求椭圆离心率的值或取值范围，一般先将已知条件转化为关于求椭圆离心率的值或取值范围，一般先将已知条件转化为关于的方程或不等式，再求解（1）若已知可直接代入求得.（2）若已知则使用.求解.（3）若已知，则先求，再利用（1）求解.（4）若已知的关系，可转化为关于离心率的方程(不等式)求值【跟踪练习】练习1．已知椭圆:的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与交于两点，与轴的交点为，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据全等得到是等边三角形，得到与和的关系，得到离心率的值.【详解】

连接，，由题意得，，易知，，，，，，，是等边三角形，，，，.故选：C练习2．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连结BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图像，求出各点坐标结合向量共线，求出关系即可.【详解】当时，，所以，则，，则，则.故选：A

练习3．已知椭圆的右焦点为，点，在直线上，，为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量的数量积的坐标运算公式和离心率公式计算求解.【详解】由已知设，则，则，又，两式做差可得，整理得，则.故选：C.练习4．已知椭圆的两个焦点为，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的内切圆半径，则该椭圆的离心率为．【答案】【分析】先根据倾斜角求出弦长，再根据内切圆半径公式求出的关系.【详解】因为直线过左焦点且，所以设直线，联立，得，易知，所以，所以，又因为，所以右焦点到直线的距离，所以，根据内切圆半径公式可得，其中为的周长为，所以，解得，即【重难点八求椭圆的离心率范围】例15．设分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用中垂线的性质列出关于的方程，再转化为关于的方程即可.【详解】由题知，如图所示：

设P，F1（－c，0），F2（c，0），由线段PF1的中垂线过点F2得｜PF2｜＝｜F1F2｜，即＝2c，得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1.故选：D.例16．已知椭圆，偶函数，且，则椭圆的离心率的取值范围是．【答案】【分析】根据奇偶性求m，由可得b的范围，然后可得离心率范围.【详解】是偶函数，，，解得，，，又，，．故答案为：【跟踪练习】练习1．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合点在椭圆内部的特点、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】根据椭圆的对称性，不妨设焦点在横轴上的椭圆标准方程为：，设，设，，点在椭圆内部，有，要想该不等式恒成立，只需，而，故选：B练习2．已知点是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得以为直径的圆与椭圆相交，所以，即可求出答案.【详解】解：由已知，以为直径的圆与椭圆相交，所以，所以，故选：D.练习3．已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，使得由点所作的圆的两条切线的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，且，根据题意问题化为保证时，进而得到关于椭圆参数的不等式，结合椭圆离心率范围及求法确定离心率的取值范围.【详解】由题设，圆与椭圆在上下顶点处相切，椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，如下图，

若且，要所作的圆的两条切线的夹角最小，只需最大，所以，当与左右顶点重合时，此时最小；靠近上下顶点时无限接近；在椭圆上存在一点，使得所作的圆的两条切线的夹角为，所以，保证时，即，由题意及图知：，故，而，所以椭圆的离心率的取值范围是.故选：A练习4．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为.【答案】【分析】根据题意得出以原点为圆心、以c为半径的圆与椭圆有交点，即，从而结合，即可求出椭圆离心率e的取值范围.【详解】因为椭圆上存在点P，使，所以以原点为圆心以c为半径的圆与椭圆必有交点，如图，，所以，又因为，所以，即，则，又因为，所以，所以椭圆的离心率e的取值范围为.

故答案为：.【重难点九直线与椭圆的位置关系】例17．已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式，即可解出m的取值范围．【详解】直线代入椭圆方程消去y得：；∵直线与椭圆有公共点，方程有解，∴；解得，即m的取值范围为.故选：A例18．在平面直角坐标系中，点到，两点的距离之和为4(1)写出点轨迹的方程；(2)若直线与轨迹有两个交点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用定义法求椭圆方程即可；（2）利用椭圆与直线位置关系的判断方法即可.【详解】（1）由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆，故，，，其椭圆方程为.（2）联立得，因为有两个交点，所以，解得，所以的取值范围为.判断直线与椭圆的位置关系时，常将直线与椭圆的方程联立，消元后，得到一个一元二次方程，利用判别式求解：判断直线与椭圆的位置关系时，常将直线与椭圆的方程联立，消元后，得到一个一元二次方程，利用判别式求解：⇔直线与椭圆相交；⇔直线与椭圆相切；⇔直线与椭圆相离．【跟踪练习】练习1．已知椭圆，直线，则与的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对【答案】A【分析】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解.【详解】由消去y并整理得：，显然，因此方程组有两个不同的解，所以与相交.故选：A练习2．已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P到直线l：的最大距离为.【答案】/【分析】求出与直线平行的直线方程，离直线较远的直线与的距离即为所求．【详解】设直线y＝x＋m与椭圆相切，由得13x2＋18mx＋9m2－36＝0，∴Δ＝（18m）2－4×13（9m2－36）＝0，解得m＝±，切线方程为y＝x＋和y＝x－，与l距离较远的是y＝x－，∴所求最大距离为d＝＝.故答案为：练习3．已知椭圆，过点作椭圆的切线，则切线方程为.【答案】或【分析】首先判断点与椭圆的位置关系，分类讨论切线的斜率是否存在，设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程求参数k，即可写出切线方程.【详解】因为，P在外部，1.当斜率不存在时，易知为椭圆一切线；2.当斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为，代入中并整理得，因为直线与椭圆相切，则，解得，此时切线方程为；所以切线方程为或.故答案为：或.练习4．设直线和椭圆有且仅有一个公共点，求和的取值范围．【答案】，【分析】先换元把直线和椭圆的位置关系转化为直线和圆只有一个公共点，最后把相切转化为圆心到直线距离等于半径，最后计算范围即可.【详解】令，则已知椭圆和直线变为相应的圆和直线，要使已知的直线与椭圆有且仅有一个公共点，只要相应的直线与圆相切．由直线和圆相切的充要条件可知，即，故得，即，解得．【重难点十弦长问题】例19．瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）､重心（中线的交点）､垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.已知的顶点，且，则的欧拉线被椭圆截得的弦长的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出欧拉线的方程，联立方程，表示出弦长，求出最值即可.【详解】因为，由等腰三角形的性质可得欧拉线一定过点,当斜率不存在时，被椭圆截得的弦长为2；当斜率存在时，设方程为，直线与椭圆的交点为,与椭圆方程联立可得，则，；令，则，且；，因为，所以，所以当时，即，取到最大值，最大值为.故选：C例20．已知椭圆：的长轴长等于6，离心率.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，且，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由椭圆的定义，结合余弦定理列出方程，再由三角形的面积公式，即可得到结果.【详解】（1）依题意，，∴.∵，即，∴.∴.∴椭圆的方程为.（2）由（1）知，，，设，，则，即，将，代入后，得，∴，即，∴.∴.∴的面积为.求弦长的两种方法：求弦长的两种方法：①出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解；②结合根与系数的关系，利用弦长公式或进行求解【跟踪练习】练习1．过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是.【答案】【分析】由题意可知即为椭圆与直线的交点，设，利用两点间的距离公式以及二次函数性即可求出的最大值是.【详解】根据题意可知，显然在椭圆上，不妨取，则，设，由不重合可知，且，即所以，根据二次函数性质可知，当时，取最大值为，即可得的最大值是.故答案为：练习2．已知椭圆的长轴长为，焦点是、，点到直线的距离为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)求线段的长．【答案】(1)(2).【分析】（1）根据题意及椭圆方程的关系求解即可；（2）联立椭圆方程和直线方程，利用韦达定理和两点间距离公式求解即可.【详解】（1）由已知可得且，解得，

则，所以椭圆方程：.（2）由已知可得直线斜率，方程为，联立得，设，，则，，则，所以线段的长为.练习3．给定椭圆，我们称圆为椭圆E的“伴随圆”．已知椭圆E中，离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线与椭圆E交于A、B两点，与其“伴随圆”交于C、D两点，．求弦长的最大值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）由离心率得关系，结合及关系式，可求，进而得到椭圆E的方程；（2）由圆的几何关系求得弦心距，再结合圆心到直线距离公式可求关于的关系式，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式化简，结合基本不等式可求的最大值．【详解】（1）由题可知，，，且，解得，故椭圆的标准方程为：.（2）由（1）可求“伴随圆”为：，因为，所以圆心到直线距离为，由圆心到直线距离公式得，解得，联立直线与椭圆方程，得，由得，由得，，设，则，由弦长公式可得：，若时，则；若时，则当且仅当时取到等号，综上所述：弦长的最大值2.练习4．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．(1)求椭圆的方程；(2)倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据题意，得到且，求得的值，即可求解；（2）设的方程，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，根据题意，列出方程，求得，即可求解.【详解】（1）由椭圆的离心率为，即，可得，由椭圆上的点到焦点的最小距离是，可得，解得，，，所以椭圆的方程．（2）解：因为直线的倾斜角为，可设的方程，由方程组，整理得，可得，解得，设，，则，，又由，解得，满足，所以直线的一般式方程为或．【重难点十一中点弦问题】例21．在椭圆C：内，通过点，且被这点平分的弦所在直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合点差法求得弦所在直线方程.【详解】设弦为，，则满足，两式作差得，又被点平分，故，且直线的斜率存在，所以，化简得，则所在直线方程为，化简得.故选：A例22．若椭圆的中心在原点，焦点在轴，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点坐标为，则这个椭圆的方程为.【答案】【分析】设椭圆的方程为，联立方程组，得到，根据题意，列出方程，求得的值，即可求解.【详解】因为椭圆的一个焦点为，可得，则，可设椭圆的方程为，设直线与椭圆相交所得弦的端点为，因为相交所得弦的中点坐标为，所以，联立方程组，整理得，易得，则，可得，解得，所以椭圆的方程为.故答案为：.设直线与椭圆设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为，，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.【跟踪练习】练习1．已知、为椭圆上两点，为坐标原点，（异于点）为弦中点，若两点连线斜率为，则两点连线斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用直线和椭圆的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式和中点坐标公式的应用求出结果．【详解】由于直线AB的斜率为，故设直线的方程为，设，故，整理得，则，即，故，故．利用中点坐标公式，不是零，故．故选：B．练习2．斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为，则的范围是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】由点在椭圆内有求m范围，设直线方程联立椭圆整理为一元二次方程形式，则必有，，结合韦达定理有，即可求的范围.【详解】由题设，在椭圆内，则，设直线代入椭圆，

整理得且，则，由图知：直线斜率不可能为0，所以，故或.故选：C练习3．已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，利用，得出的坐标，在利用P在圆C：上，即可求出M的轨迹方程.（2）利用点差法求出直线AB，再联立直线和椭圆方程，利用弦长公式即可求解.【详解】（1）设，则，因为，则，因为P在圆C上，所以，故E的方程为．（2）设，，若A，B是E上两点，则，两式相减得，即．因为线段AB的中点坐标为，所以，所以，则直线AB的方程为．联立方程组，整理得，其中，则，，．练习4．已知椭圆，其离心率，点分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆上任意一点，且的最大值为4．(1)求椭圆的方程；(2)过点作直线与交于两点，点是线段的中点，过点作直线的垂线交轴于点，若，求直线的方程．【答案】(1)(2)或或或【分析】（1）根据题意求出即可得解；（2）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，从而可得点的坐标，进而可求得直线得方程，再求出点的坐标，再结合求出，即可得解.【详解】（1）由，可得，则，所以椭圆方程为；（2）由题可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，联立，显然，则，所以，所以点的坐标为，则直线，令，则，所以，令，则，解得或，所以或，所以直线的方程为或或或．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.【重难点十二椭圆的实际应用】例23．开普勒第一定律也称椭圆定律，轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的个焦点上．将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似成曲，行星H在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离．若行星H的近日点距离和远日点距离之和是（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（

）A． B． C．34 D．88【答案】C【分析】根据题意，结合椭圆的方程和几何性质，求得近日点距离和远日点距离之和距离之积，联立方程组，即可求解.【详解】由曲线的方程为椭圆，可得长半轴，则半焦距，近日点距离为，远日点距离为，近日点距离和远日点距离之和是，近日点距离和远日点距离之积是，解得，，则．故选：C例24．已知荒漠上有两定点A，B，它们相距2km，现准备在荒漠上围垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8km.又该荒漠上有一条直水沟l恰好经过点A，且与AB成30°角.现要对整条水沟进行加固，但考虑到今后农