清单01 直线的倾斜角与斜率、直线方程问题（7个考点梳理题型解读提升训练）（原卷版）

清单01直线的倾斜角与斜率、直线方程问题（7个考点梳理+考点解读+提升训练）【知识导图】【考点分布图】【知识清单】1、倾斜角和斜率（1）直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定．（2）倾斜角α的取值范围：．当直线l与x轴垂直时，．（3）直线的斜率：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是①当直线l与x轴平行或重合时，，；②当直线l与x轴垂直时，，k不存在．由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在．（4）直线的斜率公式：给定两点，用两点的坐标来表示直线的斜率：2、两条直线的平行与垂直（1）两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果，那么一定有（2）两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3、直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式k是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式，是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式A、B、C为系数任何位置的直线【考点精讲】考点1：倾斜角与斜率例1．（2023·浙江台州·高二统考期中）直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．例2．（2023·云南昆明·高二校考期中）若直线l经过点，，则直线l的斜率为（

）A．－4 B．4 C．－3 D．3例3．（2023·海南·高二统考期末）若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（

）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4变式1．（2023·高二课时练习）直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角范围是（）A． B．C． D．变式2．（2023·内蒙古包头·高二统考期末）三条直线，，的位置如图所示，它们的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．考点2：直线与线段的相交问题例4．（2023·江西赣州·高二阶段练习）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．例5．（2023·福建福州·高二福建省连江尚德中学校考阶段练习）设点，，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（

）A． B．C． D．以上都不对例6．（2023·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（

）A． B．C． D．变式3．（2023·福建南平·高二统考期末）已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．变式4．（2023·辽宁大连·高二统考期末）已知，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C．， D．考点3：两直线平行问题例7．（2023·全国·高二专题练习）已知四边形的顶点，则四边形的形状为.例8．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是．例9．（2023·湖南长沙·高二雅礼中学校考期末）已知集合，．若，则实数．变式5．（2023·上海浦东新·高二上海市进才中学校考阶段练习）已知集合、，若，则．变式6．（2023·陕西延安·高二校考期末）已知两直线方程分别为，若，则．变式7．（2023·浙江台州·高二温岭中学校考期末）已知直线和直线，若，则考点4：两直线垂直问题例10．（2023·高二单元测试）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是例11．（2023·贵州黔东南·高二统考期末）若直线l1与l2的斜率k1、k2是关于k的方程的两根，若l1⊥l2，则b=．例12．（2023·天津滨海新·高二校考开学考试）已知定点，点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是.变式8．（2023·甘肃武威·高二统考期末）若直线与互相垂直，则实数的值为.变式9．（2023·山东菏泽·高二山东省郓城第一中学校考开学考试）已知三点，则△ABC为三角形.考点5：五种直线方程例13．（2023·安徽六安·高二校联考期末）已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（

）A． B．C．或 D．或例14．（2023·安徽铜陵·高二铜陵一中开学考试）在等腰三角形中，，、，点在轴的正半轴上，则直线的点斜式方程为（）A． B．C． D．例15．（2023·黑龙江鹤岗·高二统考期中）已知的三个顶点分别为为的垂直平分线，求：(1)边所在直线的方程；(2)边的垂直平分线的方程.变式10．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）已知、在直线上.(1)求直线的方程；(2)若直线倾斜角是直线倾斜角的2倍，且与的交点在轴上，求直线的方程.变式11．（2023·高二课时练习）已知的三个顶点分别为、、．求：(1)边所在直线的方程；(2)边上的高所在直线的方程；(3)边上的中线所在直线的方程．考点6：直线与坐标轴围成三角形问题例16．（2023·湖北武汉·高二统考期末）已知直线方程为．(1)若直线的倾斜角为，求的值；(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．例17．（2023·全国·高二专题练习）已知直线．若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程．例18．（2023·内蒙古呼和浩特·高二统考期末）已知一条动直线，(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.变式12．（2023·江苏南通·高二阶段练习）已知直线经过点，求：（1）直线在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程．变式13．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线l：．（1）若直线不经过第二象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．考点7：直线过定点问题例19．（2023·安徽宿州·高二校联考期中）不论取何值，直线恒过一定点，该定点坐标为．例20．（2023·山东聊城·高二校考期中）直线恒过定点例21．（2023·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）无论实数λ取何值，直线恒过定点.变式14．（2023·浙江宁波·高二校联考期中）已知，过定点M的动直线与过定点N的动直线相交于点P，则的最大值是．变式15．（2023·福建龙岩·高二福建省永定第一中学校考阶段练习）已知动直线和，是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为.变式16．（2023·高二课时练习）不论a为何实数，直线恒过一定点，则此定点的坐标为．【提升练习】1．（2023·河南开封·高二统考期中）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）已知，满足，则直线必过定点（

）A． B．C． D．3．（2023·河南·高二校联考期中）“”是“直线和直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023·河北石家庄·高二石家庄一中校考期中）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（

）A． B． C． D．5．（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考期中）直线（为常数）的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2023·重庆·高二重庆十八中校考期中）已知直线，.则下列说法中正确的有（

）①存在实数，使，②存在实数，使；③对任意实数，都有，④存在点到四条直线距离相等A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2023·江苏苏州·高二统考期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（

）A． B． C． D．8．（多选题）（2023·贵州遵义·高二校考阶段练习）下列结论中正确的有（

）A．过点且与直线平行的直线的方程为B．过点且与直线垂直的直线的方程为C．若直线与直线平行，则的值为3D．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为9．（多选题）（2023·安徽宿州·高二校联考期中）下列结论正确的是（

）A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大B．若直线与直线垂直，则C．过点的直线的倾斜角为D．点关于直线的对称点的坐标为10．（多选题）（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，，直线，其中，则下列结论正确的是（

）A．直线恒过定点，且定点坐标为B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则C．若直线过第一、三象限，则D．若直线和直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则11．（多选题）（2023·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．直线的倾斜角的取值范围是C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为D．己知，若直线与线段有公共点，则12．（2023·全国·高二专题练习）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为.13．（2023·江苏苏州·高二统考期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为．14．（2023·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为.15．（2023·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）在平面直角坐标系xOy中，的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为，则直线的方程为．16．（2023·福建厦门·高二福建省厦门第六中学校考期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.(1)求平行四边形的顶点的坐标；(2)在中，求边上的高线所在直线方程.17．（2023·江苏徐州·高二统考期中）已知直线的方程为，若直线过点，且.(1)求直线的方程；(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上截距的倍，求直线的方程.18．（2023·全国·高二专题练习）若直线经过直线和的交点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程.19．（2023·广东广州·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶