专题7.1 平行线的判定【九大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

专题7.1平行线的判定【九大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1定义与命题】 1【题型2推理与论证】 4【题型3平行公理及其推论】 7【题型4同位角相等，两直线平行】 10【题型5内错角相等，两直线平行】 12【题型6同旁内角互补，两直线平行】 15【题型7平行线的判定方法的综合运用】 18【题型8角平分线与平行线的判定综合运用】 21【题型9平行线判定的实际应用】 25【知识点1定义与命题】1、命题的概念叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命题。备注：（1）命题必须是一个完整的句子。（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。2、命题的结构每个命题都有题设和结论两部分组成。题设是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果，那么”的形式。有的命题表面上看不具有“如果，那么”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。3、真命题与假命题如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题。备注：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。【题型1定义与命题】【例1】（2022·福建·厦门市思明区东浦学校七年级期中）下列语句：①同旁内角相等；②如果a=b，那么a+c=b+c；③对顶角相等吗？④画线段AB；⑤两点确定一条直线．其中是命题的有______；是真命题的有______．（只填序号）【答案】

①②⑤

②⑤【分析】判断一件事情的语句叫命题，正确的命题叫真命题，根据定义依次分析解答．【详解】解：①同旁内角相等是命题，是假命题；②如果a=b，那么a+c=b+c是命题，是真命题；③对顶角相等吗？不是命题；④画线段AB不是命题；⑤两点确定一条直线是命题，是真命题．故答案为：①②⑤，②⑤．【点睛】此题考查命题的定义，真命题的定义，熟记相关性质是解题的关键．【变式1-1】（2022·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习）下列语句：①若三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（）A．①②是真命题 B．②③是真命题C．①③是真命题 D．以上结论皆是假命题【答案】A【分析】根据平行公理、平行线的性质逐项判定即可．【详解】解：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行，故为真命题；②如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直，故为真命题；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题；故选A．【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行公理、平行线的性质是解题的关键．【变式1-2】（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室七年级期中）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；（2）内错角相等；（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．【答案】（1）题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；（2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，反例见解析；（3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么内错角相等．是真命题．【分析】（1）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平角的定义可得该命题是真命题；（2）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平行线的性质可得该命题是假命题；利用相交直线被第三条直线所截，内错角不相等可举反例；（3）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平行线的性质可得该命题是真命题；．【详解】（1）题设：如果两个角的和等于平角，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；（2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，如图∠1与∠2是内错角，∠2＞∠1；（3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么内错角相等．是真命题．【点睛】本题考查了命题与定理的相关知识．将命题写成“如果…，那么…”的形式，就是要明确命题的题设和结论，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论．关键是明确命题与定理的组成部分，会判断命题的题设与结论．【变式1-3】（2022·浙江杭州·八年级期中）下列选项中，可以用来说明“若a>b，则a>b”是假命题的是（A．a=-3，b=-4 B．a=-4，b=3 C．a=3，【答案】B【分析】根据异号两数的绝对值大小比较，举反例即可求解．【详解】解：∵a=-4，b=3，a=4，b=3∴a>b，a<b，与“若a>b∴“若a>b，则a>b故选：B．【点睛】本题考查了举反例判断命题的真假，正确的举出反例是解题的关键．【题型2推理与论证】【例2】（2022·江苏常州·七年级期末）甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书（如下表所示），他们相约在每个星期天相互交换读完的书，经过数次交换后，他们都读完了这3本书．已知甲读的第三本书是乙读的第二本书，则丙读的第二本书是（

）甲乙丙书A书B书CA．书A B．书B C．书C D．无法确定【答案】A【分析】根据甲、乙、两3人从图书馆各借了一本书，在每个星期天相互交换读完的书，得出3人交换书的所有情况，进而得丙读的第二本书是甲读的第一本书．【详解】解∶设3人分别读了书A，书B，书C三本书，则三人读书顺序为：甲∶书A，书B，书C；乙∶书B，书C，书A；丙∶书C，书A，书B；丙读的第二本书是甲读的第一本书，∴丙读的第二本书是书A．故选A．【点睛】此题主要考查了推理与论证，根据已知得出交换书的所有情况是解题关键．【变式2-1】（2022·浙江·嵊州市三界镇蒋镇学校一模）有六名同学需要在某天内每人交一份作北给老师，每名同学交作业时将作业放在作业堆的最上面，老师一有空就从最上面拿一份作业来批改．按交作业的先后顺序将六份作业依次编号为①、②、③、④、⑤、⑥．已知当天中午老师已经批改完两份作业，第二份作业编号为④．则老师下午作业批改的顺序不可能为（

）A．③⑥⑤① B．②⑥①⑤ C．③⑤⑥② D．⑤③①⑥【答案】B【分析】根据题意逐个选项假设、推理即可．【详解】解：A选项，上午第一份完成②，下午改③时，⑤、⑥提交作业，然后从上往下依次时⑥⑤①，A选项可能；B选项，上午第一份完成③，下午改②时，⑤、⑥提交作业，然后从上往下依次时⑥⑤①，不可能⑥①⑤，故B选项不可能；C选项，上午第一份完成①，下午改③时，⑤提交作业，改⑤时，⑥提交作业，最后改②，C选项可能；D选项，上午第一份批改②时，③、④提交作业，此时④在最上方，下午⑥在其他作业全部批改后交作业，D选项可能；故选：B．【点睛】本题考查逻辑推理，解题的关键是按照题目的规则，分析每一个选项是否可能存在．【变式2-2】（2022·浙江·绍兴市锡麟中学八年级阶段练习）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（

）A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子【答案】A【分析】根据水先从位置低的出口可判断先灌满1号杯子左侧几个杯子，再观察3号杯子的两个出口即可得出答案．【详解】解：∵1号杯子左侧出口比右侧高，∴水先从左侧流出，进入3号杯子，∵3杯子左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯子，但5号杯子的出口端封闭∴水最终会先灌满3号杯子，故选：A．【点睛】本题考查推理与论证，解题的关键是掌握水先从位置低的出口流出，并仔细观察各出口闭合状态即可．【变式2-3】（2022·全国·九年级单元测试）容器中有A，B，C，3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论：①最后一颗粒子可能是A粒子；

②最后一颗粒子一定是C粒子③最后一颗粒子一定不是B粒子；

④以上都不正确其中正确结论的序号是_____________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①③##③①【分析】假设剩下的是A、B、C粒子，分别讨论，列举结果，进行排除，最终得到结果．【详解】解：（1）最后剩下的可能是A粒子．10颗A粒子两两碰撞，形成5颗B粒子；9颗C粒子中的8个两两碰撞，形成4颗B粒子；所有的17颗B粒子两两碰撞，剩下一颗B粒子；这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子．（2）最后剩下的可能是C粒子．10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞，形成9颗B粒子；所有的17颗B粒子两两碰撞，最后剩一颗B粒子；这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子．（3）最后剩下的不可能是B粒子．A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况：A与A碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗A粒子：（B多1个，A、C共减少两个）；B与B碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗B粒子：（B少1个，A、C总数不变）；C与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗C粒子：（B多1个，A、C共减少两个）；A与B碰撞，会产生一颗C粒子，减少A、B各一颗粒子：（B少1个，A、C总数不变）；A与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少A、C各一颗粒子：（B多1个，A、C共减少两个）；B与C碰撞，会产生一颗A粒子，减少B、C各一颗粒子：（B少1个，A、C总数不变），可以发现如下规律：①从B粒子的角度看：每碰撞一次，B粒子的数量增多一个或减少一个．题目中共有27颗粒子，经过26次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次，由于开始B粒子共有8颗，所以26次碰撞之后，剩余的B粒子个数必为偶数，不可能是1个，所以，最后剩下的不可能是B粒子．②从A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子总数或者不变、或者减少两个．题目中A、C粒子之和为19个，无论碰撞多少次，A、C粒子都没了是不可能的．所以，剩下的最后一颗粒子一定是A或C．故答案为：①③．【点睛】本题考查简单的合情推理，需列举，发现规律，是解题的关键.【知识点平行线的判定】1.平行公理及其推论①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.2.平行线的判定方法①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.（内错角相等，两直线平行.③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）【题型3平行公理及其推论】【例3】（2022·江西上饶·七年级期中）同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（

）A．a∥d B．b⊥d C．a⊥d D【答案】C【分析】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证a∥c，再结合c⊥d，可证【详解】解：∵a⊥b，b⊥c，∴a∥∵c⊥d，∴a⊥d，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线及垂线的性质，解题的关键是掌握同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．【变式3-1】（2022·河南漯河·七年级期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（

）A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【答案】B【分析】三条直线AB、a、b位于同一平面内，且直线a与直线b都垂直于AB，即可根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的性质来判断出a∥b．【详解】∵直线AB、a、b位于同一平面内，且AB⊥a、AB⊥b∴a∥b（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）故答案为B．【点睛】本题考查了平行线判定的性质，根据已知题目反应出两条直线是同一平面内，且同时垂直于一条直线是本题的关键．【变式3-2】（2022·湖北武汉·七年级期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③a，b，c是同一平面内的三条直线，若a//b，b//c，则a//c；④a，b，c是同一平面内的三条直线，若ab，bc，则ac；其中真命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据平行线性质可判断①，根据两锐角的大小求和可判断②，根据平行公理推论可判断③，根据垂直定义得出∠1=∠2=90°，然后利用同位角相等，两直线平行的判定可判断④．【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故①不正确；②两个锐角的和可以是锐角，直角，钝角，故②不正确；③a，b，c是同一平面内的三条直线，若a//b，b//c，则a//c，故③正确；④a，b，c是同一平面内的三条直线，如图∵ab，bc，∴∠1=90°，∠2=90°，∴∠1=∠2∴a∥c，故④不正确；∴真命题只有1个．故选A．【点睛】本题考查平行线的性质与判定，两锐角和的大小，掌握平行线的性质与判定，锐角定义是解题关键．【变式3-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州教育局七年级期末）如图，AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由．解：因为所以____________∥___________．（

）又因为AB∥所以AB∥EF．（【答案】CD∥EF；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行【分析】根据平行线的判定定理完成填空即可求解．【详解】解：因为∠1=∠2​，所以CD∥EF．（内错角相等，两直线平行）又因为AB∥CD所以AB∥EF【点睛】本题考查了平行线的判定，平行公理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．【题型4同位角相等，两直线平行】【例4】（2022·甘肃·陇南育才学校七年级期末）如图，AB⊥MN，垂足为B，CD⊥MN，垂足为D，∠1＝∠2．在下面括号中填上理由．因为AB⊥MN，CD⊥MN，所以∠ABM＝∠CDM＝90°．又因为∠1＝∠2()，所以∠ABM-∠1＝∠CDM-∠2()，即∠EBM＝∠FDM．所以EB∥【答案】

已知

等量减等量，差相等

同位角相等，两直线平行【分析】根据垂线的定义，得出∠ABM＝∠CDM＝90°，再根据角的等量关系，得出∠EBM＝∠FDM，然后再根据同位角相等，两直线平行，得出EB∥【详解】因为AB⊥MN，CD⊥MN，所以∠ABM＝∠CDM＝90°．又因为∠1＝∠2（已知），所以∠ABM-∠1＝∠CDM-∠2（等量减等量，差相等），即∠EBM＝∠FDM．所以EB∥【点睛】本题考查了垂线的定义、平行线的判定，解本题的关键在熟练掌握平行线的判定定理．【变式4-1】（2022·湖北·蕲春县向桥乡白水中学七年级阶段练习）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是______．【答案】同位角相等，两直线平行【分析】作图时保持∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行即可画出已知直线的平行线．【详解】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行．故答案为：同位角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理，解决本题的关键是掌握平行线的判定和性质．【变式4-2】（2022·山东泰安·七年级期末）如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？【答案】BE∥DF，见解析【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用∠1+∠2=90°，∠2=∠3，得到∠1=∠4，即可得到结论BE∥DF．【详解】解：BE∥DF，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴BE∥DF．【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键．【变式4-3】（2022·北京东城·七年级期末）如图，直线l与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1是它的补角的3倍，∠1-∠2=90°．判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【答案】AB∥CD；理由见解析【分析】先根据补角的定义求出∠1的度数，然后求出∠CFE和∠2的度数，最后根据平行线的判定进行解答即可．【详解】解：AB∥CD；理由如下：∵∠1是它的补角的3倍，∴设∠1=α，则∠1的补角为13∴α+1解得：α=135°，∴∠1=135°，∴∠CFE=180°-∠1=45°，∵∠1-∠2=90°，∴∠2=∠1-90°=45°，∴∠2=∠CFE=45°，∴AB∥CD．【点睛】本题主要考查了补角的有关计算，平行线的判定，根据题意求出∠2=∠CFE=45°，是解题的关键．【题型5内错角相等，两直线平行】【例5】（2022·山东·曲阜九巨龙学校七年级阶段练习）如图，点A在直线DE上，AB⊥AC于A，∠1与∠C互余，DE和BC平行吗？若平行，请说明理由．【答案】平行，理由见解析【分析】由垂直定义可得∠BAC=90°，根据平角定义得∠1+∠BAC+∠CAE=180°，即可得出∠1+∠CAE=90°，由∠1与∠C互余，根据余角的性质即可得出∠CAE=∠C，根据平行线的判定定理即可得出结论．【详解】解：平行，理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠1+∠BAC+∠CAE=180°，∴∠1+∠CAE=90°，∵∠1与∠C互余，即∠1+∠C=90°，∴∠CAE=∠C，∴DE∥BC．【点睛】本题考查平行线的判定，余角的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式5-1】（2022·北京市房山区燕山教委八年级期中）如图，已知∠1=75°，∠2=35°，∠3=40°，求证：a∥b．【答案】见解析【分析】先根据三角形内角和性质，求得∠4=75°，再根据∠1=75°，即可得到∠1=∠4，进而判定a∥【详解】证明：如下图：∵∠4=∠3+∠2=75°，又∵∠1=75°，∴∠1=∠4，∴a∥【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及三角形内角和性质，解题时注意：内错角相等，两直线平行．【变式5-2】（2022·福建·莆田第二十五中学八年级阶段练习）如图，CF是△ABC外角∠ACM的平分线，∠ACB=40°，【答案】证明见解析【分析】由角平分线的定义及补角的定义可求得∠ACE的度数，即可得∠【详解】证明：∵∠ACB∴∠ACM∵CF是△ABC外角∠∴∠ACF∵∠A∴∠A∴AB∥【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质和平行线的判定，证得∠A【变式5-3】（2022·辽宁·阜新市第十中学七年级期中）如图，AB∥DE，∠1=∠ACB，∠CAB=12∠BAD，试说明AD∥BC【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得∠BAC=∠1，等量代换得∠ACB=∠BAC，根据∠CAB=12∠BAD可得∠ACB【详解】证明：∵AB∥∴∠BAC=∠1，∵∠1=∠ACB，∴∠ACB=∠BAC，∵∠CAB=1∴∠ACB=∠DAC，∴AD∥【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．【题型6同旁内角互补，两直线平行】【例6】（2022·河北衡水·七年级阶段练习）已知：∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，求证：AB∥【答案】见解析【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，再根据平行于同一条直线的两条直线平行即可证明结论．【详解】证明：∵∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴AB∥EF，CD∥EF，∴AB∥CD．【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．【变式6-1】（2022·西藏昂仁县中学七年级期中）如图，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求证：AD∥BC．【答案】见解析【分析】根据同旁内角互补，两直线平行证明即可．【详解】解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠CAD＝20°，∠B＝70°，∴∠B+∠BAD=70°+90°+20°=180°，∴AD∥BC．【点睛】本题考查平行线的判定、垂直定义，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．【变式6-2】（2022·甘肃·平凉市第七中学七年级期中）如图，∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC.(1)∠DAB+∠B等于多少度？(2)AD与BC平行吗？请说明理由．【答案】(1)∠DAB+∠B=180°(2)AD∥BC；理由见解析【分析】（1）由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°；（2）根据同旁内角互补两直线平行可得AD∥BC．（1）解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°．又∵∠1=30°，∴∠BAD=120°，∵∠B=60°，∴∠DAB+∠B=180°．（2）解：AD∥BC．理由如下：∵∠DAB+∠B=180°，∴AD∥BC．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行．【变式6-3】（2022·北京市第五中学分校七年级期末）如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求证：MD∥GF．下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据．证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠CBD（②）．∵∠1＝∠2（已知）．∴∠1＝∠CBD（等量代换）．∴③（内错角相等，两直线平行）．∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∴MD∥BC（④）．∴MD∥GF（⑤）．【答案】垂直的定义；两直线平行，同位角相等；GF∥BC；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．【分析】根据垂直定义得出∠BDC＝∠EFC，根据平行线的判定推出BD∥EF，根据平行线的性质得出∠CBD＝∠2，求出∠CBD＝∠1，根据平行线的判定得出GF∥BC，GF∥MD即可．【详解】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠CBD（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠2（已知）．∴∠1＝∠CBD（等量代换）．∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行）．∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∴MD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．∴MD∥GF（平行于同一直线的两直线平行）．故答案为：垂直的定义；两直线平行，同位角相等；GF∥BC；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．【题型7平行线的判定方法的综合运用】【例7】（2022·广西贺州·七年级期末）如图，有下列条件：①∠1=∠2；②∠3+∠4=180°；③∠5+∠6=180°；④∠2=∠3．其中，能判断直线a∥A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．【详解】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；②由∠3＋∠4＝180°，可得a∥b；③由∠5＋∠6＝180°，∠3＋∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；故能判断直线a∥b的有3个，故选：B．【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．【变式7-1】（2022·浙江台州·七年级期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行(

)A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5【答案】A【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案．【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4=90根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，∠5和∠2是内错角，如果度量出∠5=90根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，∠3和∠2是同旁内角，如果度量出∠3=90°根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，所以答案为：A．【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理．【变式7-2】（2022·山西临汾·七年级期末）在下列图形中，已知∠1=∠2，一定能推导出l1∥lA． B． C． D．【答案】D【分析】根据邻补角的定义，对顶角相等和平行线的判定定理即可求解．【详解】解：A.如图，∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴不能推导出l1B.如图，∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴不能推导出l1C.如图，∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴不能推导出l1D.如图，∵∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴一定能推导出l1故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是熟悉同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行的知识点．【变式7-3】（2022·山东日照·七年级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠5=∠C D．∠B+∠BDE=180°【答案】B【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．【详解】因为∠1=∠2，所以DE∥故A不符合题意；因为∠3=∠4，不能判断DE∥故B符合题意；因为∠5=∠C，所以DE∥故C不符合题意；因为∠B+∠BDE=180°，所以DE∥故D不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【题型8角平分线与平行线的判定综合运用】【例8】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．【答案】平行，理由见解析【分析】先根据角平分线的定义可得∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，从而可得【详解】解：BE∥DF，理由如下：∵BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC，∴∠ABE=1∵∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADF+∠ABE=1又∵∠ADF+∠AFD=90°，∴∠ABE=∠AFD，∴BE∥DF．【点睛】本题考查了角平分线、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．【变式8-1】（2022·江苏·扬州市邗江区实验学校七年级期末）将下列证明过程补充完整：已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥证明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠（）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠（）．∴AB∥CD（【答案】ECD；角平分线的性质；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定依据角平分线的性质即可解决问题．【详解】证明：∵CE平分∠ACD，∴∠2＝∠ECD（角平分线的性质），∵∠1＝∠2．（已知），∴∠1＝∠ECD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．故答案为：ECD；角平分线的定义；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定和角平分线的性质，解题的关键是根据平行线的判定解答．【变式8-2】（2022·辽宁沈阳·七年级期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF．证明：∵∠1＝∠2（已知）∠ABF＝∠1（对顶角相等）∠BFG＝∠2（____________）∴∠ABF＝______（等量代换）∵BE平分∠ABF（已知）∴∠EBF=12______（∵FC平分∠BFG（已知）∴∠CFB=12______（∴∠EBF＝______∴BE∥CF（____________）【答案】对顶角相等；∠BFG；∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内错角相等，两直线平行；【分析】根据对顶角的定义，平行线的判定，角平分线的性质，结合上下文填空即可．【详解】证明：∵∠1＝∠2（已知）∠ABF＝∠1（对顶角相等）∠BFG＝∠2（对顶角相等）∴∠ABF＝∠BFG（等量代换）∵BE平分∠ABF（已知）∴∠EBF=12∠ABF（∵FC平分∠BFG（已知）∴∠CFB=12∠BFG（∴∠EBF＝∠CFB，∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），故答案为：对顶角相等；∠BFG；∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查对顶角的定义及性质，平行线的判定，角平分线的性质，能够熟练掌握平行线的判定是解决本题的关键．【变式8-3】（2022·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD=180°(已知)，∠AGC+∠AGD=180°(______)，所以∠BAG=∠AGC(______)．因为EA平分∠BAG，所以∠1=12因为FG平分∠AGC，所以∠2=12得∠1=∠2(等量代换)，所以______(______)．【答案】平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；AE∥GF；内错角相等，两直线平行【分析】由题意可求得∠BAG=∠AGC，再由角平分线的定义得∠1=12∠BAG，∠2=12【详解】解：∵∠BAG+∠AGD=180°（已知），∠AGC+∠AGD=180°（平角的定义），∴∠BAG=∠AGC（同角的补角相等）．∵EA平分∠BAG，∴∠1=1∵FG平分∠AGC，∴∠2=1∴∠1=∠2（等量代换），∴AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；AE∥GF；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查角平