勾股定理-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

专题23勾股定理勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

【知识要点】用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

知识点一直角三角形与勾股定理①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，

直角三角形三边的性质：面积不会改变

1、直角三角形的两个锐角互余。②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等

式，推导出勾股定理

2、直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半。

3、直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半。方法一：4sA+S正方腕FC”-S正方称BQ,，

4x-ab+(b-a)2=c2,化简可证.

勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于

斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两宜角边分别为a,b,

斜边为C,那么

变式：

1)a2=c2-b2

2)b2=c2-a2

适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间方法二:

所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而

在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角

三角形。四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大

正方形的面积.

勾股定理的证明:

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为3)nr-n2,2mn,m2+n1(m>n,m,〃为正整数)

S=4x-ab+c2=2ab+c2

2

注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。

大正方形面积为S=(a+b)2=6f2+7lab+b2【考查题型】

所以。2+从=c?

方法三：S梯形=g(a+h).(a+〃)，考查题型一勾股定理理解三角形

s梯形=2SMO£+SMBE=2,gab+gc2，化简得证典例1.在。0中，直径AB=15,弦DE_LAB于

点C.若OC：OB=3：5,则DE的长为()

a2+h2=c2

A.6B.9

C.12

D.15

【答案】C

【提示】根据题意画出图形，然后利用垂径定理和

勾股定理解答即可.

知识点二勾股数

【详解】解：如图所示：：直径48=15,

勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个7.5,

正整数称为勾股数，即/+尸=C，2中，a,b,c为

VOC-.OB=3：5,：.CO=4.5,

正整数时，称a,方，c为一组勾股数

'：DE±AB,：.DC=

常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25

yllXf-OC2=J7.52-45=6，•••DE=2DC=

等

12.故选：C.

扩展：用含字母的代数式表示〃组勾股数：

1)n2-l,2n,n2+l("22,”为正整数)；

2)2九+1,2九2+2九,2。'+27+1(〃为正整数)

变式1-1.如图，在RtAZCB中，D.22

ZC=90°,sinB=Q.5,若AC=6,则8c的长

【答案】A

为（）

【提示】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求

出BC边的长度，四边形ABCA，的面积为平行四

边形ABB7V和直角三角形A'C'B，面积之和，分别

求出平行四边形ABB，A，和直角三角形的面

积，即可得出答案.

A.8B.12

【详解】解：在RtZXACB中，ZACB=90°,

c.673D.1273AB=5,AC=3,

由勾股定理可得：

【答案】C【提示】利用正弦的定义得出AB的

2222

长，再用勾股定理求出BC.BC=VAB-AC=y/5-3=4，

AC

【详解】解：VsinB=——=0.5,，AB=2AC,RtZ\是由RtAACB平移得来，

AB

A'C'=AC=3,B'C'=BC=4,

VAC=6,.-.AB=12,.,.BC=X/A6-AC=6A/3.

S,.=--A'C'B'C'=-x3x4=6,

故选C.AAC0B22

变式1-2.如图，口△/8C中，ZACB=90°,AB

又•.•BB，=3,A，C=3,

=5,AC=3,把用△RBC沿直线8c向右平移3个

单位长度得到，则四边形Z8。〃的面积是S四边形ABBA，=BB'XA'C'=3X3=9,

（）

•t,S四边形ABCK=S四边形ABBA，+AACB,=9+6=15,

故选：A.

变式1-3.某几何体的三视图及相关数据（单位:c〃?）

如图所示，则该几何体的侧面积是（）

C.20

边长均为1,点/,B,C都在格点上，若BD是A

/8C的高，则8。的长为()

65乃2,

A.——cm'B.60^cW

2

A.3AB.上岳

1313

B.C.65乃cm2D.13O^cm2

C.—V13

13

【答案】C

D.—J13

13

【提示】首先根据三视图判断出该几何体为圆锥，

【答案】D【提示】根据勾股定理计算4c的长，

圆锥的高为12cm,底部圆的半径为5cm,可用勾

利用面积和差关系可求口43(7的面积，由三角形

股定理求出圆锥母线的长度，口一圆锥侧面积的计算

的面积法求高即可.

公式为S圆锥侧=%•/?•/,其中R为圆锥底部圆的半

22

径，/为母线的长度，将其值代入公式，即可求出【详解】解：由勾股定理得：JC=72+3=

答案.岳,

【详解】解：由三视图可判断出该几何体为圆锥，

SA.4BC=3X3-—x1x2x1x3x2x3=

圆锥的高为12cm,底部圆的半径为5cm,.•.圆锥222

7_

22cm

母线长为：Z=A/5+12=13'2

17

：.-ACBD=-,

又：S圆锥侧=4-RI,将R=5cm,1=13cm代入，22

VHBD=7，

81Hl锥例=%・R•/=65乃(cW)，

.7而

•■JJU----------------,

故选：C.13

考查题型二勾股定理与网格问题

故选：D.

典例2.如图，在3X3的网格中，每个小正方形的变式2-1.如图，在4x5的正方形网格中，每个小

正方形的边长都是1,△4BC的顶点都在这些小正故选：D.

方形的顶点上，那么sinNACB的值为（）.

变式2-2.如图所示，AA8C的顶点在正方形网格

的格点上，则tanA的值为（）

、3石Vn

R1R五

A.-D.---------

5522

、34C.2

八一D.一

55

D.2A/2

【答案】D

【答案】A

【提示】过点4作AOLBC于点O,在

【提示】如图，取格点E,连接BE,构造直角三

为△ACO中，利用勾股定理求得线段NC的长,

角形，利用三角函数解决问题即可;

再按照正弦函数的定义计算即可.

【详解】如图，取格点E,连接BE,

【详解】解：如图，过点/作AOLBC于点。，

则NADC=90°,

BE=6，

心也2卷:2也，

工

•*-AC=JAD2+C£>2=5,AE2版2

4

二sinZACB=—故答案选A.

AC5

考查题型三利用勾股定理解决折叠问题

典例3.如图，把某矩形纸片A6CO沿EP,GHZATE=ZD'HP,

折叠（点E、H在AD边上，点F,G在边

.,.△ATP^-ADTH,

上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A

.♦.AD：DZH2=8：2,

点的对称点为A'、D点的对称点为以，若

?FPG90?,4随P为8,△£＞妒”的面积为2,AA'P：D'H=2：1,

则矩形A8CO的长为（）

：A'P=x,

2

11un

SADTII--DPD'H=—APD'H,即

22

11,

一,x,-x—2,

22

A-675+10B.6710+572

，x=2夜（负根舍弃），

B.C.3石+10D.3710+572

.\AB=CD=272>DH=DH=&,D'P=AT=CD=2

【答案】

D&，A，E=2DP=4近，

【提示】设AB=CD=x,由翻折可知：PA-AB=x,

PD，=CD=X,因为AAEP的面积为4,△DTH的面

积为1,推出DH=wx,由SADTH=gDPDH=

22

ATD-H,可解得x=272，分别求出PE和AD=4及+2而+M+&=5&+，

PH,从而得出AD的长.

故选D.

【详解】解：：四边形ABC是矩形，

变式3-1.如图，对折矩形纸片ABCD,使AD与

，AB=CD,AD=BC,

BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，

设

AB=CD=x,使点A落在EF上的点A处，得到折痕BM,BM

由翻折可知：

PA'=AB=x,PD'=CD=x,与FF相交于点N.若直线BA'交直线CD于点

△，的面积为△的面积为

•••AEP8,DPH2,O,BC=5,EN=1,则OD的长为（）

又,：？FPG90?,ZA'PF=ZD'PG=90o,

二ZAPD'=90°,则ZA,PE+ZD,PH=90°,

...NA'NM=NA'MB,

.♦.AN=2,

.♦.A'E=3,AT=2

A.—\/3B

2-州过M点作MG_LEF于G,

C.—>/3D.；.NG=EN=1,

4

【答案】B.•.Ag,

【提示】根据中位线定理可得AM=2,根据折叠的由勾股定理得MG=也2_]2=后,

性质和等腰三角形的性质可得A，M=AN=2,过M

点作MGLEF于G,可求A，G,根据勾股定理可求.•.BE=DF=MG=6，

MG,进一步得到BE,再根据平行线分线段成比例

/.OF：BE=2：3,

可求OF,从而得到OD.

解得0F=2®,

【详解】

3

.".OD=V3-^^=—•

33

故选：B.

变式如图，三角形纸片点力是边

解：VEN=1,3-2.Z8C,8c

上一点，连接把△A8O沿着4。翻折，得到

二由中位线定理得AM=2,

△AED,DE与AC交于点G,连接8E交4）于点

由折叠的性质可得A，M=2,F.若DG=GE,AF=3,BF=2,△40G的面

积为2,则点尸到8c的距离为（）

：AD〃EF,

NAMB=NA'NM,

VZAMB=ZArMB,

则工.8/)3=上尸0尸，

22

,,2石

..H------,

5

故选:B.

B,在考查题型四利用勾股定理证明线段的平方关系

-55

「475D.拽典例4.如图，在AABC中，AD,BE分别是

53BC,AC边上的中线，且ADJ_BE,垂足为点F,

设BC=a,AC=b,AB=c,则下列关系式中成立

【答案】B

的是()

【提示】首先求出△48。的面积.根据三角形的面

积公式求出。尸，设点尸到8。的距离为力，根据

；・BD・h=g・BF・DF,求出8。即可解决问题.

【详解】解：・・,0G=GE,

S4DG—S^AEG=2,

A.a2+b2=5c2B.a2+b2=4c2

♦・S&ADE=4,

C.a2+b2=3c2

由翻折可知，UADB^ADE,BEL4D,

D.a2+b2=2c2

:・SAABD=S〉ADE=4,/BFD=90°,

【答案】A

・・・—・QAF+DFABF=4,

2【详解】设EF=x,DF=y,根据三角形重心的性

质得AF=2y,BF=2EF=2x,利用勾股定理得到

1

・•・—•(3+DF)*2=4,

2

4x2+4y2—c2,4x2+y2=—b2,x2+4y2=—a2,然后利

44

：.DF=\,用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系.

•••DB=y]BF2+DF2=Vl2+22=，【解答】解：设EF=x,DF=y,

设点尸到8。的距离为儿VAD,BE分别是BC,AC边上的中线，

・••点F为△ABC的重心,AF=yAC=^-b,BD=

1

~2d，

・・・AF=2DF=2y,BF=2EF=2x,

VAD1BE,AZAFB=ZAFE=ZBFD=90°,【答案】20

在RtZ\AFB中，4x2+4y2=c2,①【提示】由垂美四边形的定义可得ACLBD,再利

用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2,从而求解.

在Rtz^AEF中，4x2+y2=—b2,②

4

【详解】1•四边形ABCD是垂美四边形，

在RtZSBFD中，x2+4y2=—a2,③AACIBD,

4

ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

②+③得5x?+5y2=工(a2+b2),

45由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

(a2+b2),(4)AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

.,.AD2+BC2=AB2+CD2,

①-④得c2-5(a2+b2)=0,即a2+b占5c2.

5

VAD=2,BC=4,

故选：A.

AB2+CD2=AD2+BC2=22+42=20,

【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的

距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考故答案为：20.

查了勾股定理.

变式4-2.如图，在△ABC中，

变式对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”

4-1.ZACB=90°,AC^BC,点P在斜边A8上，以

四边形，现有如图所示的“垂美"四边形

PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,

ABCD,对角线AC、BD交于点0.若

ZPCQ=90°,则PA2,PB\PC2三者之间的数量

AD=2,BC=4,则钻2+。。2=

关系是

典例5.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠

在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5

米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为

0.5米，则梯子顶端A下落了()米.

【答案】PA2+PB2=2PC2

【提示】把AP2和PB?都用PC和CD表示出来，

结合RtZkPCD中，可找到PC和PD和CD的关

系，从而可找到PA?,PB2,PC2三者之间的数量关

系；

A.0.5B.1

【详解】解：过点C作CDLAB,交AB于点D

C.1.5D.2

♦.•△ACB为等腰直角三角形，CD±AB,

【答案】A

，CD=AD=DB,

【解析】提示：在直角三角形4BC中，根据勾股

(AD-PD)2=(CD-PD)2=CD2-

定理，得：/C=2米，由于梯子的长度不变，在直

2CD«PD+PD2,

角三角形COE中，根据勾股定理，得CE=1.5米，

PB2=(BD+PD)2=(CD+PD)2=CD2-

所以4E=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米.

2CD«PD+PD2,

详解：在RtZUBC中，AB=2.5米，8c=1.5

/.PA2+PB2=2CD2+2PD2=2(CD2+PD2),

米，

在RtAPCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2,

二PA2+PB2=2PC2,

故/C=y/AB2-BC2=A/ZK-IS=2米•

故答案为PA2+PB2=2PC2.

在RtAECD中，NB=OE=2.5米，CD=

(1.5+0.5)米，

故EC=y/DE2-CD2=A/2.52-22=1$米，

考查题型五利用勾股定理解决实际问题(选题类型不故AE=AC-CE=2-1.5=0.5米.

限于中考真题及模拟)

故选A.

1.求梯子滑落高度

变式5-1.如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶梯子长2.5米，顶端/靠在墙ZC上，这时梯

端A靠在墙AC上，此时梯子下端B与墙角C的子下端8与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在

距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE的位置上，的位置上，测得8。长为0.9米，则梯子顶端力

测得BD长为0.9米.则梯子顶端A沿墙下移了下落了米.

______米.

【答案】1.3

【提示】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个

【答案】L3【提示】分别在两个直角三角形中，

直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即

运用勾股定理求得AC和CE的长即得.

可

【详解】解：由题意得：AB=2.5米，BC=1.5

［详解］在RUACB中,AC2=AB2-BC2=2.52-1.5

米

2=4,

，在RrA/ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4,

：.AC=2,

，AC=2米，

BD=0.9,

•；BD=0.9米，

.\CD=2.4.

，CD=2.4米.

在RtAECD中,EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49

ED=AB

A.EC=0.7

二在Rt\ECD中,EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49,

.\AE=AC-EC

,EC=0.7米，

=2-0.7

/.AE=AC-EC=2-0.7=1.3米.

=1.3

故答案为：1.3.

故答案为1.3

变式5-2.如图，墙面AC与地面BC垂直，一个

2.求旗杆高度

典例6.从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的【提示】根据题意画出示意图，设绳子的长度为

缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有xm,可得AC=AD=xm,AB=(x-2)in,BC=

()m.8m,在Rt/XABC中利用勾股定理可求出x.

A.2B.4C.6【详解】设绳子长度为xm,则AC^AD=xm,

D.8AB=(x-2)m,BC-8m,

【答案】C【提示】首先根据题意画出图形，得到

在改口ABC中，AB2+BC2^AC2^即

一个直角三角形.根据勾股定理，即可解答.

(X-2)2+S1=X2,

【详解】解：由题意得，在Rt△力8c中，/C=8,

48=10,解得：x=17,

所以8C=系不=6.绳子的长度为17根.

故答案为：17.

故选：C.

CB

变式6-1.如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆

底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端

拉到距离旗杆8m处，此时绳子末端距离地面3.求蚂蚁爬行距离

2m,则绳子的长度为m.

典例7.如图，圆柱的高为8cm,底面半径为9

71

cm,一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点B处吃

食，要爬行的最短路程是()

【答案】17

A.6cmB.8cmA.13米B.12米C.5

米D.而米

C.10cmD.12cm

【答案】c【答案】A【提示】根据题意，画出图形，构造直

角三角形，用勾股定理求解即可.

【提示】这种求最短的一般都是空间想象，把圆柱

体展开成平面的矩形.这个矩形长为底面周长，宽为【详解】如图所示，过D点作DELAB,垂足为

圆柱体的高.两点之间直线最短.所以展开后画图连E,

接AB,然后根据勾股定理，即可得解.

【详解】

/VAB=13,CD=8,

又,；BE=CD,DE=BC,

底面圆周长为2万12cm,底面半圆弧长为AE=AB-BE=AB-CD=13-8=5,

71

6cm,

...在RSADE中，DE=BC=12,

展开图如图所示，连接AB,

AD2=AE2+DE2=52+122=169,

'/BC=8cm,AC=6cm,

.•,AD=13（负值舍去），

二JAC?+BC”=用+8?=10

故小鸟飞行的最短路程为13m,

故选C.

故选A.

变式7-1.如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶

4.求大树折断前的高度

上，它飞行的最短路程是（）

典例8.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，

即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者

高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将

竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4

1?m

尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面

=10尺）（）上，竹尖与竹根的距离为三尺.问折断处高地面的

距离为（）

A.5.45尺B.4.55尺

C.5.8尺

D.4.2尺

A.3B.5【答案】B

C.4.2D.4【提示】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定

理列出方程求解即可.

【答案】C【提示】根据题意结合勾股定理得出折

断处离地面的长度即可.【详解】解：设折断后的竹子高AC为x尺，则

AB长为（10-x）尺，根据勾股定理得：

【详解】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，

根据题意可得；AC2+BC2=AB2,

即:x2+32=（10-x）2,

解得：x=4.55,

故选：B.

x2+42=（10-x）2,

解得:x=4.2,

答：折断处离地面的高度OA是4.2尺.变式8-2.如图，一根竖直的木杆在离地面3.1小

处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°

故选C.

角，则木杆折断之前高度约为.（参考

变式《九章算术》是我国古代一部著名的数学

8-1.数据：

专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹

sin38°®0.62,cos38°«0.79,tan38°a0.78）

高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其

意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈

水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，

它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦

苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是X尺.根据

题意，可列方程为（）

【答案】8.1m

【提示】由题意得，在直角三角形中，知道了两直

角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵

树折断之前的高度.

【详解】解：如图：

A.X2+102=(X+1)2B.(X-1)2+52=X2

C.X2+52=(X+1)2D.(X-1)2+102=X2

【答案】B

【提示】找到题中的直角三角形，设