高考数学考点总结(985,211)

高考前数学考点及知识点分析总结

同学们加油，总结10年内的考点

看会定能21L985

加油

1.注意下列性质：

(1)集合{a]，a?，……，aj的所有子集的个数是2%

(2)若A1B=AnB=A,AUB=B；

(3)德摩根定律：

Cu(AUB)=(CuA)n(CL,B),Cu(AnB)=(CuA)U(CuB)

2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集0的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A=[lx?-2x-3=。},B={xlax=1}

若BuA,则实数a的值构成的集合为

洛"0,J

3.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的"确定性、互异性、无序性"。

如：集合A={xly=Igx},B={yly=Igx},C={(x,y)ly=Igx},A、B^C

中元素各表示什么？

4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式的解集为M,若3wM月一5eM,求实数a

x-a

的取值范围。

/a•3—5

（V3GM,J32.10

naw1,|）U（9,25））

a•5—5L

V5^M,Z.-....>0

52-a

5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（v）,“且”（△）和

“非”㈠.

若p^q为真，当且仅当p、q均为真

若pvq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若「p为真，当且仅当p为假

6.命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7.对映射的概念了解吗？映射f:A-B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对

应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

(一对一，多对一，允许B中有元素无原象。)

8.函数的三要素是什么？如何h昨交两个函数是否相同？

(定义域、对应法则、值域)

9.求函数的定义域有哪些常见类型?

例：函数y=的定义域是

怆(X-3)2----------

(答:(0,2)U(2,3)u(3,4))

10.如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是[a,b],b>-a>0,则函数F(x)=f(x)+f(-x)的定

义域是____________.

(答：[a,-a])

11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：f(jx+1)=e*+x,求f(x).

令t=Jx+1,则t>0

x=t~—1

.,.f(t)=e'2-1+t2-1

，f(x)=e/T+x2-1(x>0)

12.反函数存在的条件是什么？

(——对应函数)

求反函数的步骤掌握了吗？

(①反解X;②互换x、y;③注明定义域)

fl+x(x>0)

如：求函数f(x)=,〉〈的反函数

口2(X<O)

x-1(x>1)

(答：fT(X)=')

--V-x(x<0)

13.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y=x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y=f(x)的定义域为A,值域为C,awA,bwC,则f(a)=boL(b)=a

f-1[f(a)]=f-1(b)=a,f[f-,(b)]=f(a)=b

14.如何用定义证明函数的单调性？

(取值、作差、判正负)

如何判断复合函数的单调性？

(y=f(u),u=(p(x)，则丫=耳中5)]

(外层)(内层)

当内、外层函数单调性相同时f[(p(x)]为增函数，否则f[(p(x)]为减函数。)

如：求y=log"-*?+2x)的单调区间

2

(设U=-X2+2X,由u>0则0<x<2且]og|M,u=-(x-l)2+1,如图：

2

当xe(O,1]时，uT,又log]uJ,•'-y

2

当xe[l,2)时，uJ,又.*.yT

.■.……)

15.如何利用导数判断函数的单调性？

在区间(a,b)内，若总有f'(x)20则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性)，反之也对，若f'(x)WO呢？

如：已知a〉0,函数f(x)=-ax在［1,+oo)上是单调增函数，则a的最大

值是()

A.0B.1C.2D.3

(令f'(x)=3x2—a=3x+g(x—咨>0

则X"JI或X2JI

由已知f(x)在［1,+8)上为增函数，则AML即a<3

..a的最大值为3)

16.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？

(f(x)定义域关于原点对称)

若f(-x)=-f(x)总成立<=>f(x)为奇函数O函数图象关于原点对称

若f(-x)=f(x)总成立of(x)为偶函数o函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；

一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)=0。

如：若f(x)=丫2：+m-2为奇函数,则实数a=

2+1-------

(•.,f(x)为奇函数，xeR,又OeR,Af(0)=0

又如：f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数，当xe(0,1)时，f(x)=----

4+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

2f

(令xe(-1,0),则一xe(0,1),f(-x)=-----

4-x+l

又f(x)为奇函数，.*.f(x)=-------=------

4-x+11+4、

2XxG(-L0)

T7z•r/\4X+1X=0、

乂rf(0m)=0n,.•f(x)=<)

XG(0,1)

l4x+1

17.你熟悉周期函数的定义吗？

(若存在实数T(T/0),在定义域内总有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期

函数，T是一个周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),贝(J

(答：f(x)是周期函数，T=2a为f(x)的一个周期)

又如：若f(x)图象有两条对称轴x=a,x=b(o)

即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)

则f(x)是周期函数，2|a-b|为一个周期

如：

18.你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(-x)的图象关于上型对称

£炽)与-£汽)的图象关于三邂对称

£汉)与-£(-刈的图象关于里皂对称

f(x)与ft(x)的图象关于直线y=x对称

f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称

f(x)与-f(2a-x)的图象关于点(a,0)对称

将y=f(x)图象左移a(a>0)个单位)y=f(x+a)

右移a(a>0)个单位y=f(x—a)

上移b(b>0)个单位)y=f(x+a)+b

下移b(b>0)个单位y=f(x+a)-b

注意如下"翻折"变换：

f(x)—>|f(x)|

f(x)——>f(lxl)

如：f(x)=log2(x+l)

作出y=1og2(x+1)|及y=1(吆2,+1|的图象

y=log2x

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(1)一次函数：y=kx+b(kHO)

lzk

(2)反比例函数：y=—(k^O)推广为y=b+----(1<*0)是中心0'(2,b)

xx-a

的双曲线。

(3)二次函数丫=2*2+6*+(:卜*0)=2卜+凹+”上土图象为抛物线

v2a/4a

生目，对称轴xb

顶点坐标为

4a)2a

开口方向：a>0,向上，函数Ymin=4a：b

4ac-b2

a<0,向下，Ymax

4a

应用：①“三个二次"(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

ax2+bx+c=O,△>()时，两根X1、X2为二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax?+bx+c〉0(<0)解集的端点值。

②求闭区间［m,n］上的最值。

③求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

A>0

如：二次方程ax?+bx+c=0的两根都大于k<=><—>k

2a

f(k)>0

一根大于k,一根小于kof(k)<0

(4)指数函数：y=ax(a>0,ah1)

(5)对数函数y=logax(a>0,awl)

由图象记性质!(注意底数的限定！)

k

(6)“对勾函数"y=x+-(k>0)

X

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

20.你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算:a°=l(aw0),a-p=—(a0)

ap

mm-a

an-Va™'(a>0),an=——(a>0)

Vam

对数运算：logaM•N=logaM+logaN(M〉0,N>0)

loga==logaM-logaN，logaVM=-logaM

Nn

对数恒等式：a嘀x=x

对数换底公式：log.,b=10gcblogbn=—log.,b

logcaam

21.如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

如:(1)xeR,f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),证明f(x)为奇函数。

(先令x=y=0=>f(0)=0再令y=-x,....)

(2)xeR,f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x)是偶函数。

(先令x=y=-t=>f[(-t)(-t)]=f(t•t)

.,.f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

)

(3)证明单调性：fix2)=f[(x2-xj+x2]=

22.掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数

单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值：

(1)y=2x-3+V13-4x

2>/x-4

(2)y=

(3)

(4)y=x+4+j9-x2（设x=3cos®,0e[0,可）

9

(5)y=4x+—，xe（0,1]

x

23.你记得弧度定义吗？能写出圆心角为a,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sina=MP,cosa=OM,tana-AT

如：若-乌＜。＜0,则sin。，cosO,tanO的大小顺序是

8

兀

又如：求函数y=Jl-&cos---x的定义域和值域。

2，

=1-V2sinx>0

sinx<—,如图:

2

.\2k7t--

4

25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、

对称轴吗？

|sinx|<1,|cosx|<1

对称点为(k5，0)，keZ

jrjr

y=sinx的增区间为2k兀一,，2kn+—(kGZ)

减区间为2k兀+］■,2k兀+£■(keZ)

图象的对称点为(km0),对称轴为x=k)t+/(keZ)

y=cosx的增区间为［2k7i,2k兀+兀］(kGZ)

减区间为［2k7i+ic,2k兀+2兀］(kGZ)

图象的对称点为(k兀+^，oj,对称轴为三J辿

y=tanx的增区间为(k兀一,ku+kGZ

26.正弦型函数y=Asin®x+(p)的图象和性质要熟记。[或y=Acos(cox+(p)]

(1)振幅IAl,周期T=f01JT

Icol

若f(x())=士A,则x=x0为对称轴。

若f(x0)=0,则(x0,0)为对称点，反之也对。

(2)五点作图：令cox+(p依次为0,兀，~92兀，求出x与y,依点

(x,y)作图象。

(3)根据图象求解析式。(求A、8、邛值)

co(X])+(p=0

如图列出兀

(o(x2)+(p=-

解条件组求M(P值

JT

△正切型函数y=Atan(cox+(p),T=一

Icol

27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角

的范围。

cos(x+£V2

如:——,xe7t,T,求*值。

2

..371.7n71571.715兀

•兀<X<—,.——<x+—<一,••XH---.../.x=—7T)

26636412

28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如:函数y=sinx+sinlxl的值域是

(x20U寸，y=2sinxG[-2,2],x<0时、y=0,Aye[-2,2])

29.熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换）

平移公式：

V）才=（h，k）>p,x'=x+h

(1)点P(x,(x'，y'),则

平移至y'=y+k

（2）曲线f（x,丫）=0沿向量：=（1,

1k）平移后的方程为f（x-h,y-k）=O

如：函数y=2sin（2x-：J-l的图象经过怎样的变换才能得到y=sinx的

图象？

(y=2sin(2x-?J-1横坐标伸长到原来的2倍）y=2sin2|

.I左平移上位-X」上平检个『y"X

2sin(x一;

纵坐标缩短到原来的工倍

----------------------->y=sinx）

30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1=sin2a+cos2a=sec2a-tan2a=tana•cota=cosa,seca=tan—

4

=sin—=cosO=.......称为1的代换。

2

"k•£±a”化为a的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

2

〃奇〃、〃偶〃指k取奇、偶数。

,9兀（I一等）+sin（21K）

如：cos—+tan|

又如：函数y=sEa+tana,贝叼的值为

cosa4-cota---------------

A.正值或负值B.负值C.非负值D,正值

.sina

,Sma+cosasin2a(cosa+1)、

(y=---------=—r4-----------------<>0,Va^O)

cosacosa(sina+1)

cosa+-----1)

sina

31.熟练掌握两角和、差、倍、降幕公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

令a=P

sin(a±p)=sinacosp±cosasinp->sin2a=2sinacosa

cos(a±p)=cosacosp+sinasinp-「。二>cos2a=cos2a-sin2a

tan(a±B)=tana±tan12cos2a-1=l-2sin2a=

14-tana•tan0

21+cos2a

Vccosa=------------

-2tana2

tan2a=------------

1-tan**a.1-cos2a

sin2a=------------

2

asina+bcosa=7a2+b2sin(a+cp),tan(p=—

sina+cosa=&sin(a+?

sina+6cosa=2sin[a+]

应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中

不含三角函数，能求值，尽可能求值。)

具体方法：

(1)角的变换：如P=(a+P)-a,=—身一(羡一口).....

(2)名的变换：化弦或化切

(3)次数的变换：升、降幕公式

(4)形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

如：已知sinacosa=行tan(a-p)=--,求tan((3-2a)的值。

1-cos2a3

(由已知得:sinacosa_cosa/.tana」

2sin2a2sina2

7

又tan(p-a)=-

2_J_

tan(p-a)-tana

I.tan(p-2a)=tan[(P-a)-a]=3-2=1)

1+tan(p-a)•tana/J8

32

32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

K.222

余弦定理：a2=b24-c2-2bccosA=cosA=———----

2bc

(应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。)

fa2RsinA

正弦定理：一一=-^-='=2R='b

2RsinB

sinAsinBsinC

c2RsinC

S=—a•bsinC

A2

*.*A+B+C=Ji,A+B=K—C

.A+BC

/.sin（A+B）=sinC,sin-------=cos-

22

A_i_R

如AABC中，2sin2-------+cos2C=l

2

(1)求角C；

（2）^a2=b2,求cos2A-cos2B的值。

2

（（1）由已知式得：l-cos（A+B）+2cos2C

又A+B=兀一C,/.2cos2C+cosC-1=0

1・cosC=，或cosC=-1（舍）

2

IT

又0<C<7T,，C='

3

（2）由正弦定理及a?=b2+'c2得：

2

2sin2A-2sin2B=sin2C=sin2—--

34

3

1cos2A—1+cos2B——

4

3、

cos2A-cos2B=——）

4

33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反正弦：arcsinxG,x£卜1,1]

反余弦：arccosxG[0,可，xe[-L1]

r5(xeR)

反正切:arctanxG-

34.不等式的性质有哪些？

c>0=>ac>be

(1)a>b,

c<0=>ac<be

(2)a>b,c>d=>a+c>b+d

(3)a>b>0,c>d>0nac>bd

(4)a〉b>oU,a<b<0^->-

abab

(5)a>b>0=>an>bn,Va>Vb

(6)lxl<a(a>0)o-a<x<a,1x1>a=x<-a或x〉a

如：若!<工<0,则下列结论不正确的是()

ab

A.a2<b2B.ab<b2

ab

C.lal+lbl>la+blD.-+->2

ba

答案：C

35.利用均值不等式：

a2+b2>2ab(a,beR+)；a+b>2Vab;abW,；求最值时，你是否注

意到“a,beR+”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a+b)其中之一为定

值？(一正、二定、三相等)

注意如下结论：

疝2篝(a,beR+)

当且仅当a=b时等号成立。

a12+b2+c2>ab+bc+ca(a,bGR)

当且仅当a=b=c时取等号。

a>b>0,m>0,n>0,则

bb+m।a+na

—<-------<1<-------<一

aa+mb+nb

4

如：若x〉0,2-3x——的最大值为

x-------------

(设y=2—(3x+&)<2—2配=2—46

当且仅当3x=&,又x>0,.力二冬叵时，ymax=2-473)

x3

又如：x+2y=l,则2*+4，的最小值为

(V2X+22y>272x+2y=2A/F,.•.最小值为2尤)

36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？

(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)

并注意简单放缩法的应用。

如：证明1+1+4■+…+二<2

2232n2

111,111

(1HyH—彳+....H彳<1H---------1--------F.......+7------\-

2232n21x22x3(n-l)n

,1111

1+1——+-—F....+

223n-1n

2--<2)

n

37.解分式不等式黑〉a(aH0)的一般步骤是什么？

(移项通分,分子分母因式分解，x的系数变为1,穿轴法解得结果。)

38.用“穿轴法"解高次不等式——"奇穿，偶切"，从最大根的右上方开始

1是偶重根

如：(x+l)(x-l)2(x-2)3<0

39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a>1或0<a<1讨论

40.对含有两个绝对值的不等式如何去解？

(找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。)

例如：解不等式lx—3l-|x+q<l

(解集为卜lx>g})

41.会用不等式匕1-由《匕±村(也1+旧证明较简单的不等问题

如：设f(x)=X、一x+13,实数a满足lx-al<l

求证：|f(x)-f(a)|<2(lal+l)

证明.If(x)-f(a)l=l(x2-x+13)-(a2-a+13)l

=l(x-a)(x+a-l)l(vlx-al<1)

=lx-allx+a-ll<lx+a-II

<lxl+lal+l

Xlxl-lal<lx-al<l,Alxklal+l

.".|f(x)-f(a)|<2lal+2=2(lal+l)

(按不等号方向放缩)

42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？(可转化为最值问题，或问题)

如:a<f(x)恒成立oa<f(x)的最小值

a>f(x)恒成立<=>a>f(x)的最大值

a>f(x)能成立oa>f(x)的最小值

例如：对于一切实数x,若|x-3|+|x+2]>a恒成立，贝Ua的取值范围是

(设u=|x-3|+|x+2],它表示数轴上到两定点-2和3距离之和

umin=3-(-2)=5,，5〉a,即a<5

或者：|x-3|+|x+2|>|(x-3)-(x+2)|=5,Aa<5)

43.等差数列的定义与性质

定义：an+1-an=d(d为常数)，an=a,+(n-l)d

等差中项：x,A,y成等差数列=2A=x+y

„工十(a.+a„)nn(n-1)

前n项和Sn=」一L=na+△——

22

性质：｛a,J是等差数列

⑴若m+n=p+q,贝％+a0=ap+aq；

（2）数列包2｝,｛a?J，｛ka_+b｝仍为等差数列;

S.,S2n-Sn,S3n-S2n……仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为a-d,a,a+d；

（4）若an,b.是等差数列S0,Tn为前n项和，则龌=且丛；

11II11IIfVI

DmA2m-1

（5）｛an｝为等差数列0sli=an?+bn（a,b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数）

S.的最值可求二次函数Sn=an2+bn的最值；或者求出｛a0｝中的正、负分界

项，即：

a>0

当为>0,d<0,解不等式组n~八可得Sn达到最大值时的n值。

an+1<0

a""1可得S0达到最小值时的n值。

当a1<0,d>0,由《

an+1>0

a+a+a

如：等差数列｛aj,Sn=18,nn-ln-23,S3=1,则n=

+an-2

(由a0+an_,3n3an_,=3,•.an_I=1

a.+aj.1

:

又S3------•3=3a)=1,..a9=-

2223

1+ln

•«+ajna?+a「J•n

-——=18

222

n=27)

44.等比数列的定义与性质

n

定义：&±L=q(q为常数，q^O),an=a1q-'

a”

等比中项：x、G、y成等比数列=>G?=xy,或6=歹

na,(q=1)

n

前n项和：Sn=a,(l-q)(要注意!)

―;--------(q*1)

Ii-q

性质：｛aj是等比数列

⑴若m+n=p+q,贝%•an=ap•aq

(2)S0，S2n-Sn,S3n-S2n……仍为等比数列

45.由S.求a”时应注意什么？

(n=l时，aI=S],nN2时，an=Sn-Sn_,)

46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：(1)求差(商)法

如：｛aj满足;a|+(a2+……+^an=2n+5<1>

n=l时，—a,=2x1+5,/.a,-14

解：2

nN2时，^ai+^a2+.......+^7Tan-i=2n-l+5<2>

<1>一<2>得：=2

•••a—z

14(n=l)

.•an=v।

[2n+l(n>2)

［练习］

数列｛aj满足Sn+S用=|a向，a,=4,求2„

s

(注意到3"I=5田-511代入得：9=4

又之=4,，｛Sn｝是等比数列，Sn=4"

n

n>2时，an=Sn-Sn_1=............=3,4-'

(2)叠乘法

例如：数列｛aj中，a1=3,冬红=」-,求a,

ann+1

a

a2.^3....n1.2...n-i_,，匕」

解：a〕a?a”-123na〕n

13

又a1=3,.*.a=—

nn

(3)等差型递推公式

由a0-ae=f(n),a,=a0,求a”，用迭加法

nN2时，a2-a1=f(2)'

-｝两边相加，得:

a

n-an_,-f(n)

an-a,=f(2)+f(3)+……+f(n)

••.a“=a0+f(2)+f(3)+……+f(n)

［练习］

数列｛aj,a,=1,an=3"T+an_i(n22),求a”

(4)等比型递推公式

an=Can-I+d(c、d为常数，cwO,CRI,dwO)

可转化为等比数列，设a_+x=c(an->+X)

=>an=Can-I+(c-l)x

令(c-l)x=d,/.x=----

c-1

,Id是首项为为+”—,c为公比的等比数列

•a+―-

nc-1c-1

ddn-1

..a”+a'+c^T•c

c-1

d

aa+cn

-•„='c^Tc^T

［练习］

数列｛aj满足为9,3an+1+an=4,求a”

(a“=8(—gn-1

+1)

(5)倒数法

2an

例如：a,=Lan+1---—,求a

an+2

由已知得：—匚=4上2=工+-1

a

n+i2an2an

112

a2

n+ia”

为等差数列，—=1,公差为工

lanja.2

=1+v(n-1)7,—=—V(n+1)

an22'

47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

如：｛aj是公差为d的等差数列,求Z」一

k=lakak+l

,111(||>

由----=-----------二—-——-(d/O)

akak+l^

解：-ak+1ak(ak+d)d

•••£,=斗

k=l^k^k+lk=l^k+1

Lrnc+n

一」+……

d|_ka］a；<aVaa；J

22a3>nn+］

if11、

dla,an+1；

［练习］

求和：1+」一+——-——+•…1

-+,

1+21+2+31+2+3+....+n

l-)

凡-....-.....,S-2

nnFl

(2)错位相减法：

若｛aj为等差数列，｛bn｝为等比数列，求数列｛a。、｝（差比数列）前加页

和，可由Sn-qS.求S_,其中q为他｝的公比。

2311_1

如：Sn=l+2x+3x+4x+....+nx<1>

234n-111

x,Sn=x+2x+3x+4x+....+(n-l)x+nx<2>

211-1n

<1>-<2>：(1-x)Sn=1+x+x+....+x-nx

x=l时，Sn=1+2+3+....+n=n(n+D

2

(3)倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

相力口

-an+an,,++a2+aj

2sli-(a1+an)+(a2+an_,)+"+(a(+aj

［练习］

已知f(x)=工r,则f(D+f(2)+ff-Vf(3)+ig)+f(4)+C)

1+x2\2J

22

(、jnx(x)x

(由f(X)+f—2+/、2—2f

1x71+x2Ji11+x

•••原式=f⑴+f(2)+f(j+寅3)+《?-»一f(4)+fg)

48.你知道储蓄、贷款问题吗？

A零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r,n期后，本利和为：

S0=P(l+r)+p(l+2r)+.......+p(l+nr)=pn+“(二」r........等差问题

△若按复利，如贷款问题一按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等

额归还本息的借款种类)

若贷款(向银行借款)p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期(如一

年)后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r(按复利)，那么每

期应还x元，满足

p(l+r)n=x(l+r)n1+x(l+r)n2+.......+x(l+r)+x

[l-(l+r)Jr

.Pr(l+r)”

.・x=-------------

(l+r)=1

p一贷款数,r——利率，n——还款期数

49.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

(1)分类计数原理：N=ni]+m2+........+mn

(nij为各类办法中的方法数)

分步计数原理：N=m,•m2.......mtl

(m,为各步骤中的方法数)

(2)排列：从n个不同元素中，任取m(m<n)个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A)

I

A™=n(n-l)(n-2).......(n-m+1)=-•(m<n)

(n-m)!

规定：0!=l

(3)组合：从n个不同元素中任取m(m<n)个元素并组成一组,叫做从n个

不同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C)

"=绡=n(n-l)……(n-m+l)=n!

“A™m!m!(n-m)!

规定：C：=1

(4)组合数性质：

m=Ccn-mCz-tm+.Ccm-lC厂mC+C1.+................+....Co2n

Cnn-nn=n+Pnnn=

50.解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至

少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

如：学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩

Xje{89,90,91,92,93卜(i=l,2,3,4)且满足x1<x24X3<x4，

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是()

A.24B.15C.12D.10

解析：可分成两类：

(1)中间两个分数不相等,

□□□□

Xj<x2<x3<x4

有C；=5(种)

(