高中数学必修五单元测试题全套带答案

./章末综合测评<第一章><时间120分钟,满分150分>一、选择题<本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的>1．在△ABC中,若AB＝eq\r<13>,BC＝3,∠C＝120°,则AC＝<>A．1 B．2C．3 D．4[解析]由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC即13＝9＋AC2－2×3AC×<－eq\f<1,2>>,解得AC＝1或AC＝－4<舍去>[答案]A2．在△ABC中,B＝eq\f<π,4>,AB＝eq\r<2>,BC＝3,则sinA＝<>A.eq\f<\r<10>,10> B.eq\f<\r<10>,5>C.eq\f<3\r<10>,10> D.eq\f<\r<5>,5>[解析]在△ABC中,由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cosB＝<eq\r<2>>2＋32－2×eq\r<2>×3×eq\f<\r<2>,2>＝5,解得AC＝eq\r<5>.再由正弦定理得sinA＝eq\f<BC·sinB,AC>＝eq\f<3×\f<\r<2>,2>,\r<5>>＝eq\f<3\r<10>,10>.故选C.[答案]C3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3,a,那么a的取值围为<>A．<8,10> B．<2eq\r<2>,eq\r<10>>C．<2eq\r<2>,10> D．<eq\r<10>,8>[解析]设1,3,a所对的角分别为C,B,A,由余弦定理知a2＝12＋32－2×3cosA<12＋32＝10,32＝1＋a2－2×acosB<1＋a2,∴2eq\r<2><a<eq\r<10>.[答案]B4．已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的接三角形的三边,若abc＝16eq\r<2>,则三角形的面积为<>A．2eq\r<2> B．8eq\r<2>C.eq\r<2> D.eq\f<\r<2>,2>[解析]∵eq\f<a,sinA>＝eq\f<b,sinB>＝eq\f<c,sinC>＝2R＝8,∴sinC＝eq\f<c,8>,∴S△ABC＝eq\f<1,2>absinC＝eq\f<abc,16>＝eq\f<16\r<2>,16>＝eq\r<2>.[答案]C5．△ABC的三角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量p＝<a＋c,b>,q＝<b－a,c－a>,若p∥q,则角C的大小为<>A.eq\f<π,6> B.eq\f<π,3>C.eq\f<π,2> D.eq\f<2π,3>[解析]p∥q⇒<a＋c><c－a>－b<b－a>＝0,即c2－a2－b2＋ab＝0⇒eq\f<a2＋b2－c2,2ab>＝eq\f<1,2>＝cosC,∴C＝eq\f<π,3>.[答案]B6．在△ABC中,若sinBsinC＝cos2eq\f<A,2>,则下面等式一定成立的是<>A．A＝B B．A＝CC．B＝C D．A＝B＝C[解析]由sinBsinC＝cos2eq\f<A,2>＝eq\f<1＋cosA,2>⇒2sinBsinC＝1＋cosA⇒cos<B－C>－cos<B＋C>＝1＋cosA.又cos<B＋C>＝－cosA⇒cos<B－C>＝1,∴B－C＝0,即B＝C.[答案]C7．一角槽的横断面如图1所示,四边形ADEB是矩形,且α＝50°,β＝70°,AC＝90mm,BC＝150mm,则DE的长等于<>图1A．210mm B．200mmC．198mm D．171mm[解析]∠ACB＝70°＋50°＝120°,AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB＝902＋1502－2×90×150×cos120°＝44100,AB＝210,即DE＝210mm.[答案]A8．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2＝<a－b>2＋6,C＝eq\f<π,3>,则△ABC的面积是<>A．3 B.eq\f<9\r<3>,2>C.eq\f<3\r<3>,2> D．3eq\r<3>[解析]∵c2＝<a－b>2＋6,∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝eq\f<π,3>,∴c2＝a2＋b2－2abcoseq\f<π,3>＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0,即ab＝6.∴S△ABC＝eq\f<1,2>absinC＝eq\f<1,2>×6×eq\f<\r<3>,2>＝eq\f<3\r<3>,2>.[答案]C9．已知在△ABC中,sinA＋sinB＝sinC<cosA＋cosB>,则△ABC的形状是<>A．锐角三角形 B．钝角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形[解析]由正弦定理和余弦定理得a＋b＝ceq\f<b2＋c2－a2,2bc>＋eq\f<a2＋c2－b2,2ac>,即2a2b＋2ab2＝ab2＋ac2－a3＋a2b＋bc2－b3,∴a2b＋ab2＋a3＋b3＝ac2＋bc2,∴<a＋b><a2＋b2>＝<a＋b>c2,∴a2＋b2＝c2,∴△ABC为直角三角形,故选D.[答案]D10．在△ABC中,sin2A＝sin2B＋sinBsinC＋sin2C,则A＝<>A．30° B．60°C．120° D．150°[解析]由已知得a2＝b2＋bc＋c2,∴b2＋c2－a2＝－bc,∴cosA＝eq\f<b2＋c2－a2,2bc>＝－eq\f<1,2>,又0°<A<180°,∴A＝120°.[答案]C11．在△ABC中,A∶B＝1∶2,∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3∶2两部分,则cosA等于<>A.eq\f<1,3> B.eq\f<1,2>C.eq\f<3,4> D．0[解析]∵CD为∠ACB的平分线,∴D到AC与D到BC的距离相等,∴△ACD中AC边上的高与△BCD中BC边上的高相等．∵S△ACD∶S△BCD＝3∶2,∴eq\f<AC,BC>＝eq\f<3,2>.由正弦定理eq\f<sinB,sinA>＝eq\f<3,2>,又∵B＝2A,∴eq\f<sin2A,sinA>＝eq\f<3,2>,即eq\f<2sinAcosA,sinA>＝eq\f<3,2>,∴cosA＝eq\f<3,4>.[答案]C12.如图2,在坡度一定的山坡A处测得山顶上筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD＝50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ＝<>图2A．2eq\r<3>＋1 B．2eq\r<3>－1C.eq\r<3>－1 D.eq\r<3>＋1[解析]在△ABC中,BC＝eq\f<ABsin∠BAC,sin∠ACB>＝eq\f<100sin15°,sin45°－15°>＝50<eq\r<6>－eq\r<2>>,在△BCD中,sin∠BDC＝eq\f<BCsin∠CBD,CD>＝eq\f<50\r<6>－\r<2>sin45°,50>＝eq\r<3>－1,又∵cosθ＝sin∠BDC,∴cosθ＝eq\r<3>－1.[答案]C二、填空题<本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上>13．已知△ABC为钝角三角形,且C为钝角,则a2＋b2与c2的大小关系为________.[解析]∵cosC＝eq\f<a2＋b2－c2,2ab>,且C为钝角,∴cosC<0,∴a2＋b2－c2<0,故a2＋b2<c2.[答案]a2＋b2<c214．设△ABC的角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB,则角C＝________.[解析]由3sinA＝5sinB,得3a＝5b.又因为b＋c＝2a,所以a＝eq\f<5,3>b,c＝eq\f<7,3>b,所以cosC＝eq\f<a2＋b2－c2,2ab>＝eq\f<\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<5,3>b>>2＋b2－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<7,3>b>>2,2×\f<5,3>b×b>＝－eq\f<1,2>.因为C∈<0,π>,所以C＝eq\f<2π,3>.[答案]eq\f<2π,3>15．在锐角△ABC中,BC＝1,B＝2A,则eq\f<AC,cosA>的值等于________,AC的取值围为________．[解析]设A＝θ⇒B＝2θ.由正弦定理得eq\f<AC,sin2θ>＝eq\f<BC,sinθ>,∴eq\f<AC,2cosθ>＝1⇒eq\f<AC,cosθ>＝2.由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°.又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°,故30°<θ<45°⇒eq\f<\r<2>,2><cosθ<eq\f<\r<3>,2>,∴AC＝2cosθ∈<eq\r<2>,eq\r<3>>．[答案]2<eq\r<2>,eq\r<3>>16．如图3,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°,C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m,则山高MN＝________m.图3[解析]根据图示,AC＝100eq\r<2>m.在△MAC中,∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f<AC,sin45°>＝eq\f<AM,sin60°>⇒AM＝100eq\r<3>m.在△AMN中,eq\f<MN,AM>＝sin60°,∴MN＝100eq\r<3>×eq\f<\r<3>,2>＝150<m>．[答案]150三、解答题<本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤>17．<本小题满分10分>△ABC的三个角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB＋bcos2A＝eq\r<2>a.<1>求eq\f<b,a>；<2>若c2＝b2＋eq\r<3>a2,求B.[解]<1>由正弦定理得,sin2AsinB＋sinBcos2A＝eq\r<2>sinA,即sinB<sin2A＋cos2A>＝eq\r<2>sinA.故sinB＝eq\r<2>sinA,所以eq\f<b,a>＝eq\r<2>.<2>由余弦定理和c2＝b2＋eq\r<3>a2,得cosB＝eq\f<1＋\r<3>a,2c>.由<1>知b2＝2a2,故c2＝<2＋eq\r<3>>a2.可得cos2B＝eq\f<1,2>,又cosB>0,故cosB＝eq\f<\r<2>,2>,所以B＝45°.18．<本小题满分12分>已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a＝2,cosB＝eq\f<3,5>.<1>若b＝4,求sinA的值；<2>若△ABC的面积S△ABC＝4,求b,c的值．[解]<1>∵cosB＝eq\f<3,5>>0,且0<B<π,∴sinB＝eq\r<1－cos2B>＝eq\f<4,5>.由正弦定理得eq\f<a,sinA>＝eq\f<b,sinB>,sinA＝eq\f<asinB,b>＝eq\f<2×\f<4,5>,4>＝eq\f<2,5>.<2>∵S△ABC＝eq\f<1,2>acsinB＝4,∴eq\f<1,2>×2×c×eq\f<4,5>＝4,∴c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×eq\f<3,5>＝17,∴b＝eq\r<17>.19．<本小题满分12分>在△ABC中,∠A＝eq\f<3π,4>,AB＝6,AC＝3eq\r<2>,点D在BC边上,AD＝BD,求AD的长．[解]设△ABC的角∠BAC,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝<3eq\r<2>>2＋62－2×3eq\r<2>×6×coseq\f<3π,4>＝18＋36－<－36>＝90,所以a＝3eq\r<10>.又由正弦定理得sinB＝eq\f<bsin∠BAC,a>＝eq\f<3,3\r<10>>＝eq\f<\r<10>,10>,由题设知0<B<eq\f<π,4>,所以cosB＝eq\r<1－sin2B>＝eq\r<1－\f<1,10>>＝eq\f<3\r<10>,10>.在△ABD中,因为AD＝BD,所以∠ABD＝∠BAD,所以∠ADB＝π－2B,故由正弦定理得AD＝eq\f<AB·sinB,sinπ－2B>＝eq\f<6sinB,2sinBcosB>＝eq\f<3,cosB>＝eq\r<10>.20．<本小题满分12分>某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时C、D间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?[解]如图所示,设∠ACD＝α,∠CDB＝β.在△CBD中,由余弦定理得cosβ＝eq\f<BD2＋CD2－CB2,2BD·CD>＝eq\f<202＋212－312,2×20×21>＝－eq\f<1,7>,∴sinβ＝eq\f<4\r<3>,7>.而sinα＝sin<β－60°>＝sinβcos60°－sin60°cosβ＝eq\f<4\r<3>,7>×eq\f<1,2>＋eq\f<\r<3>,2>×eq\f<1,7>＝eq\f<5\r<3>,14>.在△ACD中,eq\f<21,sin60°>＝eq\f<AD,sinα>,∴AD＝eq\f<21×sinα,sin60°>＝15<千米>．所以这人还要再走15千米可到达城A.21．<本小题满分12分>在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2C＋2eq\r<2>cosC＋2＝0.<1>求角C的大小；<2>若b＝eq\r<2>a,△ABC的面积为eq\f<\r<2>,2>sinAsinB,求sinA及c的值.[解]<1>∵cos2C＋2eq\r<2>cosC＋2＝0,∴2cos2C＋2eq\r<2>cosC＋1＝0,即<eq\r<2>cosC＋1>2＝0,∴cosC＝－eq\f<\r<2>,2>.又C∈<0,π>,∴C＝eq\f<3π,4>.<2>∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝3a2＋2a2＝5a2,∴c＝eq\r<5>a,即sinC＝eq\r<5>sinA,∴sinA＝eq\f<1,\r<5>>sinC＝eq\f<\r<10>,10>.∵S△ABC＝eq\f<1,2>absinC,且S△ABC＝eq\f<\r<2>,2>sinAsinB,∴eq\f<1,2>absinC＝eq\f<\r<2>,2>sinAsinB,∴eq\f<ab,sinAsinB>sinC＝eq\r<2>,由正弦定理得eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<c,sinC>>>2sinC＝eq\r<2>,解得c＝1.22．<本小题满分12分>已知函数f<x>＝msinx＋eq\r<2>cosx<m>0>的最大值为2.<1>求函数f<x>在[0,π]上的单调递减区间；<2>若△ABC中,feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<A－\f<π,4>>>＋feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<B－\f<π,4>>>＝4eq\r<6>sinAsinB,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且C＝60°,c＝3,求△ABC的面积．[解]<1>由题意,f<x>的最大值为eq\r<m2＋2>,所以eq\r<m2＋2>＝2.又m>0,所以m＝eq\r<2>,f<x>＝2sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<π,4>>>.令2kπ＋eq\f<π,2>≤x＋eq\f<π,4>≤2kπ＋eq\f<3π,2><k∈Z>,得2kπ＋eq\f<π,4>≤x≤2kπ＋eq\f<5π,4><k∈Z>．所以f<x>在[0,π]上的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<π,4>,π>>.<2>设△ABC的外接圆半径为R,由题意,得2R＝eq\f<c,sinC>＝eq\f<3,sin60°>＝2eq\r<3>.化简feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<A－\f<π,4>>>＋feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<B－\f<π,4>>>＝4eq\r<6>sinAsinB,得sinA＋sinB＝2eq\r<6>sinAsinB.由正弦定理,得2R<a＋b>＝2eq\r<6>ab,a＋b＝eq\r<2>ab.①由余弦定理,得a2＋b2－ab＝9,即<a＋b>2－3ab－9＝0.②将①式代入②,得2<ab>2－3ab－9＝0,解得ab＝3或ab＝－eq\f<3,2><舍去>,故S△ABC＝eq\f<1,2>absinC＝eq\f<3\r<3>,4>.章末综合测评<第二章><时间120分钟,满分150分>一、选择题<本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的>1．下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是<>A．1,eq\f<1,2>,eq\f<1,3>,eq\f<1,4>,…B．－1,2,－3,4,…C．－1,－eq\f<1,2>,－eq\f<1,4>,－eq\f<1,8>,…D．1,eq\r<2>,eq\r<3>,…,eq\r<n>[解析]A为递减数列,B为摆动数列,D为有穷数列．[答案]C2．已知数列{an}是首项a1＝4,公比q≠1的等比数列,且4a1,a5,－2a3成等差数列,则公比q等于<>A.eq\f<1,2>B．－1C．－2D．2[解析]由已知,2a5＝4a1－2a3,即2a1q4＝4a1－2a1q2,所以q4＋q2－2＝0,解得q2＝1,因为q≠1,所以q＝－1.[答案]B3．某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个,…,按此规律进行下去,6小时后细胞存活的个数是<>A．33个 B．65个C．66个 D．129个[解析]设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{an}．则eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a1＝2,,an＋1＝2an－1,>>即eq\f<an＋1－1,an－1>＝2,∴an－1＝1·2n－1,an＝2n－1＋1,a7＝65.[答案]B4．等比数列{an}的通项为an＝2·3n－1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列{bn},那么162是新数列{bn}的<>A．第5项 B．第12项C．第13项 D．第6项[解析]162是数列{an}的第5项,则它是新数列{bn}的第5＋<5－1>×2＝13项．[答案]C5．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1<a≠0>,则{an}<>A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列,或者是等比数列D．既不可能是等差数列,也不可能是等比数列[解析]∵Sn＝an－1<a≠0>,∴an＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<S1,n＝1,,Sn－Sn－1,n≥2,>>即an＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a－1,n＝1,,a－1an－1,n≥2,>>当a＝1时,an＝0,数列{an}是一个常数列,也是等差数列；当a≠1时,数列{an}是一个等比数列．[答案]C6．等差数列{an}的公差不为零,首项a1＝1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是<>A．90 B．100C．145 D．190[解析]设公差为d,∴<1＋d>2＝1×<1＋4d>,∵d≠0,∴d＝2,从而S10＝100.[答案]B7．记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2＝4,S4＝20,则该数列的公差d＝<>A．2 B．3C．6 D．7[解析]S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16,∴a3＋a4－S2＝<a3－a1>＋<a4－a2>＝4d＝16－4＝12,∴d＝3.[答案]B8．已知数列{an}满足a1＝5,anan＋1＝2n,则eq\f<a7,a3>＝<>A．2 B．4C．5 D.eq\f<5,2>[解析]依题意得eq\f<an＋1an＋2,anan＋1>＝eq\f<2n＋1,2n>＝2,即eq\f<an＋2,an>＝2,数列a1,a3,a5,a7,…是一个以5为首项,2为公比的等比数列,因此eq\f<a7,a3>＝4.[答案]B9．在数列{an}中,a1＝2,2an＋1－2an＝1,则a101的值为<>A．49 B．50C．51 D．52[解析]∵2an＋1－2an＝1,∴an＋1－an＝eq\f<1,2>,∴数列{an}是首项a1＝2,公差d＝eq\f<1,2>的等差数列,∴a101＝2＋eq\f<1,2><101－1>＝52.[答案]D10．我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如图1所示：图1则第七个三角形数是<>A．27 B．28C．29 D．30[解析]法一：∵a1＝1,a2＝3,a3＝6,a4＝10,a5＝15,a2－a1＝2,a3－a2＝3,a4－a3＝4,a5－a4＝5,∴a6－a5＝6,a6＝21,a7－a6＝7,a7＝28.法二：由图可知第n个三角形数为eq\f<nn＋1,2>,∴a7＝eq\f<7×8,2>＝28.[答案]B11．数列{an}满足递推公式an＝3an－1＋3n－1<n≥2>,又a1＝5,则使得eq\b\lc\{\rc\}<\a\vs4\al\co1<\f<an＋λ,3n>>>为等差数列的实数λ＝<>A．2 B．5C．－eq\f<1,2> D.eq\f<1,2>[解析]a1＝5,a2＝23,a3＝95,令bn＝eq\f<an＋λ,3n>,则b1＝eq\f<5＋λ,3>,b2＝eq\f<23＋λ,9>,b3＝eq\f<95＋λ,27>,∵b1＋b3＝2b2,∴λ＝－eq\f<1,2>.[答案]C12．在等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且a11>|a10|,则{an}的前n项和Sn中最大的负数为<>A．S17 B．S18C．S19 D．S20[解析]∵a10<0,a11>0,且a11>|a10|,∴a11＋a10>0.S20＝eq\f<20a1＋a20,2>＝10·<a11＋a10>>0.S19＝eq\f<19a1＋a19,2>＝eq\f<19,2>·2a10<0.[答案]C二、填空题<本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上>13．在等差数列{an}和{bn}中,a1＝25,b1＝75,a100＋b100＝100,则数列{an＋bn}的前100项的和为________．[解析]由已知得{an＋bn}为等差数列,故其前100项的和为S100＝eq\f<100[a1＋b1＋a100＋b100],2>＝50×<25＋75＋100>＝10000.[答案]1000014．数列{an}满足a1＝1,an＝an－1＋n<n≥2>,则a5＝________.[解析]由an＝an－1＋n<n≥2>,得an－an－1＝n,则a2－a1＝2,a3－a2＝3,a4－a3＝4,a5－a4＝5,把各式相加,得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14,∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15.[答案]1515．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数,则公差d的取值围是________．[解析]设a1＝－24,公差为d,∴a10＝－24＋9d>0且a9＝－24＋8d≤0,∴eq\f<8,3><d≤3.[答案]eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<8,3>,3>>16．已知公差不为零的正项等差数列{an}中,Sn为其前n项和,lga1,lga2,lga4也成等差数列,若a5＝10,则S5＝________.[解析]设{an}的公差为d,则d≠0.由lga1,lga2,lga4也成等差数列,得2lga2＝lga1＋lga4,∴aeq\o\al<2,2>＝a1a4,即<a1＋d>2＝a1<a1＋3d>,d2＝a1d.又d≠0,故d＝a1,a5＝5a1＝10,d＝a1＝2,S5＝5a1＋eq\f<5×4,2>×d＝30.[答案]30三、解答题<本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤>17．<本小题满分10分>在等差数列{an}中,a1＋a3＝8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{an}的首项、公差及前n项和．[解]设该数列的公差为d,前n项和为Sn.由已知可得2a1＋2d＝8,<a1＋3d>2＝<a1＋d><a1＋8d>,所以a1＋d＝4,d<d－3a1>＝0,解得a1＝4,d＝0或a1＝1,d＝3,即数列{an}的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝eq\f<3n2－n,2>.18．<本小题满分12分>设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝<n－1>Sn＋2n<n∈N*>．<1>求a2,a3的值；<2>求证：数列{Sn＋2}是等比数列．[解]<1>∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝<n－1>·Sn＋2n<n∈N*>,∴当n＝1时,a1＝2×1＝2；当n＝2时,a1＋2a2＝<a1＋a2>＋4,∴a2＝4；当n＝3时,a1＋2a2＋3a3＝2<a1＋a2＋a3>＋6,∴a3＝8.<2>证明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝<n－1>Sn＋2n<n∈N*>,①∴当n≥2时,a1＋2a2＋3a3＋…＋<n－1>an－1＝<n－2>Sn－1＋2<n－1>,②①－②得nan＝<n－1>Sn－<n－2>Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2,∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0,即Sn＝2Sn－1＋2.∴Sn＋2＝2<Sn－1＋2>．∵S1＋2＝4≠0.∴Sn－1＋2≠0,∴eq\f<Sn＋2,Sn－1＋2>＝2.即{Sn＋2}是以4为首项,2为公比的等比数列．19．<本小题满分12分>已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10,a4－a3＝2.<1>求{an}的通项公式；<2>设等比数列{bn}满足b2＝a3,b3＝a7,问：b6与数列{an}的第几项相等？[解]<1>设等差数列{an}的公差为d.因为a4－a3＝2,所以d＝2.又因为a1＋a2＝10,所以2a1＋d＝10,故a1＝4.所以an＝4＋2<n－1>＝2n＋2<n＝1,2,…>．<2>设等比数列{bn}的公比为q.因为b2＝a3＝8,b3＝a7＝16,所以q＝2,b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2得n＝63,所以b6与数列{an}的第63项相等．20．<本小题满分12分>已知首项都是1的两个数列{an},{bn}<bn≠0,n∈N*>,满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.<1>令cn＝eq\f<an,bn>,求数列{cn}的通项公式；<2>若bn＝3n－1,求数列{an}的前n项和Sn.[解]<1>因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0,bn≠0<n∈N*>,所以eq\f<an＋1,bn＋1>－eq\f<an,bn>＝2,即cn＋1－cn＝2.所以数列{cn}是以首项c1＝1,公差d＝2的等差数列,故cn＝2n－1.<2>由bn＝3n－1知an＝cnbn＝<2n－1>3n－1,于是数列{an}的前n项和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋<2n－1>×3n－1,3Sn＝1×31＋3×32＋…＋<2n－3>×3n－1＋<2n－1>×3n.相减得－2Sn＝1＋2×<31＋32＋…＋3n－1>－<2n－1>×3n＝－2－<2n－2>3n,所以Sn＝<n－1>3n＋1.21．<本小题满分12分>设数列{an}<n＝1,2,3,…>的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1,且a1,a2＋1,a3成等差数列．<1>求数列{an}的通项公式；<2>记数列eq\b\lc\{\rc\}<\a\vs4\al\co1<\f<1,an>>>的前n项和为Tn,求使得|Tn－1|<eq\f<1,1000>成立的n的最小值．[解]<1>由已知Sn＝2an－a1,有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1<n≥2>,即an＝2an－1<n≥2>,所以q＝2.从而a2＝2a1,a3＝2a2＝4a1.又因为a1,a2＋1,a3成等差数列,即a1＋a3＝2<a2＋1>,所以a1＋4a1＝2<2a1＋1>,解得a1＝2.所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列．故an＝2n.<2>由<1>得eq\f<1,an>＝eq\f<1,2n>,所以Tn＝eq\f<1,2>＋eq\f<1,22>＋…＋eq\f<1,2n>＝eq\f<\f<1,2>\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<1－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>n>>,1－\f<1,2>>＝1－eq\f<1,2n>.由|Tn－1|<eq\f<1,1000>,得eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<1－\f<1,2n>－1>><eq\f<1,1000>,即2n>1000.因为29＝512<1000<1024＝210,所以n≥10.于是使|Tn－1|<eq\f<1,1000>成立的n的最小值为10.22．<本小题满分12分>在等差数列{an}中,已知公差d＝2,a2是a1与a4的等比中项．<1>求数列{an}的通项公式；<2>设bn＝,记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋<－1>nbn,求Tn.[解]<1>由题意知<a1＋d>2＝a1<a1＋3d>,即<a1＋2>2＝a1<a1＋6>,解得a1＝2,所以数列{an}的通项公式为an＝2n.<2>由题意知bn＝＝n<n＋1>,所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋<－1>nn·<n＋1>．因为bn＋1－bn＝2<n＋1>,可得当n为偶数时,Tn＝<－b1＋b2>＋<－b3＋b4>＋…＋<－bn－1＋bn>＝4＋8＋12＋…＋2n＝eq\f<\f<n,2>4＋2n,2>＝eq\f<nn＋2,2>,当n为奇数时,Tn＝Tn－1＋<－bn>＝eq\f<n－1n＋1,2>－n<n＋1>＝－eq\f<n＋12,2>.所以Tn＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<－\f<n＋12,2>,n为奇数,,\f<nn＋2,2>,n为偶数.>>章末综合测评<第三章><时间120分钟,满分150分>一、选择题<本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的>1．对于任意实数a,b,c,d,下列四个命题中：①若a>b,c≠0,则ac>bc；②若a>b,则ac2>bc2；③若ac2>bc2,则a>b；④若a>b>0,c>d,则ac>bd.其中真命题的个数是<>A．1 B．2C．3 D．4[解析]若a>b,c<0时,ac<bc,①错；②中,若c＝0,则有ac2＝bc2,②错；③正确；④中,只有c>d>0时,ac>bd,④错,故选A.[答案]A2．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是<>A．<－3,4> B．<－3,－4>C．<0,－3> D．<－3,2>[解析]当x＝y＝0时,3x＋2y＋5＝5>0,则原点一侧对应的不等式是3x＋2y＋5>0,可以验证仅有点<－3,4>满足3x＋2y＋5>0.[答案]A3．设A＝eq\f<b,a>＋eq\f<a,b>,其中a,b是正实数,且a≠b,B＝－x2＋4x－2,则A与B的大小关系是<>A．A≥B B．A>BC．A<B D．A≤B[解析]∵a,b都是正实数,且a≠b,∴A＝eq\f<b,a>＋eq\f<a,b>>2eq\r<\f<b,a>·\f<a,b>>＝2,即A>2,B＝－x2＋4x－2＝－<x2－4x＋4>＋2＝－<x－2>2＋2≤2,即B≤2,∴A>B.[答案]B4．已知0＜a＜b＜1,则下列不等式成立的是<>A．a3＞b3 B.eq\f<1,a>＜eq\f<1,b>C．ab＞1 D．lg<b－a>＜0[解析]由0＜a＜b＜1,可得a3＜b3,A错误；eq\f<1,a>＞eq\f<1,b>,B错误；ab＜1,C错误；0＜b－a＜1,lg<b－a>＜0,D正确．[答案]D5．在R上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b,则满足x☆<x－2><0的实数x的取值围为<>A．<0,2>B．<－2,1>C．<－∞,－2>∪<1,＋∞>D．<－1,2>[解析]根据定义得,x☆<x－2>＝x<x－2>＋2x＋<x－2>＝x2＋x－2<0,解得－2<x<1,所以所求的实数x的取值围为<－2,1>．[答案]B6．已知0<x<y<a<1,则有<>A．loga<xy><0B．0<loga<xy><1C．1<loga<xy><2D．loga<xy>>2[解析]0<x<y<a<1,即0<x<a,0<y<a,0<xy<a2.又0<a<1,f<x>＝logax是减函数,loga<xy>>logaa2＝2,即loga<xy>>2.[答案]D7．不等式2≤eq\f<1,2>的解集为<>A．<－∞,－3] B．<－3,1]C．[－3,1] D．[1,＋∞>∪<－∞,－3][解析]由已知得2≤2－1,所以x2＋2x－4≤－1,即x2＋2x－3≤0,解得－3≤x≤1.[答案]C8．x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋y－2≤0,,x－2y－2≤0,,2x－y＋2≥0.>>若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为<>A.eq\f<1,2>或－1 B．2或eq\f<1,2>C．2或1 D．2或－1[解析]如图,由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a>0时,要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,则a＝2；当a<0时,要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,则a＝－1.[答案]D9．已知正实数a,b满足4a＋b＝30,当eq\f<1,a>＋eq\f<1,b>取最小值时,实数对<a,b>是<>A．<5,10> B．<6,6>C．<10,5> D．<7,2>[解析]eq\f<1,a>＋eq\f<1,b>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,a>＋\f<1,b>>>·eq\f<1,30>·30＝eq\f<1,30>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,a>＋\f<1,b>>><4a＋b>＝eq\f<1,30>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<5＋\f<b,a>＋\f<4a,b>>>≥eq\f<1,30>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<5＋2\r<\f<b,a>·\f<4a,b>>>>＝eq\f<3,10>.当且仅当eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<b,a>＝\f<4a,b>,,4a＋b＝30,>>即eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a＝5,,b＝10>>时取等号．[答案]A10．在如图1所示的可行域<阴影部分且包括边界>,目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个,则a的一个可能值是<>图1A．－3B．3C．－1D．1[解析]若最优解有无数个,则y＝－eq\f<1,a>x＋eq\f<z,a>与其中一条边平行,而三边的斜率分别为eq\f<1,3>,－1,0,与－eq\f<1,a>对照可知a＝－3或1,又因z＝x＋ay取得最小值,则a＝－3.[答案]A11．某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站<>A．5km处 B．4km处C．3km处 D．2km处[解析]设车站到仓库距离为x,土地费用为y1,运输费用为y2,由题意得y1＝eq\f<k1,x>,y2＝k2x,∵x＝10时,y1＝2,y2＝8,∴k1＝20,k2＝eq\f<4,5>,∴费用之和为y＝y1＋y2＝eq\f<20,x>＋eq\f<4,5>x≥2eq\r<\f<20,x>×\f<4,5>x>＝8,当且仅当eq\f<20,x>＝eq\f<4x,5>,即x＝5时取等号．[答案]A12．设D是不等式组eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋2y≤10,,2x＋y≥3,,0≤x≤4,,y≥1>>表示的平面区域,则D中的点P<x,y>到直线x＋y＝10的距离的最大值是<>A.eq\r<2> B．2eq\r<2>C．3eq\r<2> D．4eq\r<2>[解析]画出可行域,由图知最优解为A<1,1>,故A到x＋y＝10的距离为d＝4eq\r<2>.[答案]D二、填空题<本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上>13．函数y＝2－x－eq\f<4,x><x>0>的值域为________．[解析]当x>0时,y＝2－eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<4,x>>>≤2－2eq\r<x×\f<4,x>>＝－2.当且仅当x＝eq\f<4,x>,即x＝2时取等号．[答案]<－∞,－2]14．规定记号"⊙"表示一种运算,定义a⊙b＝eq\r<ab>＋a＋b<a,b为正实数>,若1⊙k<3,则k的取值围为________．[解析]由题意得eq\r<k>＋1＋k<3,即<eq\r<k>＋2>·<eq\r<k>－1><0,且k>0,因此k的取值围是<0,1>．[答案]<0,1>15．若x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y－x≤1,,x＋y≤3,,y≥1,>>则z＝x＋3y的最大值为________．[解析]根据约束条件画出可行域如图所示,平移直线y＝－eq\f<1,3>x,当直线y＝－eq\f<1,3>x＋eq\f<z,3>过点A时,目标函数取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y－x＝1,,x＋y＝3,>>可得A<1,2>,代入可得z＝1＋3×2＝7.[答案]716．已知函数f<x>＝x2＋mx－1,若对于任意x∈[m,m＋1],都有f<x><0成立,则实数m的取值围是________．[解析]要满足f<x>＝x2＋mx－1<0对于任意x∈[m,m＋1]恒成立,只需eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<fm<0,,fm＋1<0,>>即eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2m2－1<0,,m＋12＋mm＋1－1<0,>>解得－eq\f<\r<2>,2><m<0.[答案]eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<\r<2>,2>,0>>三、解答题<本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤>17．<本小题满分10分>已知函数f<x>＝x2＋eq\f<2,x>,解不等式f<x>－f<x－1>>2x－1.[解]由题意可得x2＋eq\f<2,x>－<x－1>2－eq\f<2,x－1>>2x－1,化简得eq\f<2,xx－1><0,即x<x－1><0,解得0<x<1.所以原不等式的解集为{x|0<x<1}．18．<本小题满分12分>设x∈R,比较eq\f<1,1＋x>与1－x的大小．[解]作差：eq\f<1,1＋x>－<1－x>＝eq\f<x2,1＋x>,①当x＝0时,∵eq\f<x2,1＋x>＝0,∴eq\f<1,1＋x>＝1－x；②当1＋x<0,即x<－1时,∵eq\f<x2,1＋x><0,∴eq\f<1,1＋x><1－x；③当1＋x>0且x≠0,即－1<x<0或x>0时,∵eq\f<x2,1＋x>>0,∴eq\f<1,1＋x>>1－x.19．<本小题满分12分>已知x,y,z∈R＋,且x＋y＋z＝1,求证：eq\f<1,x>＋eq\f<4,y>＋eq\f<9,z>≥36.[证明]∵<x＋y＋z>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,x>＋\f<4,y>＋\f<9,z>>>＝14＋eq\f<y,x>＋eq\f<4x,y>＋eq\f<z,x>＋eq\f<9x,z>＋eq\f<4z,y>＋eq\f<9y,z>≥14＋4＋6＋12＝36,∴eq\f<1,x>＋eq\f<4,y>＋eq\f<9,z>≥36.当且仅当x2＝eq\f<1,4>y2＝eq\f<1,9>z2,即x＝eq\f<1,6>,y＝eq\f<1,3>,z＝eq\f<1,2>时,等号成立．20．<本小题满分12分>一个农民有田2亩,根据他的经验,若种水稻,则每亩每期产量为400千克；若种花生,则每亩每期产量为100千克,但水稻成本较高,每亩每期需240元,而花生只要80元,且花生每千克可卖5元,稻米每千克只卖3元,现在他只能凑足400元,问这位农民对两种作物各种多少亩,才能得到最大利润？[解]设水稻种x亩,花生种y亩,则由题意得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋y≤2,,240x＋80y≤400,,x≥0,,y≥0,>>即eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋y≤2,,3x＋y≤5,,x≥0,y≥0,>>画出可行域如图阴影部分所示．而利润P＝<3×400－240>x＋<5×100－80>y＝960x＋420y<目标函数>,可联立eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋y＝2,,3x＋y＝5,>>得交点B<1.5,0.5>．故当x＝1.5,y＝0.5时,P最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1650,即水稻种1.5亩,花生种0.5亩时所得到的利润最大．21．<本小题满分12分>已知函数f<x>＝eq\f<x2＋3,x－a><x≠a,a为非零常数>．<1>解不等式f<x><x；<2>设x>a时,f<x>有最小值为6,求a的值．[解]<1>f<x><x,即eq\f<x2＋3,x－a><x,整理得<ax＋3><x－a><0.当a>0时,eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<3,a>>><x－a><0,∴解集为eq\b\lc\{\rc\}<\a\vs4\al\co1<x\b\lc\|\rc\<\a\vs4\al\co1<－\f<3,a><x<a>>>>；当a<0时,eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<3,a>>><x－a>>0,解集为eq\b\lc\{\rc\}<\a\vs4\al\co1<x\b\lc\|\rc\<\a\vs4\al\co1<x>－\f<3,a>或x<a>>>>.<2>设t＝x－a,则x＝t＋a<t>0>,∴f<x>＝eq\f<t2＋2at＋a2＋3,t>＝t＋eq\f<a2＋3,t>＋2a≥2eq\r<t·\f<a2＋3,t>>＋2a＝2eq\r<a2＋3>＋2a.当且仅当t＝eq\f<a2＋3,t>,即t＝eq\r<a2＋3>时,等号成立,即f<x>有最小值2eq\r<a2＋3>＋2a.依题意有2eq\r<a2＋3>＋2a＝6,解得a＝1.22．<本小题满分12分>已知函数f<x>＝x2－2x－8,g<x>＝2x2－4x－16,<1>求不等式g<x><0的解集；<2>若对一切x>2,均有f<x>≥<m＋2>x－m－15成立,数m的取值围.[解]<1>g<x>＝2x2－4x－16<0,∴<2x＋4><x－4><0,∴－2<x<4,∴不等式g<x><0的解集为{x|－2<x<4}．<2>∵f<x>＝x2－2x－8.当x>2时,f<x>≥<m＋2>x－m－15恒成立,∴x2－2x－8≥<m＋2>x－m－15,即x2－4x＋7≥m<x－1>．∵对一切x>2,均有不等式eq\f<x2－4x＋7,x－1>≥m成立,而eq\f<x2－4x＋7,x－1>＝<x－1>＋eq\f<4,x－1>－2≥2eq\r<x－1×\f<4,x－1>>－2＝2<当且仅当x＝3时等号成立>,∴实数m的取值围是<－∞,2]．模块综合测评<一><时间120分钟,满分150分>一、选择题<本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的>1．若a<1,b>1,那么下列命题中正确的是<>A.eq\f<1,a>>eq\f<1,b> B.eq\f<b,a>>1C．a2<b2 D．ab<a＋b[解析]利用特值法,令a＝－2,b＝2.则eq\f<1,a><eq\f<1,b>,A错；eq\f<b,a><0,B错；a2＝b2,C错．[答案]D2．一个等差数列的第5项a5＝10,且a1＋a2＋a3＝3,则有<>A．a1＝－2,d＝3 B．a1＝2,d＝－3C．a1＝－3,d＝2 D．a1＝3,d＝－2[解析]∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3,∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10,d＝3,∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.[答案]A3．已知△ABC的三个角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1,那么对应的三边之比a∶b∶c等于<>A．3∶2∶1 B.eq\r<3>∶2∶1C.eq\r<3>∶eq\r<2>∶1 D．2∶eq\r<3>∶1[解析]∵A∶B∶C＝3∶2∶1,A＋B＋C＝180°,∴A＝90°,B＝60°,C＝30°,∴a∶b∶c＝sin90°∶sin60°∶sin30°＝1∶eq\f<\r<3>,2>∶eq\f<1,2>＝2∶eq\r<3>∶1.[答案]D4．在坐标平面上,不等式组eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y≥x－1,,y≤－3|x|＋1>>所表示的平面区域的面积为<>A.eq\r<2> B.eq\f<3,2>C.eq\f<3\r<2>,2> D．2[解析]由题意得,图中阴影部分面积即为所求．B,C两点横坐标分别为－1,eq\f<1,2>.∴S△ABC＝eq\f<1,2>×2×eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<\f<1,2>－－1>>＝eq\f<3,2>.[答案]B5．在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若A＝eq\f<π,3>,b＝1,△ABC的面积为eq\f<\r<3>,2>,则a的值为<>A．1 B．2C.eq\f<\r<3>,2> D.eq\r<3>[解析]根据S＝eq\f<1,2>bcsinA＝eq\f<\r<3>,2>,可得c＝2,由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝3,故a＝eq\r<3>.[答案]D6．等差数列的第二,三,六项顺次成等比数列,且该等差数列不是常数数列,则这个等比数列的公比为<>A．3 B．4C．5 D．6[解析]设等差数列的首项为a1,公差为d,则a2＝a1＋d,a3＝a1＋2d,a6＝a1＋5d,又∵a2·a6＝aeq\o\al<2,3>,∴<a1＋2d>2＝<a1＋d><a1＋5d>,∴d＝－2a1,∴q＝eq\f<a3,a2>＝3.[答案]A7．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<1,2>>>恒成立,则a的最小值为<>A．0 B．－2C．－eq\f<5,2> D．－3[解析]x2＋ax＋1≥0在x∈eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<1,2>>>上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a≥eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<1,x>>>>>max,∵x＋eq\f<1,x>≥eq\f<5,2>,∴－eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<1,x>>>≤－eq\f<5,2>,∴a≥－eq\f<5,2>.[答案]C8．已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则<>A．a1d>0,dS4>0 B．a1d<0,dS4<0C．a1d>0,dS4<0 D．a1d<0,dS4>0[解析]∵a3,a4,a8成等比数列,∴aeq\o\al<2,4>＝a3a8,∴<a1＋3d>2＝<a1＋2d><a1＋7d>,展开整理,得－3a1d＝5d2,即a1d＝－eq\f<5,3>d2.∵d≠0,∴a1d<0.∵Sn＝na1＋eq\f<nn－1,2>d,∴S4＝4a1＋6d,dS4＝4a1d＋6d2＝－eq\f<2,3>d2<0.[答案]B9．在数列{an}中,a1＝2,an＋1－2an＝0<n∈N*>,bn是an和an＋1的等差中项,设Sn为数列{bn}的前n项和,则S6＝<>A．189 B．186C．180 D．192[解析]由an＋1＝2an,知{an}为等比数列,∴an＝2n,∴2bn＝2n＋2n＋1,即bn＝3·2n－1,∴S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.[答案]A10．已知a,b,c∈R,a＋b＋c＝0,abc>0,T＝eq\f<1,a>＋eq\f<1,b>＋eq\f<1,c>,则<>A．T>0 B．T<0C．T＝0 D．T≥0[解析]法一：取特殊值,a＝2,b＝c＝－1,则T＝－eq\f<3,2><0,排除A,C,D,可知选B.法二：由a＋b＋c＝0,abc>0,知三数中一正两负,不妨设a>0,b<0,c<0,则T＝eq\f<1,a>＋eq\f<1,b>＋eq\f<1,c>＝eq\f<ab＋bc＋ca,abc>＝eq\f<ab＋cb＋a,abc>＝eq\f<ab－c2,abc>.∵ab<0,－c2<0,abc>0,故T<0,应选B.[答案]B11．△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B＝2A,a＝1,b＝eq\r<3>,则c＝<>A．2eq\r<3> B．2C.eq\r<2> D．1[解析]由正弦定理得：eq\f<a,sinA>＝eq\f<b,sinB>,∵B＝2A,a＝1,b＝eq\r<3>,∴eq\f<1,sinA>＝eq\f<\r<3>,2sinAcosA>.∵A为三角形的角,∴sinA≠0.∴cosA＝eq\f<\r<3>,2>.又0＜A＜π,∴A＝eq\f<π,6>,∴B＝2A＝eq\f<π,3>,∴C＝π－A－B＝eq\f<π,2>,∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝eq\r<12＋\r<3>2>＝2.[答案]B12．一个等比数列前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有<>A．13项 B．12项C．11项 D．10项[解析]设该数列的前三项分别为a1,a1q,a1q2,后三项分别为a1qn－3,a1qn－2,a1qn－1,所以前三项之积aeq\o\al<3,1>q3＝2,后三项之积aeq\o\al<3,1>q3n－6＝4,两式相乘,得aeq\o\al<6,1>q3<n－1>＝8,即aeq\o\al<2,1>qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64,所以aeq\o\al<n,1>·q＝64,即<aeq\o\al<2,1>qn－1>n＝642,即2n＝642,所以n＝12.[答案]B二、填空题<本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上>13．在△ABC中,BC＝2,B＝eq\f<π,3>,当△ABC的面积等于eq\f<\r<3>,2>时,sinC＝________.[解析]由三角形的面积公式,得S＝eq\f<1,2>AB·BCsineq\f<π,3>＝eq\f<\r<3>,2>,易求得AB＝1,由余弦定理,得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·coseq\f<π,3>,得AC＝eq\r<3>,再由三角形的面积公式,得S＝eq\f<1,2>AC·BCsinC＝eq\f<\r<3>,2>,即可得出sinC＝eq\f<1,2>.[答案]eq\f<1,2>14．若变量x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋y≤4,,x－y≤2,,3x－y≥0,>>则3x＋y的最大值是________．[解析]画出可行域,如图阴影部分所示,设z＝3x＋y,则y＝－3x＋z,平移直线y＝－3x知当直线y＝－3x＋z过点A时,z取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋y＝4,,x－y＝2,>>可得A<3,1>．故zmax＝3×3＋1＝10.[答案]1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元,不加附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税k元<叫做税率k%>,则每年的产销量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元,则k的取值围为________．[解析]设产销量为每年x万瓶,则销售收入每年70x万元,从中征收的税金为70x·k%万元,其中x＝100－10k.由题意,得70<100－10k>k%≥112,整理得k2－10k＋16≤0,解得2≤k≤8.[答案][2,8]16．观察下列等式：12＝1,12－22＝－3,12－22＋32＝6,12－22＋32－42＝－10,…照此规律,第n个等式可为12－22＋32－…＋<－1>n－1n2＝________.[解析]分n为奇数、偶数两种情况．第n个等式为12－22＋32－…＋<－1>n－1n2.当n为偶数时,分组求和：<12－22>＋<32－42>＋…＋[<n－1>2－n2]＝－<3＋7＋11＋15＋…＋2n－1>＝－eq\f<\f<n,2>×3＋2n－1,2>＝－eq\f<nn＋1,2>.当n为奇数时,第n个等式为<12－22>＋<32－42>＋…＋[<n－2>2－<n－1>2]＋n2＝－eq\f<nn－1,2>＋n2＝eq\f<nn＋1,2>.综上,第n个等式为12－22＋32－…＋<－1>n－1n2＝<－1>n＋1eq\f<nn＋1,2>.[答案]<－1>n＋1eq\f<nn＋1,2>三、解答题<本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤>17．<本小题满分10分>在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若m＝<a2＋c2－b2,－eq\r<3>a>,n＝<tanB,c>,且m⊥n,求B的值．[解]由m⊥n得<a2＋c2－b2>·tanB－eq\r<3>a·c＝0,即<a2＋c2－b2>tanB＝eq\r<3>ac,得a2＋c2－b2＝eq\f<\r<3>ac,tanB>,所以cosB＝eq\f<a2＋c2－b2,2ac>＝eq\f<\r<3>,2tanB>,即tanBcosB＝eq\f<\r<3>,2>,即sinB＝eq\f<\r<3>,2>,所以B＝eq\f<π,3>或B＝eq\f<2π,3>.18．<本小题满分12分>在等差数列{an}中,S9＝－36,S13＝－104,在等比数列{bn}中,b5＝a5,b7＝a7,求b6.[解]∵S9＝－36＝9a5,∴a5＝－4,∵S13＝－104＝13a7,∴a7＝－8,∴beq\o\al<2,6>＝b5·b7＝a5·a7＝32,∴b6＝±4eq\r<2>.19．<本小题满分12分>解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax<a∈R>.[解]原不等式可化为ax2＋<a－2>x－2≥0⇒<ax－2><x＋1>≥0.<1>当a＝0时,原不等式化为x＋1≤0⇒x≤－1；<2>当a>0时,原不等式化为eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x－\f<2,a>>><x＋1>≥0⇒x≥eq\f<2,a>或x≤－1；<3>当a<0时,原不等式化为eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x－\f<2,a>>><x＋1>≤0.①当eq\f<2,a>>－1,即a<－2时,原不等式等价于－1≤x≤eq\f<2,a>；②当eq\f<2,a>＝－1,即a＝－2时,原不等式等价于x＝－1；③当eq\f<2,a><－1,即－2<a<0时,原不等式等价于eq\f<2,a>≤x≤－1.综上所述：当a<－2时,原不等式的解集为eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－1,\f<2,a>>>；当a＝－2时,原不等式的解集为{－1}；当－2<a<0时,原不等式的解集为eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<2,a>,－1>>；当a＝0时,原不等式的解集为<－∞,－1]；当a>0时,原不等式的解集为<－∞,－1]∪eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<2,a>,＋∞>>.20．<本小题满分12分>设△ABC的角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知a＝1,b＝2,cosC＝eq\f<1,4>.<1>求△ABC的周长；<2>求cosA的值．[解]<1>∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×eq\f<1,4>＝4,∴c＝2,∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.<2>∵cosC＝eq\f<1,4>,∴sinC＝eq\r<1－cos2C>＝eq\r<1－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,4>>>2>＝eq\f<\r<15>,4>,∴sinA＝eq\f<asinC,c>＝eq\f<\f<\r<15>,4>,2>＝eq\f<\r<15>,8>∵a<c,∴A<C,故A为锐角,∴cosA＝eq\r<1－sin2A>＝eq\r<1－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<15>,8>>>2>＝eq\f<7,8>.21．<本小题满分12分>已知数列{an}满足a1＝5,a2＝5,an＋1＝an＋6an－1<n≥2>．<1>求证：{an＋1＋2an}是等比数列；<2>求数列{an}的通项公式．[解]<1>证明：∵an＋1＝an＋6an－1<n≥2>,∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3<an＋2an－1><n≥2>．又a1＝5,a2＝5,∴a2＋2a1＝15,∴an＋2an－1≠0<n≥2>,∴eq\f<an＋1＋2an,an＋2an－1>＝3<n≥2>,∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项,3为公比的等比数列．<2>由<1>得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n,则an＋1＝－2an＋5×3n,∴an＋1－3n＋1＝－2<an－3n>．又∵a1－3＝2,∴an－3n≠0,∴{an－3n}是以2为首项,－2为公比的等比数列,∴an－3n＝2×<－2>n－1,即an＝2×<－2>n－1＋3n<n∈N*>．22．<本小题满分12分>某厂用甲、乙两种原料生产A,B两种产品,制造1tA,1tB产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：原料每种产品所需原料<t>现有原料数<t>AB甲2114乙1318利润<万元/t>53—<1>在现有原料条件下,生产A,B两种产品各多少时,才能使利润最大？<2>每吨B产品的利润在什么围变化时,原最优解不变？当超出这个围时,最优解有何变化？[解]<1>设生产A,B两种产品分别为xt,yt,则利润z＝5x＋3y,x,y满足eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2x＋y≤14,,x＋3y≤18,,x≥0,,y≥0,>>作出可行域如图：当直线5x＋3y＝z过点Beq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<24,5>,\f<22,5>>>时,z取最大值37eq\f<1,5>,即生产A产品eq\f<24,5>t,B产品eq\f<22,5>t时,可得最大利润．<2>设每吨B产品利润为m万元,则目标函数是z＝5x＋my,直线斜率k＝－eq\f<5,m>,又kAB＝－2,kCB＝－eq\f<1,3>,要使最优解仍为B点,则－2≤－eq\f<5,m>≤－eq\f<1,3>,解得eq\f<5,2>≤m≤15,则B产品的利润在eq\f<5,2>万元/t与15万元/t之间时,原最优解仍为生产A产品eq\f<24,5>t,B产品eq\f<22,5>t,若B产品的利润超过15万元/t,则最优解为C<0,6>,即只生产B产品6t,若B产品利润低于eq\f<5,2>万元/t,则最优解为A<7,0>,即只生产A产品7t．模块综合测评<二><时间120分钟,满分150分>一、选择题<本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的>1．数列1,3,7,15,…的通项an可能是<>A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n－1[解析]取n＝1时,a1＝1,排除A、B,取n＝2时,a2＝3,排除D.[答案]C2．不等式x2－2x－5>2x的解集是<>A．{x|x≤－1或x≥5}B．{x|x<－1或x>5}C．{x|1<x<5}D．{x|－1≤x≤5}[解析]不等式化为x2－4x－5>0,所以<x－5><x＋1>>0,所以x<－1或x>5.[答案]B3．在正项等比数列{an}中,a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根,则a8·a10·a12等于<>A．16 B．32C．64 D．256[解析]∵{an}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝aeq\o\al<2,10><an>0>,∴a8·a10·a12＝aeq\o\al<3,10>＝64.[答案]C4．下列不等式一定成立的是<>A．lgeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x2＋\f<1,4>>>>lgx<x>0>B．sinx＋eq\f<1,sinx>≥2<x≠kπ,k∈Z>C．x2＋1≥2|x|<x∈R>D.eq\f<1,x2＋1>>1<x∈R>[解析]选项具体分析结论Algeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x2＋\f<1,4>>>≥lgeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2\r<x2·\f<1,4>>>>＝lgx,当且仅当x2＝eq\f<1,4>时,即x＝eq\f<1,2>不正确B当sinx<0时,不可能有sinx＋eq\f<1,sinx>≥2不正确C由基本不等式x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|正确D因为x2＋1≥1,所以eq\f<1,x2＋1>≤1不正确[答案]C5．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,ac＝3,且a＝3bsinA,则△ABC的面积等于<>A.eq\f