专题2.3全等三角形的性质与判定大题培优专练-2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】（解析版）

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.3全等三角形的性质与判定大题培优专练班级：_____________姓名：_____________得分：_____________一．解答题（共30小题）1．（2023•绥德县校级开学）如图，在△ABC中，AD为△ABC的高，点E为AC上一点，BE交AD于点F，BF＝AC，FD＝CD．求证：BD＝AD．【答案】证明见解析．【分析】由AD为△ABC的高，得∠BDF＝∠ADC＝90°，然后根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△BFD≌Rt△ACD即可得BD＝AD．【解答】证明：∵AD为△ABC的高，∴AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC＝90°，在Rt△BFD和Rt△ACD中，BF=ACDF=CD∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）．∴BD＝AD，【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．2．（2023•梁溪区一模）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAE＝∠FCD，根据SAS可得出△ABE≌△CDF；（2）求出∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝100°，可得出∠CFD＝∠AEB＝100°．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD，∵AF＝CE，∴AE＝CF，又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，∵△ABE≌△CDF，∴∠CFD＝∠AEB＝100°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2022秋•丛台区校级期末）如图，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，BE与CF交于点O，与AC交于点D．（1）求证：BE＝CF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BOF的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠BOF＝100°．【分析】（1）利用SAS可以证明△BAE≌△CAF，从而可以证明结论成立；（2）根据（1）中的全等和三角形内角和可以得到∠COD的度数，据此即可求解．【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠EAF，∴∠CAB+∠CAE＝∠EAF+∠CAE，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△BAE≌△CAF（SAS），∴BE＝CF；（2）解：∵△BAE≌△CAF，∴∠EBA＝∠FCA，即∠DBA＝∠OCD，∵∠BDA＝∠ODC，∴∠BAD＝∠COD，∵∠BAC＝80°，∴∠COD＝80°，∴∠BOF＝100°．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（2023•横山区校级开学）问题背景如图，在△ABC中，点D为边AC上一点，连接BD，延长BD至点E，使得BE＝AC，连接CE．问题提出（1）如图1，若AC＝BC，∠A＝80°，∠EBC＝44°，求∠ECD的度数；问题拓展（2）如图2，∠ECB的角平分线CF交BE于点F，若BD＝CD，∠A＝2∠DBC，在BC上取一点G，使CG＝CE，试判断∠DBC与∠GFB是否相等，并说明理由．【答案】（1）68°；（2）相等；理由见解析．【分析】（1）根据等边对等角可得∠A＝∠ABC＝80°，根据三角形内角和定理可得∠ACB＝20°，根据等边对等角可得BE＝AC，根据三角形内角和定理可得∠E＝∠BCE＝68°，即可求解；（2）根据角平分线的定义可得∠ECF＝∠FCB，根据全等三角形的判定和性质可得∠E＝∠FGC，∠A＝∠E，AB＝EC，推得∠A＝∠E＝∠FGC，结合题意可得∠FGC＝2∠DBC，根据三角形的外角性质可得∠FGC＝∠DBC+∠GFB，即可证明∠DBC＝∠GFB．【解答】（1）解：∵BC＝AC，∴∠ABC＝∠A＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝20°，∵AC＝BE，∵BC＝BE，∴∠E=∠BCE=180°-∠EBC∴∠ECD＝∠ECB﹣∠BCD＝68°﹣20°＝48°．（2）解：相等；理由如下：∵CF平分∠ECB，∴∠FCB＝∠ECF，∵CG＝CE，∠ECF＝∠FCB，CF＝CF，∴△ECF≌△GCF（SAS），∴∠E＝∠FGC，∵BD＝CD，BE＝AC，∴AD＝DE，∵AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴∠A＝∠E，AB＝EC，∴∠A＝∠E＝∠FGC，∵∠A＝2∠DBC，∴∠FGC＝2∠DBC，又∵∠FGC＝∠DBC+∠GFB，∴∠DBC＝∠GFB．【点评】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．5．（2023•惠山区校级模拟）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．【答案】（1）证明见解答；（2）DE＝3．【分析】（1）利用中点性质可得BD＝CD，由平行线性质可得∠DBE＝∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE＝∠CDF，即可证得结论；（2）由题意可得EF＝AE﹣AF＝6，再由全等三角形性质可得DE＝DF，即可求得答案．【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵BE∥CF，∴∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，∠DBE=∠DCFBD=CD∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵AE＝13，AF＝7，∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，∵△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∵DE+DF＝EF＝6，∴DE＝3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，难度较小，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．6．（2023春•宽甸县期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上，OA＝OD，AC∥FD，AD交BE于O．（1）求证：△ACO≌△DFO；（2）若BF＝CE．求证：AB∥DE．【答案】见试题解答内容【分析】（1）平行线的性质得出∠CAO＝∠FDO，进而利用AAS证明△ACO≌△DFO即可；（2）根据全等三角形的判定和性质得出△ABO与△DEO全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．【解答】证明：（1）∵AC∥FD，∴∠CAO＝∠FDO，在△ACO与△DFO中∠CAO=∠FDO∠AOC=∠DOF∴△ACO≌△DFO（AAS）；（2）∵△ACO≌△DFO，∴OF＝OC，∵BF＝CE，∴BO＝EO，在△ABO与△DEO中BO=EO∠AOB=∠DOE∴△ABO≌△DEO（SAS），∴∠B＝∠E，∴AB∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．7．（2023•裕华区开学）如图，已知△BAC和△DAE的顶点A重合，∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，连接BD、CE交于点M．（1）证明：∠ABD＝∠ACE；（2）若∠BAC＝70°，则∠BMC的大小为70°．【答案】（1）见解答；（2）70°．【分析】（1）利用SAS证得△ABD≌△ACE，则其对应角相等；（2）利用三角形内角和定理求得∠DAE＝38°，【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE；（2）解：．由（1）知，△ABD≌△ACE，则∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD．∴∠BAC＝∠DAE＝70°．设BD与AC交于点F，由（1）得∠ABD＝∠ACE，在△ABF和△CMF中，∠AFB＝∠CFM，∵∠ABD+∠AFB+∠BAC＝180°，∠ACE+∠MFC+∠BMC＝180°，∴∠BMC＝∠BAC＝70°．故答案为：70°．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，利用SAS证明△ABD≌△ACE是解题的关键．8．（2023•五华区校级开学）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）∠ACB＝60°，∠DFC＝75°，求∠EBC的度数．【答案】（1）见解析；（2）15°．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAC＝∠DCA，等量代换可得AE＝CF，再利用AAS证明即可；（2）根据全等三角形的性质得到∠AEB＝∠CFD＝75°，再利用外角的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵AF＝CE，∴AF+EF＝CE+EF，即AE＝CF．在△ABE和△CDF中，∠BAC=∠DCA∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF（AAS）．（2）解：∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD＝75°，∵∠ACB＝60°，∴∠EBC＝∠AEB﹣∠ACB＝15°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定方法是解决此题的关键．9．（2023春•凤翔县期末）如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨BD＝CD，AB＝AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．请你说明其中的理由．【答案】证明见解析．【分析】证△ABD≌△ACD（SSS），得∠BAD＝∠CAD，即可得出结论．【解答】证明：在△ABD和△ACD中，AB=ACBD=CD∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∴AP平分∠BAC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2022秋•碑林区校级期末）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；（2）根据三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中，∠A=∠D∠AEB=∠DEC∴△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴BE＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°．【点评】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．11．（2023•滨江区校级开学）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．求证：△CDE是直角三角形．【答案】证明见解答过程．【分析】根据∠1＝∠2，得DE＝CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得∠ADE＝∠BEC，从而得出∠BEC+∠AED＝90°，则△CDE是直角三角形．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE，∵∠A＝∠B＝90°，在Rt△ADE和Rt△BEC中，DE=ECAE=BC∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL），∴∠ADE＝∠BEC，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BEC+∠AED＝90°，∴∠DEC＝90°，∴△CDE是直角三角形．【点评】本题考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．12．（2023春•舞钢市期末）如图，池塘两端A、B的距离无法直接测量，请同学们设计测量A、B之间距离的方案．小明设计的方案如图①：他先在平地上选取一个可以直接到达A、B的点O，然后连接AO和BO，接着分别延长AO和BO并且使CO＝AO，DO＝BO，最后连接CD，测出CD的长即可．小红的方案如图②：先确定直线AB，过点B作AB的垂线BE，在BE上选取一个可以直接到达点A的点D，连接AD，在线段AB的延长线上找一点C，使DC＝DA，测BC的长即可．你认为以上两种方案可以吗？请说明理由．【答案】见解析．【分析】分别证明△ABO≌△CDO（SAS），Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），即可解决问题．【解答】解：以上两种方案可以，理由如下：甲同学方案：在△ABO和△CDO中，AO=CO∠AOB=∠COD∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；乙同学方案：在Rt△ABD和Rt△CBD中，DA=DCDB=DB∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴AB＝BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用，解决本题的关键是得到△ABO≌△CDO和Rt△ABD≌Rt△CBD．13．（2022秋•武汉期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，若DE＝8，BD＝2，求CE的长．【答案】6．【分析】先根据角的加减求出∠ECA＝∠BAD，再根据AAS证明△BAD≌△ACE，再求出AD的值即可．【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD与△ACE中，∠BDA=∠AEC∠BAD=∠ACE∴△BAD≌△ACE（{AAS}），∴CE＝AD，AE＝BD＝2，∵DE＝8，∴AD＝DE﹣AE＝8﹣2＝6，∴CE＝AD＝6．【点评】本题考查了角的加减和全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．14．（2023•汉阳区校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足为D，点E在AD上，BE平分∠ABD，点F在BD延长线上，BF＝CE，延长FE交BC于点H．（1）求证：∠CBE＝45°；（2）写出线段BH和EH的位置关系和数量关系，并证明．【答案】（1）证明过程见解答；（2）BH⊥EH，BH＝EH，证明过程见解答．【分析】（1）由AB＝AC，得∠ABC＝∠C，可证明∠ABC＝∠C=12∠DAB，而∠ABE＝∠DBE=12∠DBA，则∠CBE=12（∠DAB（2）延长BA到点G，使AG＝AE，连接EG，因为AB＝AC，所以BG＝CE＝BF，即可证明△EBG≌△EBF，得∠G＝∠F，可证明∠G=12∠DAB，则∠G＝∠F＝∠C，于是∠BHE＝∠C+∠HEC＝∠F+∠DEF＝90°，得BH⊥EH，由∠HEB＝∠HBE＝45°，得BH＝【解答】（1）证明：∵BD⊥AC于D，∴∠BDC＝∠FDC＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠C=12∠∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE=12∠∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE=12（∠DAB+∠DBA）＝45（2）解：BH⊥EH，BH＝EH，证明：延长BA到点G，使AG＝AE，连接EG，∵AB＝AC，∴AB+AG＝AC+AE，∴BG＝CE，∵BF＝CE，∴BG＝BF，在△EBG和△EBF中，BG=BF∠GBE=∠FBE∴△EBG≌△EBF（SAS），∴∠G＝∠F，∵∠G＝∠AEG，∴∠DAB＝∠G+∠AEG＝2∠G，∴∠G=12∠∴∠G＝∠C，∴∠F＝∠C，∵∠HEC＝∠DEF，∴∠BHE＝∠C+∠HEC＝∠F+∠DEF＝90°，∴BH⊥EH，∵∠HEB＝∠HBE＝45°，∴BH＝EH．【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．15．（2023春•横山区期末）【问题背景】直线l⊥BC于点B（即EB⊥BC），∠ACB＝90°，点D为BC的中点，一条光线从点A射向点D，反射后与直线l交于点E，∠ADC＝∠EDB．【问题再现】（1）如图1，试说明线段BE与线段AC的数量关系；【问题推广】（2）如图2，连接AB交DE于点F，连接FC交AD于点H，AC＝BC．试说明线段CF与线段AD的位置关系．【答案】（1）相等，理由见解析；（2）垂直，理由见解析【分析】（1）直接利用角边角证明△BDE≌△CDA，进而证明即可；（2）先证明△EBF≌△CBF（SAS），再证明∠BCF＝∠CAD，再根据直角三角形两锐角互余和三角形内角和定理进行证明即可．【解答】解：（1）相等，理由如下：∵EB⊥BC，∴∠EBD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠EBD＝∠ACB，∵点D为BC的中点，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠EDB，∴△BDE≌△CDA（ASA），∴BE＝AC；（2）垂直，理由如下：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，∠CAD+∠ADC＝90°，∵∠EBD＝90°，BE＝AC，∴∠EBF＝45°，BE＝BC，∴∠EBF＝∠ABC，又∵BF＝BF，∴△EBF≌△CBF（SAS），∴∠BED＝∠BCF，∵△BDE≌△CDA，∴∠BED＝∠CAD，∴∠BCF＝∠CAD，∴∠BCF+∠ADC＝90°，∴∠CHD＝90°，∴CF⊥AD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质定理，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．16．（2023春•榆林期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．（1）若∠BAC＝40°，求∠E的度数；（2）若F是DE上的一点，且AF＝AD，判断BD与EF的数量关系，并说明理由．【答案】（1）35°；（2）BD＝EF，见解析．【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等，已知顶角，可以求出底角，再根据角平分线的定义求出∠CBD=1（2）先证明AB＝AE，再得出∠ADF＝∠AFD，∠ADB＝∠AFE，根据AAS证明△ABD≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等得出结论．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BAC＝40°，∴∠ABC=1∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=1∵AE∥BC∴∠E＝∠CBD＝35°；（2）∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∵AE∥BC，∴∠AEF＝∠CBD，∴∠ABD＝∠AEF，∴AB＝AE，∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD，∵∠ADB＝180°﹣∠ADF，∠AFE＝180°﹣∠AFD，∴∠ADB＝∠AFE，在△ABD和△AEF中，∠ADB=∠AFE∠ABD=∠AEF∴△ABD≌△AEF（AAS），∴BD＝EF．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形全等，考核学生的推理能力，证明三角形全等是解题的关键．17．（2023春•子洲县校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P，且点P在线段CD上，∠CPB＝30°．（1）求∠PAD的度数；（2）试说明：PD＝PC．【答案】（1）30°；（2）详见解析．【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的定义，即可作答；（2）过点P作PE⊥AB于点E，再根据角平分线的性质定理即可证明．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°．∵∠CPB＝30°，∴∠PBC＝90°﹣∠CPB＝60°．∵PB平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠PBC＝120°．∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°．∵AP平分∠DAB，∴∠PAD=1（2）如图．过点P作PE⊥AB于点E．∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，∴PE＝PD．∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，∴PE＝PC，∴PD＝PC．【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质定理的等知识，掌握角平分线的性质定理，是解答本题的关键．18．（2023春•高新区校级期末）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？【答案】3厘米/秒或154厘米/【分析】由全等三角形的判定，分两种情况讨论，即可解决问题．【解答】解：设P运动的时间是t秒，∴PB＝3t（厘米）PC＝（8﹣3t）厘米，∵∠B＝∠C，当BP＝CQ，BE＝PC时，△BPE≌△CQP，∵BP＝CQ，P，Q运动的时间相等，∴Q的运动速度是3厘米/秒；当CQ＝BE，PB＝PC时，△BPE≌△CPQ，∵E是AB中点，∴CQ＝BE＝5厘米，∵3t＝8﹣3t，∴t=4∴5÷43=∴当点Q的运动速度为3厘米/秒或154厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是要分两种情况讨论．19．（2023春•佛山月考）已知，如图1，在△ABC中，AD为△ABC的中线，E为AD上一个动点（不与点A，D重合）．分别过点E和点C作AB与AD的平行线交于点F，连AF．（1）求证：AF＝BE；（2）如图2，延长BE交AC于点G，若BG⊥AC，且AD＝BG，请判断EG与AE的数量关系，并说明理由．​【答案】（1）见解析；（2）EG=12【分析】（1）过点D作DM∥AB交FC于点M，连接AM，证明△ABD≌△MDC（ASA），推出AB＝MD，再证明四边形EDMF和四边形ABEF是平行四边形，可得结论；（2）过点D作DN∥BG交AC于点N，根据平行线分线段的性质得CN＝GN，根据三角形中位线定理得DN=12BG，再根据直角三角形边角的关系得∠DAN＝【解答】（1）证明：如图1中，过点D作DM∥AB交FC于点M，连接AM，∵DM∥AB，∴∠MDC＝∠ABD，∵CF∥AD，∴∠MCD＝∠ADB，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∴△ABD≌△MDC（ASA），∴AB＝MD，∵AB∥EF，∴EF∥DM，∵DE∥FM，∴四边形EDMF是平行四边形，∴DM＝EF，∴AB＝EF，∴四边形ABEF是平行四边形，∴AF＝BE；（2）解：EG=12理由：如图2中，过点D作DN∥BG交AC于点N，∵BD＝CD，DN∥BG，∴CN＝GN，∴DN=12∵AD＝BG，∴DN=12∵BG⊥AC，DN∥BG，∴DN⊥AC，∴∠AND＝90°，∴∠DAN＝30°，∴EG=12【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题．20．（2023•金东区三模）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC上一点，AE＝AB，连结DE．（1）求证：△ABD≌△AED．（2）已知AB＝9，△CDE周长为15，求△ABC的周长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）33​．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，然后利用“边角边”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得DE＝BD，根据△CDE周长＝BC+CE＝15，进而可以得到△ABC的周长．【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△AED中，AB=AE∠BAD=∠CAD∴△ABD≌△AED（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△AED，∴DE＝BD，∴△CDE周长＝DE+CD+CE＝BD+CD+CE＝BC+CE＝15，∵AE＝AB＝9，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AE+CE+BC＝9+9+15＝33．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABD≌△AED．21．（2023春•渠县校级期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且∠B＝∠ADB，过点C作CM垂直于AD的延长线，垂足为M．（1）若∠DCM＝α，试用α表示∠BAD；（2）求证：AB+AC＝2AM．【答案】（1）∠BAD＝2α；（2）证明见解答．【分析】（1）由CM⊥AD，可得∠CMD＝90°，根据直角三角形性质即可得出答案；（2）如图，延长AM至E，使ME＝AM，则AE＝2AM，根据线段垂直平分线性质可得：CE＝AC，再由AD平分∠BAC，可得出∠E＝∠BAD，运用平行线判定定理可得CE∥AB，运用平行线性质可得∠ECD＝∠B，即可证得结论．【解答】（1）解：∵CM⊥AD，∴∠CMD＝90°，∴∠CDM＝90°﹣∠DCM＝90°﹣α，∴∠B＝∠ADB＝∠CDM＝90°﹣α，∴∠BAD＝180°﹣（∠B+∠ADB）＝2α；（2）证明：如图，延长AM至E，使ME＝AM，则AE＝2AM，∵ME＝AM，CM⊥AM，∴CE＝AC，∴∠E＝∠CAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠E＝∠BAD，∴CE∥AB，∴∠ECD＝∠B，∵∠B＝∠ADB＝∠EDC，∴∠ECD＝∠EDC，∴ED＝CE，∴ED＝AC，∵∠B＝∠ADB，∴AD＝AB，∵AE＝ED+AD，∴AE＝AC+AB，∴AB+AC＝2AM．【点评】本题考查了角平分线定义，平行线判定和性质，直角三角形性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形判定和性质等，解题关键是合理添加辅助线：延长AM至E，使ME＝AM．22．（2023春•漳州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，连接AE，BD交于点F，∠BAC＝∠BFE＝2∠AEB．（1）说明：∠EAC＝∠ABD；（2）若BD平分∠ABC，BE＝15，AF＝6，求△BEF的面积；（3）判断EF，BF，AF之间的数量关系，并加以说明．【答案】（1）见解析；（2）△BEF的面积为45；（3）2AF＝BF﹣EF；理由见解析．【分析】（1）根据∠BAE+∠EAC＝∠BAC，∠BAE+∠ABD＝∠BDC，∠BAC＝∠BFE，即可证明结论；（2）过点F作FG⊥BC于点G，求出∠ABE+∠AEB＝90°，得出∠BAE＝180°﹣90°＝90°，证明FA⊥AB，根据角平分线的性质得出FG＝AF＝6，根据三角形面积公式求出S△BEF（3）在BD上截取BH＝AE，连接AH，证明△ABH≌△CAE（SAS），得出∠AHB＝∠AEC，∠C＝∠BAH，证明∠HAF＝∠AHF，得出AF＝FH＝BF﹣BH＝BF﹣AE＝BF﹣AF﹣EF，即可证明结论．【解答】（1）证明：∵∠BAE+∠EAC＝∠BAC，∠BAE+∠ABD＝∠BDC，又∵∠BAC＝∠BFE，∴∠BAE+∠EAC＝∠BAE+∠ABD，∴∠EAC＝∠ABD；（2）解：过点F作FG⊥BC于点G，如图所示：∵AB＝AC，∴∠ABE＝∠C，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABE，∴∠AEB=1∴∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝180°﹣90°＝90°，∴FA⊥AB，∵BD平分∠ABC，FG⊥BC，∴FG＝AF＝6，∴S△BEF（3）解：2AF＝BF﹣EF；理由如下：在BD上截取BH＝AE，连接AH，如图所示：在△ABH和△CAE中，AB=AC∠ABH=∠CAE∴△ABH≌△CAE（SAS），∴∠AHB＝∠AEC，∠C＝∠BAH，∴∠AHF=∠AEB=1根据解析（2）可知，∠BAE＝90°，∴∠HAF＝90°﹣∠BAH＝90°﹣∠C，∴∠HAF＝∠AHF，∴AF＝FH＝BF﹣BH＝BF﹣AE＝BF﹣AF﹣EF，∴2AF＝BF﹣EF．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，角平分线性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明∠BAE＝90°，△ABH≌△CAE．23．（2023春•沈阳月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠BDC+2∠ADB＝180°，请写出线段BD，CD与AB之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】BD+CD＝AB，证明见解答．【分析】延长CD到点E，使ED＝BD，连接AE，由∠BDC+2∠ADB＝180°，得∠ADB＝90°-12∠BDC，所以∠ADE＝180°﹣（90°-12∠BDC）﹣∠BDC＝90°-12∠BDC，则∠ADE＝∠ADB，即可证明△ADE≌△ADB，得AE＝AB，∠E＝∠ABD＝60°，而AB＝AC，所以AE＝AC，则△ACE是等边三角形，所以CE＝AC＝AB，即可证明【解答】解：BD+CD＝AB，证明：延长CD到点E，使ED＝BD，连接AE，∵∠BDC+2∠ADB＝180°，∴∠ADB＝90°-12∠∴∠ADE＝180°﹣（90°-12∠BDC）﹣∠BDC＝90°-1∴∠ADE＝∠ADB，在△ADE和△ADB中，ED=BD∠ADE=∠ADB∴△ADE≌△ADB（SAS），∴AE＝AB，∠E＝∠ABD＝60°，∵AB＝AC，∴AE＝AC，∴△ACE是等边三角形，∴CE＝AC＝AB，∵CE＝ED+CD＝BD+CD，∴BD+CD＝AB．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．24．（2023春•渠县校级期末）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为E，试探究线段BE和CD之间的数量关系，并写出你的理由．（2）如图2，把条件改为：“在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC上，∠EDB=12∠C，BE⊥ED，DE与AB相交于F点，则线段BE和【答案】见试题解答内容【分析】（1）如图，作辅助线；证明△ADC≌△AFB，得到DC＝BF；证明EF＝BE，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；△HFD≌△HGB，得到DF＝BG；证明△EGD≌△EBD，得到BE＝GE，即可解决问题．【解答】解：CD＝2BE；理由如下：如图1，∵∠BAC＝90°，∠E＝90°，∴∠FED+∠FAD＝180°，∴∠ADE+∠F＝180°，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠F，在△ADC与△AFB中，∠DAC=∠FAB∠ADC=∠F∴△ADC≌△AFB（AAS），∴DC＝BF；在△EFC与△EBC中，∠FEC=∠BECEC=EC∴△EFC≌△EBC（ASA），∴EF＝BE，∴CD＝2BE．（2）DF＝2BE．理由如下：如图，作DG∥AC，交BE的延长线于点G；则∠BDG＝∠C；∵∠EDB=12∠∴DE平分∠BDG；∵DG∥AC，∴∠BHD＝∠A＝90°，而∠HBD＝45°，故∠HDB＝45°，∴BH＝DH；∵∠GEF+∠GHF＝180°，同理得∠HFD＝∠G；在△HFD与△HGB中，∠FHD=∠GHB∠HFD=∠G∴△HFD≌△HGB（AAS），∴DF＝BG；在△EGD与△EBD中，∠GED=∠BEDDE=DE∴△EGD≌△EBD（ASA），∴EG＝BE，∴DF＝2BE．【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．25．（2023春•荣成市期末）已知在△ABC中，AC＝BC，分别过A，B两点作互相平行的直线AM，BN，过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．（1）如图1，若AM⊥AB，求证：CD＝CE；（2）如图2，∠ABC＝∠DEB＝60°，判断线段AD，DC与BE之间的关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】（1）延长AC交BN于点F，证明△ADC≌△FEC（ASA），即可得出结论；（2）在EB上截取EH＝EC，连接CH，证明△DAC≌△HCB（AAS），得出AD＝CH，DC＝BH，即可得出结论．【解答】（1）证明：如图1，延长AC交BN于点F，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，又∵AB⊥AM，∴∠BAM＝90°，又∵AM∥BN，∴∠BAM+∠ABN＝180°，∴∠ABN＝90°，∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠ABC+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠AFB，∴BC＝CF，∴AC＝FC，又∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，在△ADC和△FEC中，∠DAC=∠EFCAC=FC∴△ADC≌△FEC（ASA），∴DC＝EC；（2）解：AD+DC＝BE；理由如下：如图2，在EB上截取EH＝EC，连接CH，∵AC＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵∠DEB＝60°，∴△CHE是等边三角形，∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，∴∠BHC＝120°，∵AM∥BN，∴∠ADC+∠BEC＝180°，∴∠ADC＝120°，∴∠DAC+∠DCA＝60°，又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，∴∠DCA+∠BCH＝60°，∴∠DAC＝∠BCH，在△DAC与△HCB中，∠DAC=∠HCB∠ADC=∠CHB∴△DAC≌△HCB（AAS），∴AD＝CH，DC＝BH，又∵CH＝CE＝HE，∴BE＝BH+HE＝DC+AD，即AD+DC＝BE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．26．（2022秋•大足区期末）如图1，△ABC中，AD为△ABC的中线，点E在AD上，且∠CED＝∠BAD．（1）求证：AB＝CE．（2）如图2，连接BE，若BC＝AC＝2DE，∠ABE＝14°，求∠DAC的度数．【答案】（1）证明见详解；（2）28°．【分析】（1）如图1，延长AD到F，使DF＝AD，连接CF，由“SAS”可证△ADB≌△FDC，可得CF＝BA，∠F＝∠BAD，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得∠DEB＝∠DBE，可得∠DAB＝∠DEB﹣14°，∠CAB＝∠ABC＝∠DEB+14°，即可求解．【解答】（1）证明：如图1，延长AD到F，使DF＝AD，连接CF，∵AD为△ABC的中线，∴CD＝BD，在△ADB与△FDC中，CD=BD∠ADB=∠FDC∴△ADB≌△FDC（SAS），∴CF＝BA，∠F＝∠BAD，∵∠CED＝∠BAD，∴∠CED＝∠F，∴CE＝CF，∴CE＝BA；（2）解：∵2DE＝BC，AD为△ABC的中线，∴DE＝BD＝DC，∴∠DEB＝∠DBE，∴∠ABC＝∠DBE+∠ABE＝∠DEB+14°，∵∠DEB＝∠DAB+∠ABE，∴∠DAB＝∠DEB﹣14°，∵AC＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝∠DEB+14°∴CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝28°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，外角的性质，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．27．（2022秋•忠县期末）如图，已知△BAC和△DAE的顶点A重合∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，连接BD、CE交于点M．（1）证明：∠ABD＝∠ACE；（2）若∠ADE＝71°，求∠BMC的大小．【答案】（1）证明过程见解答；（2）38°．【分析】（1）利用SAS证得△ABD≌△ACE，则其对应角相等；（2）利用三角形内角和定理求得∠DAE＝38°，【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE；（2）解：∵AD＝AE，∠ADE＝71°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝38°．由（1）知，△ABD≌△ACE，则∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD．∴∠BAC＝∠DAE＝38°．设BD与AC交于点F，由（1）得∠ABD＝∠ACE，在△ABF和△CMF中，∠AFB＝∠CFM，∵∠ABD+∠AFB+∠BAC＝180°，∠ACE+∠MFC+∠BMC＝180°，∴∠BMC＝∠BAC＝38°．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，利用SAS证明△ABD≌△ACE是解题的关键．28．（2023春•本溪期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE．连接DE，DE与BC边所在的直线交于点F．（1）当点D在线段BA上时，如图所示，求证：DF＝EF．（2）过点D作DH⊥BC交直线BC于点H．若BC＝4，CF＝1，求BH的长是多少？【答案】（1）证明见解析过程（2）1或3．【分析】（1）过点D作DG∥AC，交BC于点G，利用平行线的性质和等边对等角证明∠DGB＝∠B，得到BD＝GD，进而推出GD＝CE，再证明△DGF≌△ECF，即可证明DF＝EF；（2）分当点D在线段AB上时，过点E作EO⊥BC，交BC延长线于O，当点D在BA的延长线上时，过点E作EO⊥BC交BC的延长线于点O，先证明△DHB≌△EOC，得到BH＝CO，进而求出HO＝4，再证明△DHF≌△EOF，得到HF＝OF＝2，再根据线段之间的关系求出BH的长即可．【解答】（1）证明：过点D作DG∥AC，交BC于点G．∴∠DGB＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DGB＝∠B，∴BD＝GD，∵BD＝CE，∴GD＝CE，∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，在△DGF和△ECF中∠GDF=∠CEFGD=CE∴△DGF≌△ECF（ASA），∴DF＝EF；（2）解：如图所示，当点D在线段AB上时，过点E作EO⊥BC，交BC延长线于O，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠OCE，又∵∠DHB＝∠EOC＝90°，BD＝CE，∴△DHB≌△EOC（AAS），∴BH＝CO，∴HO＝HC+CO＝HC+HB＝BC＝4，∵∠DHF＝∠EOF＝90°，∠DFH＝∠EFO，DF＝EF（由第一小问已经证明），∴△DHF≌△EOF（AAS），∴HF=OF=1∵CF＝1，∴BH＝CO＝O