二次函数几何方面的应用2021

一、选择题

10.（2021•资阳）已知A、B两点的坐标分别为（3,-4）、（0,-2）,线段4B上有一动点M（m,〃），过点M

作x轴的平行线交抛物线y=a（x-1）2+2于P（xi，力）、Q（短，”）两点.若©WJQ,则a的取值范围

为（）

A.-4W〃V—2B.2C.-2<〃<0D.-2<^zV0

c【解析】如图，由题意，抛物线的开口向下，4Vo.

当抛物线y=a（X-1）2+2经过点A（3,-4）时，-4=4a+2,：.a=-|,

观察图象可知，当抛物线与线段AB没有交点或经过点A时，满足条件，.♦•-|sa<0.

10.（2021・广东）设。为坐标原点，点4,8为抛物线y=7上的两个动点，且OALOB.连接点A,B,过。作

OCLAB于点C,则点C到y轴距离的最大值（）

1V2V3

A.—B.—C.—D.1

222

A解析：如图，分别作AE,BF垂直于x轴于点E、F,设OE=a,OF=b,由抛物线解析式为y=f,则4E=/,

BF=序,作于”，交），轴于点G,连接AB交），轴于点。，设点。（3m）,,：DG〃BH,：.AADG〜AABH,

DGAG„m-a2a,,一八一

二一=—,即一;~~7=——.化简得：m=ab.；NA08=90°,AZAOE+ZBOF=90°,又N4OE+NE4O

BHAHb2-a2a+b

AEEOQ2Q

=90°,；.NBOF=NEAO,又NAEO=NBFO=90°,；.△AEO〜△0F8.二一=一,即一=和，化简得

OFBFbb2

ab=\.则,”="=1,说明直线AB过定点O,。点坐标为（0,1）.•••NOCO=90°,。。=1,...点C是在以。。

为直径的圆上运动，当点C到），轴距离等于此圆半径1时，点C到y轴距离的最大，因此本题选A.

二、填空题

15.（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3,4）,例是抛物线y=o?+bx+2（存0）对称

轴上的一个动点.小明经探究发现：当T的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的

个数也随之确定，若抛物线>=以2+云+2（#0）的对称轴上存在3个不同的点M,使△AOM为直角三角形,

贝上的值是

a

2或-8【解析】VA40M是直角三角形，

.•・一定存在两个以4O为直角顶点的直角三角形，且点M在对称轴上的直角三角形，

.•・当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴》=-餐相切时，对称轴上存在1个以M为直角顶点的直角三角形,

此时对称轴上存在3个不同的点使aAOM为直角三角形（如图所示）.

观察图象可知，一?=一1或4,.d=2或-8,故答案为：2或-8.

2aa

14.（2021.长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2,4）在抛物线>=/上，过点A作）,轴的垂线，交抛物

线于另一点3,点C、。在线段AB上，分别过点C、。作x轴的垂线交抛物线于E、F两点.当四边形CDFE

为正方形时，线段C£>的长为.

275-2

｛解析｝由点A(2,4)在抛物线丫=一上，易求。=1,则y=/,可设A("?,"),B(-m,n),n=m2,E(x,

y),F(-XJy),y—x^9EF—CD—DF—CE—2x,

C(x,y+2x),D(—x,y+2x)fCDEF为正方形建立等量关系即可求解.

20.（2021•包头20题）已知抛物线y=/-2x-3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C,

点。（4,y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+OE的值最小时，^ACE的面积为.

21.（答案｝4

【解析】如图，：点A、8关于对称轴对称，，E4=E8,...BE+£>E=AE+O£,...当A、E、D在同一条直线上时，

AE+DE最小,即BE+OE最小.在y=7-2x-3中，当x=0时，y=-3；当x=4时，y=5；当y=0时，，0=7-2r-3,

解得xi=-l,X2=3,：.C（0,-3）,D（4,5）,A（-1,0）,B（3,0）.设直线AO的函数关系式为（原0）,

fo：=-k+b,

把A(-1,0),D(4,5)代入得《解得〃=1,b=l,.•.直线AO的函数关系式为y=x+l.(-1,

\5=4k+h,

0),B(3,0),点E的横坐标为1.在y=x+l中，当x=l时，y=2,(1,2),即当E坐标为(1,2)时，

BE+DE最小.设直线49与y轴交于点F.在y=x+l中，当x=0时，y=l,：.F(0,1),：.CF=4.：.SACE=

11…+

Sm+ScFE^~x4xl+-x4xl=4,故填:4.

18.(2021•北部经济区)如图,已知点A(3,0),B(l,0),两点C(—3,9),D(2,4)在抛物线y=/上，向左或

向右平移抛物线后，C,D的对应点分别为C',D'.当四边形ABC'O的周长最小时.，抛物线的解析式为

｛答案｝y=(x—m25)2【解析】将抛物线向右平移m个单位，则C'(a—3,9),D(a+2,4),平移后的抛物线的解

析式为y=(x—»02.在四边形ABCD中，AB和S的长度都是定值，要想四边形ABC'。'的周长最短，只需

4)'+3C’最短即可，此时将点。关于x轴对称得点M,则4M=AZ7,过点8作且用V=AM,当且

仅当点N、B、C'三点共线时，+最短.过点3作直线EFLx轴交直线CC'、分别于点E、F,则FN

C'EBE4-m925

=m-1,EC'=^~m,BE=9,BF=4,由ABFNsABEC',得——=—,即-----=一，解得，*=一，经

NFBFm-\413

检验m=曾25是原方程的根，从而平移后的抛物线的函数关系式为y=(x-y215)2.故答案为y=(x—25

三、解答题

26.(2021.包头26题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-7+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点4,

点"(m,n)是抛物线上一动点.

(1)如图1,当，〃>0,〃>0,且"=3〃?时，

①求点M的坐标；

②若点B(弓，丫)在该抛物线上，连接OM,BM,C是线段上一动点(点C与点M,B不重合)，过点C

作C£>〃MO,交x轴于点。，线段。。与是否相等？请说明理由；

7

(2)如图2,该抛物线的对称轴交x轴于点K,点E(x,§)在对称轴上，当机>2,n>0,且直线EM交x轴

18

的负半轴于点尸时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N,G为y轴上一点，点G的坐标为(0,y),连

接若EF+NF=2MF,求证:射线尸E平分/4FG.

解：(1)①・・“=3m：.M(m,3m).

2

二•点M是抛物线y=-7+4x上一动点，3m=-m+4mf解得m=1或0.

V/n>0,・・.加=1,：.M(1,3).

三E一口4,15」15,15151515

②MC=OO,理由是:在、=・y9+4元中，当工=工时，y=-(—)2+4x—=—,：.B(—,77).

44416416

15153=k+b,3

设直线M3的函数关系式为)=京+〃(原0),把M(1,3),3(二，77)代入得<1515解得左=・：，力

416—=—x+b,4

1164

=?，,直线MB的函数关系式为5=--

315315

如图，设直线M2交x轴于点P.在)，=-：x+丁中，当y=0时，0--X+—,解得x=5,二。(5,0),二0尸=

4444

5.过点M作轴于点儿

VM(1,3),MH=3.:.HP=OP-OH=5八=4.

在RtM/ZP中，由勾股定理得J"”？+HP?=J32+，=5.：.MP=OP.

MCOD

'：CD//OM,,"：MP=OP,：.MC=OD.

MPOP

4

(2)证明:如图，；y=-/+4x,.•.抛物线的对称轴为直线X=-T1；=2.

2x(-1)

77

:点EG,§)在对称轴上，(2,-).在y=-f+4x中，当y=0时，0=-7+4x,解得x=0或4,...A(4,

0).轴，.•.点N的横坐标为4

2+4

■:EF+NF=2MF,：.MF-ME+MF+MN=2MF,：.ME=MN,即点M是EN的中点，，点M的横坐标为一三一=3.在

y=-f+4x中，当x=3时，y=-32+4x3=3,.,.M(3,3).

73=34+b、,

设直线EM的函数关系式为)，=心工+加(木却)，将y轴于点Q,把M(3,3)、E(2,3)代入得7解

3匕=2尤+4，

22

得k=§，"=匕，直线“加的函数关系式为

2233

在y=-x+\中，当x=0时，y=1；当y=0时，0=-x+1,解得x=--,二。(0,1),F(--,0).，。。=1,

3

OF=­.

2

/18181813

VG(0,y),：.OG=—fAQG=OG-OQ=y-1=y.

在RtOFG中，由勾股定理得FG=4OF-+OG-=J(|)?+(守=M过点。作QTAG于点T.

111391133““

VS=-FGQT=~QGOF,：.-x—xQT=-x-x-,解得QT=1,.•.QT=OQ.

rce匕乙乙<1j乙

又,：QTLFG,OQ_Lx轴，.,.点。在NOFG的平分线上，即FQ平分NOFG,

二射线fE平分/A尸G.

24.(2021•荆门)如图，抛物线丫=62+以+<：交x轴于A(—1,0),8(3,0)两点，交y轴于C(0-3),点。为线

段BC上的动点.

⑴求抛物线的解析式；

⑵求\QO\+\QA\的最小值：

(3)过点。作PQ〃AC交抛物线的第四象限部分于点P,连接叫，PB,记△以。与△PBQ的面积分别为多,S2,

设S=S+S2,求点P坐标，使得S最大，并求此最大值.

解：(1)..•抛物线经过A,B两点，二设解析式为y=a(x+l)(x-3).将C(0,—3)代入求得“=1....解析式为y

=(x+l)(x—3),即了=?—

(2)如图1,；O8=OC=3,...△O8C是等腰直角三角形.，点0(0,0)关于BC的对称点。的坐标为(3,-3).设

直线AO交BC于点Q',则当点。与点Q重合时，\QO\+\QA\的值最小，最小值=\Q'O\+\Q'A\=\

Q'O'\+\Q'A\=\AO'\=J(3+l>+(-3尸=5.

--------X-----------------------►--------X-------------------->

(3)如图2,过点P作尸轴于点E,交BC于点、D.

VB(3,0),C(0,一3),.•.直线8C的解析式为y=x-3.

设点P的横坐标为加，则PE=-(W2—2〃I—3),DE=-(m-3),

PD=PE~DE——(/n2—2w—3)+(w—3)=~m2+3ni.

-：PQ//AC,S尸SAPCQ.

S=SI+S2=SAPCQ+S2=SAPBC

=[PD.08=:(一〃户+3附=一。(加一提)2+§.

ZLZZo

当加时，s最大，最大值=%.

Zo

当时，y=(1)2-2x|-3=-^.

...点P的坐标为(=,一与)，S的最大值为年.

Z4o

23.(2021•龙东)如图，抛物线？=0+公+3(厚0)与x轴交于点A(l,0)和点8(—3,0),与y轴交于点C,连

接BC,与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点D

(1)求抛物线的解析式；

⑵求ABOC的面积.

0=a+b+3,a=-1,

解：⑴把点A(l,0)和点8(—3,0)代入尸6+法+3,得＜“解得人、

0=9a-38+3.[b=-2.

所以抛物线的解析式y=-/—2Y+3.

(2)由题意得8(—3,0),C(0,3),：.OB=OC=3,

119

(3).•.△8OC的面积=-08•OC=-X3X3=-.

222

26.(2021•柳州26题)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y=ax2+6x+c交x轴于A(-1,0),B(3,

3

0)两点，与y轴交于点C(0,

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)如图1,点£＞为第四象限抛物线上一点，连接。£＞,过点8作BE,OC,垂足为E,若BE=2OE,

求点D的坐标；

(3)如图2,点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM,交BC于点、N,连接记的面积为

q

Si，△4BN的面程为S2，求一L的最大值.

S,

解：(I)...抛物线y=4u2+6x+c交x轴于A(-1,0),H(3,0)两点，

二山题意可令抛物线的函数解析式为y=a(x+l)(x-3).

331

又：抛物线与y轴交于点C(0,.'.-y=0(0+1)(0-3).:^=~-

113

，所求抛物线的函数解析式为y=5(x+l)(x—3),即y=万/—x——.

(2)如答图1,过点E作M_LO8于点片令BE=2OE=2m,由勾股定理，得加?十(2⑼2=32,

3-*6亚

解得山=之叵，于是OE=2叵，BE=还,由三角形的面积桥法可得EF=W----^—=~,

55535

从而0尸=,(苧)2—g)2=],从而E(|,-1).易求直线0E的解析式y=一

y=_2x(x=\{x=-3

由《123，解得《।一否，12一(不合题意，舍去)，-2).

XX

[y^2~~2[X=-2[y2=6

(3)如答图2,过点4作4FJ_0B交直线BC于点凡过点M作MOJ_08于点3交直线8c于点E.

33113

设直线8c的解析式为——,则3人一——0,k=—»从而BC：y——x——,

当x=-l时，y=-2,于是F(—1,-2),故AF=2.

设M(，"，—m2~m---),则E(»z,--m—~).

2222

；.EM=­m————)=——————)2H—.

222222228

139

——<0,二当zn=一时，EMM>；(«=—.

228

9

MNEMS3口…MNEM«9

'：FA//ME,：./A\EMNs丛AFAN,：.——=---,二一1■的最大值=——=——=*=一

ANAFS?ANAF216

23.（2021•山西23题）综合与探究

如图，抛物线y=；/+2x-6与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与），轴交于点C,连接AC,BC.

（1）求A、B,C三点的坐标并直接写出直线AC,BC的函数表达式.

（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作8c的平行线/,交线段AC于点。.

①试探究：在直线/上是否存在点£使得以点。C,B,E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的

坐标，若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线/交于点M,与直线AC交于点N.当5ADMN=SAAOC时，请直接写出DM的长.

解：(1)当y=。时，!.?+2%-6=0,解得xi=-6,X2=2,

.••A(-6,0),B(2,0),当x=0时，y=-6,

AC(0,-6),

YA(-6,0),C(0,-6),.•.直线4c的函数表达式为y=-x-6,

,:B(2,0),C(0,-6),.•.直线BC的函数表达式为y=3x-6；

(2)①存在：设点。的坐标为(in,--6),其中-6＜胆＜0,

•：B(2.0),C(0,-6),

BD2=("7-2)~+(m+6)2,BC2=22+62=40,DC2=nr+(-/??-6+6)2=2m1,

'：DE//BC,...当DE=8C时，以点。，C,B,E为顶点的四边形为平行四边形，

分两种情况：

如图，当8c时，四边形8DEC为菱形,

：.BD2=BC2,(m-2)2+("7+6)2=40,

解得：mi=-4,加2=0(舍去)，

.••点。的坐标为(-4,-2)....点E的坐标为(-6,-8)；

如图，当CD=CB时，四边形C8E。为菱形,

：.CD2=CB2,.-.2W2=40,解得：加1=-2遥，布2=2遍（舍去），

二点。的坐标为(-2的，2V5-6),

二点E的坐标为(2-2V5,2V5)；

综上，存在点E,使得以点。，C,B,E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为(-6,-8)或(2-2V5,

2V5)；

②设点。的坐标为(，"，-w-6),其中-6<〃?<0,

VA(-6,0),B(2,0),...抛物线的对称轴为直线x=-2,

•直线8c的函数表达式为j=3x-6,直线/〃8C,

设直线BC的解析式为y=3k+b,

：点。的坐标｛m,-m-6),'.b=-4m-6,

：.M(-2,-4m-12),

•抛物线的对称轴与与直线AC交于点N.(-2,-4),

MN=-4m-12+4=-4/7?-8,

S&DMN=SAAOC、-8)(-2-/n)=x6x6,

2乙

整理得：/+4,”5=0,解得：加=-5,加2=1(舍去),

..•点。的坐标为(-5,-1),...点M的坐标为(-2,8),

：.DM=J(-2+5产+(8+1尸=3710,

答：DM的长为3g.

25.(2021•广东)已知二次函数丫:一+历什。的图象过点(-1,0),且对任意实数x,都有4x-

2x-8x+6.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若(1)中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C；点M是(1)中二次函数图象上的

动点.问在x轴上是否存在点N,使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出所有满

足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)不妨令4x-12=2岸-8x+6,解得：X\=X2=3,

当尤=3时，4x-12=2?-8x+6=0.

.,.y=ajr+bx+c(3>0),

Xy=ax1+hx+cJS(-1,0).

•,•仁”：=°n.解得『=一翁

19Q+3b+c=0lc=-3a

，了二以2-lax-3〃，

又•「ar2-lax-3〃24/-12,

Aar2-lax-3a-4r+1220,

整理得a?-2ax-4x+12-3〃N0,，心。且△<（）,

・•・（267+4）2-4a（12-3。）<0，/.（〃一I）2<0,

.•・a=l,b=-2,c=-3.

・・・该二次函数解析式为y=？-2x-3.

（2）令y=/-2x-3中y=0,得x=3,则A点坐标为（3,0）；

令x=0,得y=-3,则点C坐标为（0,-3）.

设点M坐标为（〃?，m2-2m-3）,N（/?,0）,

根据平行四边对角线性质以及中点坐标公式可得：

①当AC为对角线时,

即已+?=巾2+\=n，解得：如=0（舍去），皿=2,

10-3=加一2m—3+0

An=l,即M（1,0）.

②当AM为对角线时,庄::，

1%十y”一y。十y/v

即｛注62=1+nQ二八，解得：㈣=。（舍去），小=2,

10+-2m-3=-3+0

An=5,B|JN2（5,0）.

③当AN为对角线时，｛”？：：《北

即m：一2o-s,解得：，“1=1+。W2=I—/7.

；.“=77-2或-2-V7,

:.N3（V7-2,0）,N4（-2-V7,0）.

综上所述，N点坐标为（1,0）或（5,0）或（位一2,0）或（-2-近，0）.

28.（2021•宿迁）如图，抛物线）=—1r2+fev+c与x轴交于A（-1,0）,B（4,0）,与y轴交于点C.连接AC,

BC,点P在抛物线上运动.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图①，若点尸在第四象限，点。在用的延长线上，当NCAQ=/CBA+45°时，求点尸的坐标；

（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交8c于点F,过点P作x轴的垂线交BC于点”，当APFH为

等腰三角形时，求线段PH的长.

【解答】解：⑴:4(-1,0),8(4,0)是抛物线y=-#+bx+c,与x轴的两个交点，且二次项系数

11Q

根据抛物线的两点式知，y=-2(%+1)(%—4)=—+之无+2.

(2)根据抛物线表达式可求C(0,2),即OC=2.

OCOB

••_•___—___―_4o，

OAOC

VZAOC=ZCOB=90Q,

・•・△AOC〜/XCOB,

J/ACO=NCBO,

：.ZQAB=ZQAC+ZCAO=ZCBA+45°+ZCAO=ZACO+ZCAO+450=135°,

：.ZBAP=\S00-ZQAB=45°,

设尸(m,〃)，且过点尸作尸OLr轴于。，则△%£＞「是等腰直角三角形，

：.AD=PDf即m+1=-〃，

又TP在抛物线上，

]

/.n=—(——3m—4),

联立两式，解得m=6(-1舍去)，此时n=-7,

.,•点尸的坐标是(6,-7).

1Q

(3)设PH与x轴的交点为Q,P(a,+|a+2),

11

则H(a,-加+2),PH=-^a2+2a,

若FP=FH,则NFPH=NFHP=NBHQ=NBCO,

1

tanZAPQ=tanZBCO=分

：.AQ=2PQ,

ia

即〃+l=2(—2Q2+]Q+2),

解得。=3（~1舍去）,此时PH=方.

若PF=PH,过点尸作轴于点M.

工NPFH=/PHF,

♦：NCFA=NPFH,/QHB=/PHF,

:・/C磁=NQHB,

又・・・N4CF=N3QH=90。,

Z\AC/〜△8。"

：.CF=^AC=^,

1

在RtZ\CMF中，M产=1,CM=p

3

F（1,-）,

2

33

/.AF：y=4%+［，

联立抛物线解析式，解得后税（-1舍去），此时祟

若HF=HP,过点C作C£〃A8交AP于点E

VZCAF+ZCM=90°,

NB4Q+N”尸产=90°,

ZCFA=/HFP=/HPF,

：.ZCAF=ZPAQ9

即AP平分NCA8,

：.CE=CA=V5,

：.E（V5,2）,

..底―I,店―I

•»ArE：y=—2—x4----g—，

联立抛物线解析式，解得x=5-b（-I舍去）.

此时PH=3V5-5.

:.当FP=FH时,PH=*；

1C

当PF=PH时,PH=恃;

当HF=4P时，PH=3V5-5.

24.（2021•怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且OA=2,OB=4,OC=8,抛

物线的对称轴与直线BC交于点与x轴交于点N.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点

P的坐标，若不存在，请说明理由;

（3）。为CO的中点，一个动点G从。点出发，先到达x轴上的点E,再走到抛物线对称轴上的点F,最后

返回到点C要使动点G走过的路程最短，请找出点E、尸的位置，写出坐标，并求出最短路程.

（4）点。是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上,是否存在以点Q为直角顶点的等腰RtACQR?

若存在，求出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

解：（1）由题意得，点A,B,C的坐标分别为（-2,0）、（4,0)、(0,8),

(4a—2b+c=0(a=-1

设抛物线的表达式为y^ax2+bx+c,则16a+4b+c=0，解得b=2

r=8(c=8

故抛物线的表达式为y=-/+2V+8.

（2）存在，理由：

则以P、C、M为顶点的三角形与相似时，则P'C〃x轴，则点P'的坐标为（1,8）；

当/PCM为直角时,

o21

在RtZ\08C中，设NCBO=a,贝ijtan/C80=潴=]=2=tana,则sina=忑，cosa=专,

在Rt/\NMB中，NB=4-1=3,则BM=磔•=375,

同理可得，MN=6,

由点B,C的坐标得，BC=V82+42=4V5,则CM=BC=MB=V5,

在RtZ\PCM中，NCPM=Z.OBC=a,则PM="=卓=?,

店

c1717

则PN=MN+PM=6+2=¥，故点P的坐标为(1,—),

222

17

故点P的坐标为(1,8)或(1,一).

2

(3)为CO的中点，则点0(0,4),

作点C关于函数对称轴的对称点C'(2,8),作点。关于x轴的对称点。(0,-4),

连接C'D1交x轴于点E,交函数的对称轴于点尸，则点E、尸为所求点，

理由：G走过的路程=£)E+EF+FC=。'E+EF+FC=CD'为最短,

由点C'、D'的坐标得，直线C'D'的表达式为y=6x-4,

9

对于y=6x-4,当y=6x-4=0时，解得x=g,当x=l时，y=2,

2

故点E、尸的坐标分别为.，0)、(1,2)；

G走过的最短路程为C'D'=J(2—0)2+(8+4(=2懵;

(4)存在，理由：

①当点。在)，轴的右侧时，

设点。的坐标为(x,-/+2x+8),

故点。作y轴的平行线交x轴于点N,交过点C与x轴的平行线于点M,

y

1

图3

:NMQC+NRQN=90°,NRQN+NQRN=90°,:./MQC=NQRE,

VZANQ=ZQMC=90°,QR=QC,

：.AANQ^/\QMC（AAS）,

：.QN=CM,即x=-/+2x+8,解得）=唱至（不合题意的值已舍去），

故点Q的坐标为（11岁，11岁）；

②当点。在y轴的左侧时，

3—，41V41—3

同理可得，点。的坐标为（一^一，-y—）,

-,3-V41V41-331+V33

综上，点。的坐标为（一^―，上了一）或（一一，—1+yV3—3）.

28.（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=匕6:#0）和二次函数y=+儿；+3的

图象都经过点A（4,3）和点B,过点A作OA的垂线交x轴于点C.D是线段AB上一点（点D与点A、0、B

不重合），E是射线AC上一点，且AE=OD,连接DE,过点D作x轴的垂线交抛物线于点E以DE、DF边邻

边作口DEGF.

（1）填空：k=___,h=____；

（2）设点D的横坐标是f（r>0）,连接EF,若NFGE=NDFE,求f的值:

（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P,若S^FP=1S平行四边形DEGF，

求OD的长.

ATT

7?

图1

3

｛答案｝解：（1）k=~,b=l；

（2）如图，由题可得/FGE=/DFE=/FDE,则DE=EF；设直线DF、GE分别交x轴于点M、N,作EHJ_DF

31,1,3

于点H,则FH=DH,即DF=2DH；由题得D(f,-t)F(t>---厂+f+3),则DF=--1~+/+3--t—

4444

--t12+-t+3；又易得0A=5,AC=-OA=—,AE=OD=-Z,则CE=AC-AE=—--1,EN=-C£=3-t,

44444445

c3c7v121c工7)A”,启15+V177

DH=MH-DM=EN-DM=3—t一一t=3一一t,故一一t2+-Z+3=23一一tJ，解得/,=---

4444I4

身二叵，因为。＜「＜4,所以"身二®;

22

12DP2

（3）①情形一：当点D在线段0A上时，如图3,由题可得、9松=-S平行四边形=-SMFE，则----=一；又易得

33DE3

,DPDK2

PK//AE,故——=----

DEDA3

3DF

3552DF25

如图4,作ATJ_DF于点T,易得DK=—DF,DA=—AT,则(W——=-即--=——

545AT3AT18

4

图3图4

1,11,1,

由(2)可知DF=一一r+-t+3,AT=4-1,故18(一一厂+-t+3)=25(4-/),即9广一597+92=0,即

4444

23,5115

（，一4）（9f—23）=0,解得4=4（舍去），t2—,故此时OD=—t=--

9436

p235DF25

②当点D在线段OB上时，如图，同上作相关辅助线，同理可得=----=—，DK——DF>DA=-AT,则——

DEDA354AT18

1J1>123

又DF=--广H—，+3,AT=4-1，故18（---厂H—Z+3）=25（4-，），同」二解得Z.=4（舍去），=—（舍去）,

4444,29

故此种情形不存在。

27.（2021.无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=-x+3与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次

函数yu4V+Zx+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A,点M为线段08上的一个动点，过点M作

直线I平行于y轴交BC于点F,交二次函数y=o?+2r+c的图象于点E.

（I）求二次函数的表达式；

（2）当以C、E、尸为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；

（3）已知点N是y轴上的点，若点N、/关于直线EC对称，求点N的坐标.

（图1）

(1)・・•直线y=-x+3,：.B(3,0),C(0,3),

19。+6+c=0

代入抛物线y=4/+2x+a得1—3，

[a——\

解得z,

[c=3

・・・二次函数的表达式为尸・/+2x+3；

(2)令产0,则-/+21+3=0,解得加=JX2=3,

・・・A(-1,0),：.AB=4,BC=3近；

VOB=OC,：.ZOBC=45°t

*：FMA_OB,：.ZCFE=ZMFB=45°t

：.ZCFE=ZABC；

设E(m,-m2+2w4-3),

2

F(TH,-〃?+3),/.