广东省深圳市2023届高三二模数学试题（解析版）

2023年深圳市高三年级第二次调研考试

数学试卷

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知集合，={2。},8={2,3},则GUB(AC5)=()

A.{0}B.{2}C.{3}D.{0,3}

【答案】D

【解析】

【分析】计算AcB和AuB，再求补集.

【详解】因为A={2,0},8={2,3},所以AcB={2},AuB={0,2,3},

所以5)={0,3}.

故选：D

3"%<1

2.已知函数/(x)=「一,则"/(2))=()

log3X,X>1

A.2B.-2C.1D-i

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的分段点代入求值.

【详解】/(2)=log32,因为Iog32<log33=l,所以/(/(2))=3嘀2=2.

故选：A.

3.设等差数列{4}的前〃项和为S“，若Eo=2O,S2o=lO,则邑。=()

A.OB.-10C.-30D.-40

【答案】C

【解析】

【分析】由等差数列{4}的前〃项和的性质可得：S1°,S20-Si0,S30-S20也成等差数列，即可得出.

【详解】由等差数列{4}的前〃项和的性质可得：，0，S20-S10,830-820也成等差数列，

Ze%—So)=do+区。—S20)，

.-.2x(10-20)=20+S30-10,解得S30=-30.

故选：C.

4.设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为匕、匕和匕，则()

A.V,〈匕＜匕B.%＜匕＜匕C.匕＜匕＜匕D.匕〈匕〈匕

【答案】B

【解析】

【分析】设正方体棱长为。，正四面体棱长为。，球的半径为R,面积为S.表示出3个几何体的表面

积，得出a,b,R,进而求出体积的平方，比较体积的平方大小，然后得出答案.

【详解】设正方体棱长为“，正四面体棱长为匕，球的半径为R,面积为S.

正方体表面积为5=6",所以"=

6

所以,年=3)2=(%3=亲；

如图，正四面体P-A3C,。为AC的中点，。为uABC的中心，则尸。是P-A3C底面ABC上的

高.

则AC,AD^b,所以3」=心=鸟,

22

所以S^-xACxBD=-xbx—b=—b2,

ABC2224

所以，正四面体P-A3C的表面积为S=4S.c=G从，所以/=#S.

又。为的中心，所以BO=2BO=且从

33

又根据正四面体的性质，可知POL8O,

所以PO=yJPB2-BO2=—b，

3

、2

kg*4'1乐3；

所以，吟=

-3xS/A»HoCCxPO

7343J7272

q

球的表面积为S=4病，所以心叁

、2

所以，匕2=(4成3

7

因为春‘山＞就萨=备＞

所以，匕2＞彳＞吟,

所以，

故选：B.

5.已知，。46中，0C=c4，0D=2DB，AO与BC相交于点M，OM=xOA+yOB,则有序数对

(x,y)=()

11、11、

A.B.D.

2,3452

y145a7

【答案】D

【解析】

［分析］根据平面向量共线定理得到AM=AAD，CM=juCB,利用OA、OB分别表示出OM，再根

据平面向量基本定理得到方程组，解得2、〃，再代入计算可得.

【详解】依题意A、M＞。三点共线，故=

所以OM=QA+AM=OA+XAD=OA+4OD—OA

OA+A^OB-OA^=

又C、M、8三点共线，故CM=ptCB,

则OM=OC+CM=OC+〃C8=OC+〃(OB-OC)

=(1—〃)OC+〃O8=^^OA+〃O8,

D=1T

2

所以》，解得

户行

11.

所以0河=5。3+104,又OM=xOA+yOB,所以

所以有序数对(x,y)=

故选：D

6.从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为

45

C

9-D.9-

【解析】

【分析】先列基本事件，再列满足条件的基本事件，最后根据古典概型求解.

【详解】从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数可得基本事件为

(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),10种情况，

若这三个数之积为偶数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),

9种情况,

它们之和大于8共有（1,4,5）,（2,3,4）,（2,3,5）,（2,4,5）,（3,4,5）,5种情况,

从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为

P=~.

9

故选:D.

22

7.设椭圆C：5+%的左、右焦点分别为％F2,直线/过点耳.若点尸2关于/的对称

--10

点户恰好在椭圆。上，且6P•耳巴=耳。2,则。的离心率为（）

12

A.-BC?D.-

3-I5

【答案】C

【解析】

1

【分析】根据己知结合椭圆的定义可推得忸耳|=2c,|尸鸟|=%一2c.然后根据6P-a92可推

2f

得4c2cos6=1a2最后根据余弦定理，即可得到关于的齐次方程，即可得出离心率.

2

【详解】

设NP大6=6,

由已知可得，|P耳|=|耳闾=2c,

根据椭圆的定义有|「昭=2"-归用=2。-2'.

又

所以4c285。=!"

2

在耳心中，由余弦定理可得，

I叫2=|叫2+忻段2_2|阿M6|cos6,

即（2。-2c）2=8c?-8C2COS=8C2-a2,

整理可得4c2+Sac-5a2=0，

等式两边同时除以"可得，4/+8e—5=0，

解得，e=,或6=一。（舍去），

22

所以e=L

2

故选：C.

8.己知£>0,I,且e»'siny=e，siar,则下列关系式恒成立的为（）

A.cosx<cosyB.cosx>cos^C.sinx<sinyD.sinx>siny

【答案】A

【解析】

【分析】构造/（x）=hwin*，x।e7il兀L、求导研究其单调性，分类讨论得到正确选项.

【详解】构造〃力=手

cosx-sia¥

则/'（力=

7171cosx-sinx

当时，cosx>sinx,/'(x)=>0,

454

所以〃x）=学在（-5小单调递增,

因为0<e',0<e>',

当F7=-R>°，e'>l时，贝ij°<smx<smy,所以—?>0,所以—>x>y>°

ee,ee-4

y=cosx,单调递增，所以cow<cosy；

„sinxsiny八„」..„,sinrsiny,nn

当~V7=-L<。，e£>1时$111%<5111丁<0,所以「一<—L<0,所以一一<x<><0,

ee'ee>4

y=cosx,xe[-；,0)单调递减，所以co&xvcosy.

故选：A

【点睛】关键点点睛，构造函数，本题中构造/（力=丁进行求解，利用函数单调性比较函数值的大

小，.

二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：

工12345

V0.50.811.21.5

假设经验回归方程为»=晟+0.28,则（）

A.另=0.24

B.当尤=8时，y的预测值为2.2

C.样本数据），的40%分位数为0.8

D.去掉样本点（3,1）后，x与y的样本相关系数，•不变

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A选项：根据回归直线必过点（H）解得上;对于B选项：结合经验回归方程的性质即可求

解；对于C选项：结合百分位数的定义即可求解；对于D选项：根据相关系数的性质即可判断；

【详解】对于A选项：线性回归方程亍=晟+0.28必过点伍亍），%=3-5=1，解得8=0.24,所以

选项A正确；

对于B选项：当x=8时，5=0.24X+0.28可以的出y的预测值为2.2,所以B选项正确；

对于C选项：从小到大排列共有5个数据，则i=5x40%=2是整数，则第40百分位数为从小到大排列

的第3个数据，

即第40百分位数为3,所以C选项错误；

力kT（y"）

对于D选项：因为相关系数为r=/,

但"法（XT

5组样本数据的相关系数为:

(-2)x(-0.5)+(-l)x(-0.2)+0x0+1x0.2+2x0.5

，4+1+0+1+4>J(O.5)2+(OS)+0?+(0a)+(o.5『

去掉样本中心点（3,1）后相关系数为

所以相关系数「不变，所以D选项正确；

故选：ABD.

10.已知f（x）是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数y=sin（5+Q）

（。>0,0<0<兀）图象的一部分（如图所示），则（）

A./（X）的定义域为［-兀,可

7T

B.当》=—时，/*）取得最大值

6

2兀71

C.当x<0时，/*）的单调递增区间为一T，一w

-3o

D.当尤<0时，/（x）有且只有两个零点-二和-----

1212

【答案】BCD

【解析】

【分析】先利用待定系数法求出。，公，再根据原点右侧的第二个零点为=+工，即可判断A；求出

3416；

的值即可判断B；求出当x>0时的减区间，结合函数为偶函数即可判断C；求出当x>0时的零点，结合函

数为偶函数即可判断D.

【详解】由图得/(O)=sing=g,且位于增区间上,

IT7T

所以9=—+2E,攵sZ,又因为0<。<兀，所以9=—,

—6,+-=—+2^,A：eZo=2+3Z,ZeZ

362zs

0'得〈八

2兀。8兀0<(y<—9

co91

所以/(x)=sin[2x+《J(xN0),

由图可知，原点右侧的第二个零点为生+工=0+乙=",

343412

11兀I1K

所以/(X)的定义域为-=,二,故A错误；

当xe0,言时，/(x)=sin(2x+£j,

因为/[?]=sinE=l为最大值，则当x=?时，Ax)取得最大值，故B正确；

\6J26

ITjrSTETTTT27r

当x>0时，令一+2%兀<2x+—K2——h2E,则一+EW2x+—<--卜kn,keZ,

262663

岂「八11兀

又因为XE0,--,

jr2冗

所以当x>0时，/(x)的减区间为,

因为函数"X)为偶函数，

2兀71

所以当XV。时，f(x)的单调递增区间为一丁，一工，故c正确；

JO

1IJFJTjrITT)

当XE0,---时，2x+—£—,2兀,令/(无)=sin2x+—=0,

_12」6|_6」<6J

/口c兀_—lt5兀1ITT

得2xH—二兀或2兀，则x=—或---，

61212

因为函数/（X）为偶函数，

所以当x<0时，f（x）有且只有两个零点-1|和-詈，故D正确.

故选：BCD.

11.如图，在矩形AER7中，AE=2C,EF=4,B为EF中点，现分别沿AB、BC'^^ABE.ABCF翻

折，使点瓜尸重合，记为点P,翻折后得到三棱锥P/BC,则（）

A.三棱锥尸-ABC的体积为逑B.直线朋与直线BC所成角的余弦值为史

36

C,直线雨与平面PBC所成角的正弦值为，D.三棱锥尸-ABC外接球的半径为叵

32

【答案】BD

【解析】

【分析】证明5P_L平面PAC，再根据LABC=LPAC即可判断A；先利用余弦定理求出ssNAPC,将

8c用PC,表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点A到平面PBC的距离d,再根据

直线也与平面PBC所成角的正弦值为2-即可判断C；利用正弦定理求出AB4c的外接圆的半径，再利

PA

用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.

【详解】由题意可得5P_LAP,8P，CP,

又APcCP=P,AP,CP=P,AP,CPu平面抬。,

所以BP，平面PAC，

PA=PC=2BAC边上的高为^^厨7^2=2加，

在中,

所以VpAG。=VB二4x'x4x2A/^x2=,故A错误;

r-/iov15-AViC-323

12+12-161

对于B,在gAC中，网/”。=荻/丽=5,

BC=J12+4=4

PA-^PC-PB）

cos（PA,BC）=,PA',BC.-PA-PC-PA-PB

\/PABC273x486

2房2岛；山

8G-6

所以直线而与直线BC所成角的余弦值为故B正确；

6

对于C,SPBC=；PBPC=2瓜

设点A到平面PBC的距离为d,

由%-PAC=匕-PBC'W—X2A/3J~»解得d=，

333

476

所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为_d_=232=迪,故C错误；

无一而一亍

由B选项知，cosZAPC=-,则sin/APC=2^,

33

1AC3

所以AB4c的外接圆的半径r=%•-=K，

2sinZAPCV2

设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,

又因为成，平面PAC，

则7?2=户+（，依］=2+1=1，所以R=叵，

即三棱锥P-ABC外接球的半径为叵，故D正确.

2

故选：BD.

12.设抛物线C：y=/的焦点为凡过抛物线C上不同的两点A,8分别作C的切线，两条切线的交点

为P,48的中点为。，则（）

A.尸Q，X轴B.PFLABC./PFA=/PFBD.\AF\+\BF\^2\PF\

【答案】AC

【解析】

【分析】设切线求交点根据两根之和判断A选项；特殊值法判断B,C选项；根据定义数形结合判断D选

项.

【详解】对于A选项：设4（和凹）,8（々,%），「（%，%），。［土产，上产］

y^x2,y'=2x,

过点A切线：＞一），］=2X］（x-xJ①，

过点B切线为：y-y2=2%2（%-尤2）②，

①一②得加一%=2%x-2X2X,

化简可得不~—右=2x（%］一9），

玉+x2

%=2

PQLx轴,A选项正确.

设4（0,0）,8（1,1）/（0,；）,

过A点的切线为y=0,过8点的切线为y—1=2（%-1）,交点为尸（g,。］,

A3的中点为,所以=—：，%"=L^PF^AB/一1，PF不垂直AB,B选项错误；

网+阳=„+同芥|,2阳=2⑶+百呼,所以

|AF|+忸F*21,D选项错误；

作抛物线准线的垂线A4',85',连接A'P,B'P,PF,AF,BF,

则kFA'~~~^PA

X|P

显然既*kpA=T，，所以FA!VPA,

又因为由抛物线定义，得|A4[=|A耳，故知24是线段FA'的中垂线，得至U|BT|=|P耳则

ZPAA=ZPFA

同理可证：|~叫=|P月,ZPB'B=NPFB，

所以|Q4[=|=|P月，即/PAB=NPBAL

所以ZPAA=NRV8'+90?=ZPB'A+^PB'B,即ZPFA=ZPFB.

故选:AC.

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知复数z满足z2+z+l=0,贝I」z5=_____________.

【答案】1

【解析】

【分析】解方程z2+z+l=0可得复数Z,利用共轨复数的定义结合复数的乘法可得结果.

（]、233,即（z+D=--=（+—i],

【说解】因为>2+7+1=7.+-+-=（

12）4、214r2J

所以，z=一1一^^4或2=---+>

2222

若z=—4-立i，则1=一』+立i，则z；='iV3.Yi31i3

22)2244

2222tJ\7

若z=—‘+3i，则』=一4一立i,则zi=(1V3J13_

2222(22人22J44

综上所述，z•Z=1・

故答案为：1.

14.若XN（9,22）,则尸（7<X<13）=_________(精确到0.01).

参考数据：若X~N（4，〃），贝=0.683,P(|X-〃<2o■卜0.955.

【答案】0.82

【解析】

【分析】根据正态分布的均值和标准差计算概率.

【详解】因为XN(9,22),根据参考数据，

P(7<X<13)=尸(〃-b<X<〃+2b)=gx(0.683+0.955)®0.82.

故答案为：0.82.

15.已知函数/(x)的定义域为R,若/(x+l)-2为奇函数，且/(I—x)=〃3+x),则〃2023)=

【答案】2

【解析】

【分析】推导出函数/(x)为周期函数，确定该函数的周期，计算出/(I)的值，结合/(1)+/(3)=4以

及周期性可求得/(2023)的值.

[详解】因为/(x+l)-2为奇函数，则/(_x+l)_2=_[/(x+l)_2],

所以，/(l+x)+/(l—x)=4,

在等式〃l+x)+/(l—x)=4中，令》=(),可得2/⑴=4,解得〃1)=2,

又因为/(l—x)=/(3+x),则/(l+x)+/(3+x)=4,①

所以，/(x+3)+/(x+5)=4,②

由①②可得/(x+5)=/(x+l),即/(x+4)=/(x),

所以，函数/(x)为周期函数，且该函数的周期为4，

所以，/(2023)=/(4x505+3)=/(3)=4-/(l)=2.

故答案为：2.

16.足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的8底线宽=72码，球门宽EE=8码，球

门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点尸，使得NEPP最大，

这时候点P就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点。处(Q4=AB,时，根据场

上形势判断，有。4、08两条进攻线路可供选择.若选择线路。4,则甲带球码时，APO到达

最佳射门位置；若选择线路。8,则甲带球码时，到达最佳射门位置.

72

则3(—36,0)、0(36,72)、F(Y,0)、E(4,0),k

OB36+36―

直线的方程为y=尤+36,设点P（x,x+36）,其中一36<x436,

x+36,x+36

tanZAFP-k-=，tan/AEP=k=

PFx+4PwFx—4

tanZAEP-tanZAFP

所以，tan/EPFtan(ZAEP-ZAFP)=

1+tan/AEPtan/AFP

x+36尤+368(x+36)

%—4%+4=元2-16=______8

1।x+36x+36-(x+36)2/x"—16

(x+36)+--------

x—4x+4+叶一一'7x+36

令m=X+36E(0,72],则工=加一36，

2

GRN”X-16(777—36)2—16c1280”F1280”

月『以，X+36H---------=m+----------------=2mH----------72>2.2m----------72

x+36mm\m

=32屈-Tl,

1230

当且仅当2m=——时，即当机=8而，即当x=8ji6—36时，等号成立，

m

/厂门厂8,81

一一tanZ.EPF=--------r---------<=------=—=——

所以,2m+1282一72-32V10-724V10-9-

m

当且仅当x=8丽-36时，等号成立，

此时，|0尸|=及•卜6-(8亚-36)|=7272-1675,

所以，若选择线路OB，则甲带球720-16石码时，到达最佳射门位置.

故答案为：72-16石；7272-1675.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把

构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不

是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知a/,c分别为_A6C三个内角A,B,C的对边，且sin（A-3）=2sinC.

（1）证明:/=Z?2+2c2;

2兀_.

（2）若4=5，a=3,BC=3BM，求AM的长度.

【答案】（D证明见解析

（2）AM^l

【解析】

【分析】（1）先利用三角形的内角和定理结合两角和差的正弦公式化简，再利用正弦定理和余弦定理化角

为边，整理即可得证；

（2）在一ABC中，由（1）结合余弦定理求出再在ABM中，利用余弦定理即可得解.

【小问1详解】

由sin（A—3）=2sinC=2sin（A+3）,

得sinAcosB-cosAsin8=2sinAcosB+2cosAsinB,

则sinAcosB+3cosAsin3=（）,

由正弦定理和余弦定理得a-巴汇——+3b-勺/——=0,

lac2bc

化简得a2=62+2c2；

【小问2详解】

在_A8c中，a2=b2+c2+be=9>

又因为"=〃+2。2,所以〃+2c2=o2+c2+bc=9，所以。=c=JL

所以8=C=C，

6

由BC=3BM，得6M=]=1,

18.飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的

新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样,

得到如下列联表：

飞盘运动

性别合计

不爱好爱好

男61622

女42428

合计104050

(I)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取

3人访谈，记参与访谈的男性人数为X,求X的分布列和数学期望;

(2)依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数

据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联

性，结论还一样吗？请解释其中的原因.

,n(ad—bc\

附:力-=7-------~77——--------------7，其中〃=a+h+C+d.

(a+〃)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.010.001

2.7066.63510.828

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)分别写出对相应概率列分布列求数学期望即可；

(2)先求力2再根据数表对应判断相关性即可，对比两次力2的值可以得出结论说明原因.

【小问1详解】

样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性16人，女性24人，比例为4:6，

按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，则抽取男性4人，女性6人.

随机变量X的取值为：0』,2,3.

p（x=o）-0-i

C3一6,

c'c2

P（X=1）=

3

Jco=5

C2cl3

P（X=2）=,

3To

Jco

6=1

P（X=3）

C：。30,

随机变量X的分布列为

X0123

\_31

p

621030

随机变量X的数学期望E（X）=0d+lxJ+2x&+3x]='

OZ1UJUJ

【小问2详解】

零假设为40:爱好飞盘运动与性别无关联.

根据列联表重的数据，经计算得到*2=50x（6x24-4x16）2引299<6.635.5,

10x40x22x28001

根据小概率值a=0.01的独立性检验，没有充分证据推断“。不成立，因此可以认为"o成立，即认为爱

好飞盘运动与性别无关联.

列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后,

500x（60x240-40x160）2

2«12.99>6.635=%刈,

z100x400x220x280

根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断“°成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联.

所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断

结论发生了变化.

2兀

19.在三棱柱A3C-A4G中，AB=BC=2,Z.ABC=.LA^B.

(1)证明:AA=A。；

(2)若AA=2,BC1=A，求平面ACg与平面BCC4夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵-

7

【解析】

【分析1(1)先由线面垂直得出AC_LQ4,又因为。是AC的中点，可以得出结论;

(2)建系应用空间向量法求面面角的余弦值即可.

【小问1详解】

设AC的中点为。，连接。4，。民

因为=所以ACJ_OB,又因为AC//AG，且

所以ACJ.A8,因为AB,OBu平面。84，且ASOB=B,

所以AC_L平面。84,因。4/平面。84，

所以AC又因为。是AC的中点，

所以AA=AC.

【小问2详解】

在_ABC中，由余弦定理求得AC=26,则AG=AC=2A/3,

因为所以4G2+4乃2=8。；，解得45=血，

在RtAQ4,和RtZXABC中，可知4。=。3=1，.

在△。研中，042+032=432,因此4。，08.

由(1)知，AC±0At,且AC,03u平面ABC,且ACOB=O,

所以平面ABC.

以。氏OCQ4,所在直线分别为x轴，)，轴，z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A（0,0,1）,fi（l,0,0）,C（0,V3,0）M（0,->/3,0）.

所以AE=而=。,6,0）,后=（0,若,T）,品=（一1,3,0）,

朋=84=仅,瓜1）,

设平面AgC的法向量为m=（%1,y1,z1）,

m-A.B.=0

则，

m-A｝C=0

<玉+6yl=o

gx-Z1=0

令X]=V^,得加=1,—.

设平面Beeg的法向量为〃=（々，为，22），

n-BB,=0

—x9+>/3y9=0

即1r

>/3y2+z2=0

令々=6,得〃=（6,1,-6），

mn5

设平面AC与与平面BCC内夹角为仇则cos。=

m\\n7

所以平面4c4与平面BCC4夹角的余弦值为，.

20.已知数列｛4｝满足，q=3,4am=9X22'T,〃eN*.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)证明:数列｛q｝中的任意三项均不能构成等差数列.

【答案】(1)〃"=3X2"T

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由为"向=9x221得如=4,分奇偶项分别求通项，最后写出通项公式；

%

(2)假设数列｛凡｝中存在三项数列其中加＜k＜p)成等差数列，应用反证法得出矛盾证明

即可.

【小问1详解】

由g=9x22"T,得4+4+2=9x22"”

ao

以上两式相比，得」工=4,

4

由4a2=9x2：4=3得。2=6,

2n2

所以，数列｛々-J是首项为3,公比4为的等比数列，a2n_,=3x2-,

2

数列｛%,｝是首项为6,公比为4的等比数列，a2„=6x2"-',

综上，数列｛6,｝的通项公式为a„=3x2"-'.

【小问2详解】

假设数列｛%｝中存在三项数列。„,，4，4,(其中加＜左＜〃)成等差数列，贝I2ak=am+ap.

由(1)得2X3X2«T=3x2"i+3x2。"，即2"=2"i+201两边同时除以2"i，得2"川,=1+20-'"

(*)

・・.(*)式左边为奇数，右边为偶数

.•.(*)等式不成立，假设不成立.

所以，数列｛a,,｝中得任意三项均不能构成等差数列.

21.已知双曲线：x2-y2=\,点M为双曲线C右支上一点，A、8为双曲线C的左、右顶点，直线

40与y轴交于点。，点。在x轴正半轴上，点E在y轴上.

(1)若点M(2,百)，0(2,0),过点。作8M的垂线/交该双曲线C于S,T两点，求_QST的面积:

(2)若点加不与8重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①QD=Z)E；②

BMLEQ.③|0。=2.注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)指

(2)证明见解析

【解析】

【分析】（1）先根据已知，得出/的方程，然后联立/与双曲线的方程，根据韦达定理得出坐标的关系,

表示出弦长，最后根据面积公式，即可得出答案;

（2）①②为条件，③为结论：易得一■=.然后根据直线BM的斜率

%+1

1］_x2.

可得出程°=一「=—.设点Q（x°,O）,则〃_l-x0_-TQ+I,即可得出。坐标；①③为条件,

y。KEQ__

>0』

②为结论：易得一%=%，£（（）,当•［又0（2,0）,即可的得出纵°,kBM,求解左取•心”，整理

/+1［垢+）

y2/一1

即可得出证明；②③为条件，①为结论：易得以>=*n7>0,平方整理可得.根据

%+1%+1

BM1EQ,得益0=-4=上也.进而根据的2=与二:，即可求出％=2（玉厂1）〉0,平方整

理，即可得出证明.

【小问1详解】

由已知可得，A（—1,0）,5（1,0）.

因为点M（2网,直线BM的斜率为kMB=避二9=V3，

2—1

所以直线8M的垂线/的方程为y-0=-

整理可得，x=-43y+2.

设点S（X［，x）,T（W，%），

：=一严）'+2可得,2y2一43+3=0,

联立直线/与双曲线的方程〈

x->■=1

2%〕

又OD=DE，所以点E的坐标为七0,

%+1,

又|0。=2,点。在X轴正半轴上，所以。(2,0),

2yo

所以。_1+1_1-玉）.

KEQ=Z-=

-2%

%

又上BM

%为

所以"&W'“E0-1,

所以，BMVEQ.

②③为条件，①为结论

令点。(0,%),加(毛,%)(%>1),且=1,不妨设%>0.

因为ARM三点共线,

%

所以如>0,且%=

%+1（公+1）2（%+以5+「

因为|0。=2,点。在x轴正半轴上，所以。(2,0).

]_]%0

因为BMJ.E。，所以凝°

k/SM%

一

又^EQ30

0-2'

_2（x-l）>0,且小吐Lmj烟为

所以,0

7E-x2-l

%0%+1

所以,%=2%，即。

【点睛】思路点睛：①②为条件，③为结论:先得出的斜率，根据得出

1-X)

k--------―1..然后根据E,Q两点坐标，表示出斜率，即可推出Q点