福建省漳州市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题（北师大版B卷）（含答案解析）

福建省漳州市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

（北师大版B卷）

学校:—_______姓名：_____班级：考号:

一、单选题

1ex3则上上的值为（

若丁“）

y

A.1B.1「34

C.一D.-

4347

2.下列方程是一元二次方程的为（

A.x+l=0B.-=1

X

C.x2-x=2D.（X-1）2+1=/

3.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）

A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.四条边都相等

4.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，AABC的三个顶点均在格点上，则

5.抛物线通过平移，得到抛物线y=/+l,则该平移方式正确的是（）

A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位

C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位

6.不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白球，已知红、白球共有60个，同学

们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定《左右，则袋中红球个数可能为

（）

A.30B.25C.20D.15

7.下列说法正确的是（）

A.任意两个菱形都相似

B.任意两个正方形都相似

C.任意两个等腰三角形都相似

D.任意两个矩形都相似

8.在中，ZC=90°,若AC=1,BC=3,则sinB的值为（）

A.-B.叵C,D,3

31010

9.如图，在A4?C中，D,E分别是边A3,AC上的点，且45=2,BD=1,

DE//BC.则下列说法不正确的是（)

B.AADEfABC

C.DE=-BCD•S博DE-S/kA8C=2：3

3

10.如图，菱形48。的对角线AC,BD交于点P,且AC过原点O,AB〃x轴，点C

的坐标为（6,3）,反比例函数y=A的图象经过A,

P两点，则上的值是（）

x

A.4B.3C.2D.1

二、填空题

11.计算：cos60°=.

12.抛物线y=2（x-1）2+2的顶点坐标是.

13.菱形ABC。的面积为24,对角线AC的长为6,则对角线8。的长为

14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与AA/B/G是位似图形，且顶点都在格点

上，则位似中心的坐标是.

15.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户

高、广各几何？'‘大意是说：“已知有一扇长方形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1

丈(1丈=10尺)，那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为

16.二次函数y=or2+bx+c(a<0)的图象过点4(m,n),BC-2-m,〃)，C(-1,

4).现给出以下结论：

①b-2a=0；

②c=a+4；

③对于任意实数p,不等式。02+勿?士$一定成立；

④关于f的方程a(f-l)2+Mr-l)+c-5=0有实数根.

其中正确的是.(写出所有正确结论的序号)

三、解答题

17.解方程：x2-4x+3=0.

18.如图，矩形ABCQ的对角线相交于点O,BE//AC,AE//BD.求证：四边形

AEBO是菱形.

19.已知反比例函数)=金的图象位于第一、三象限.

X

(1)求机的取值范围；

(2)若该反比例函数的图像与一次函数y=x+l的图象的交点为A(2,〃)，求〃?的值.

20.在全民阅读活动中，某图书馆第一个月进馆200人次，第三个月进馆392人

次.求第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率.

21.某校延时服务每天中午为学生提供A,B,C三种套餐，每位学生只能从中任选一

种.

(1)若某同学从中随机选一种，则其选中A种套餐的概率是.

(2)若甲、乙两位同学从中随机选一种套餐，请你利用画树状图或列表的方法，求他们

恰好选中同种套餐的概率.

22.如图，在AABC中，AB=AC,3。_14(7于点。.

(1)在BC边上求作点E,使△ACES^BC。；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图

痕迹)

(2)在(1)的条件下，连接OE,若AB=6,DE=2,求OC的长.

23.在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头.如

图，学校大门高ME=7.5米，A8为体温监测有效识别区域的长度，小明身高8。=1.5

米，他站在点B处测得摄像头M的仰角为30。，站在点A处测得摄像头M的仰角为

60°,求体温监测有效识别区域的长度.(0X1.4I,G"L73)结果精确到0.1米

24.如图，在正方形A8CO中，点P在对角线上，直线AP交8于E,PFLAE

交8C于点F,连接AB交8力于

AD

M

B

⑴判断AAP尸的形状，并说明理由：

(2)连接EF,求E尸:PM的值.

25.已知抛物线产加-2or+c(«>0)与x轴交于点(2,0).

(1)求抛物线的对称轴及c的值；

(2)若该抛物线与直线产x-2只有一个公共点.

①求抛物线的解析式；

②若点4再,%),8(々,丫2)在该抛物线上，当机-14占4m，m+l<x2<m+2^,均满

足％二%，求机的取值范围.

参考答案:

1.A

【解析】

【分析】

将所求代数式进行变形，再将已知式子值代入即可求出答案.

【详解】

x3

解：,­,一=~

y4

...山/+）=』+1」

yyy44

【点睛】

本题主要考查了代数式求值问题的整体代入法，能将所求代数式正确变形是做出本题的关

键.

2.C

【解析】

【分析】

判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含

有一个未知数且未知数的最高次数是2.

【详解】

解：A、方程是一元一次方程，故选项不符合题意；

B、不是整式方程，故选项不符合题意；

C、方程只含有一个未知数（即"元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方

程，符合一元二次方程的定义，故选项C符合题意.

B、化简（x-1）2+i=f得一级+2=0,是一元一次方程，故选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次

数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数.

3.B

【解析】

【分析】

答案第1页，共18页

矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形具有的性质就是矩形，菱

形，正方形都具有的性质.

【详解】

矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分.

故选B.

【点睛】

本题主要考查的是对矩形，菱形，正方形的性质的理解.

4.D

【解析】

【详解】

RC4

VAB=3,BC=4,ZABC=90°,tanA=—=-.故选D.

AB3

5.A

【解析】

【分析】

直接利用二次函数图象平移规律（左加右减，上加下减）进而得出答案.

【详解】

解：抛物线y=f向上平移1个单位即可得到抛物线y=f+i.

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是正确记忆平移规律.

6.D

【解析】

【分析】

根据利用频率估计概率问题可直接进行求解.

【详解】

解：由题意得：?x60=15；

4

故选D.

【点睛】

本题主要考查频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键.

答案第2页，共18页

7.B

【解析】

【分析】

根据相似图形的定义，对应的角相等，对应边的比相等对每个命题进行判断.

【详解】

解：A任意两个菱形满足四条边对应成比例，但不一定满足四个角分别对应相等，所以不

一定相似，故A不符合题意；

B任意两个正方形既满足四条边对应成比例，也满足四个角对应相等，所以任意两个正方

形都相似，故B符合题意；

C任意两个等腰三角形不一定满足有两个角对应相等，所以不一定相似，故C不符合题

意；

D任意两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以不一定相似,，故D不符合

题意.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是相似图形的判定，掌握相似多边形各自的判定方法是解题的关键.

8.B

【解析】

【分析】

根据勾股定理可得=再根据正弦的定义，即可求解.

【详解】

解：VZC=90°,若AC=1,BC=3,

AB=VAC2+BC2=Vio>

.•.sinB="=3=回.

ABVw10

故选：B

【点睛】

本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角的正

弦；锐角的邻边与斜边的比叫做该锐角的余弦；锐角的对边与邻边的比叫做该锐角的正切

答案第3页，共18页

是解题的关键.

9.D

【解析】

【分析】

根据平行线分线段成比例和相似三角形的判定与性质解答即可.

【详解】

解：VAD=2,BD=1,DEMBC,

AE:EC=AD:BD=2:\,故选项A正确；

/.AE:AC=AD:A13=2:3,又2DAE=2BAC,

：.^ADE~^ABC,故选项B正确；

2

/.DE:BC=AD:AB=2.3,B|JDE=-BC,S^DE:S^BC=4:9,

故选项C正确，选项D错误，

故选：D.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判

定与性质是解答的关键.

10.C

【解析】

【分析】

根据菱形的性质可得对角线8。与4c互相垂直且平分，再根据反比例函数的对称性可得点

P坐标，进而求得女的值，再利用一次函数性质即可求解.

【详解】

解：•••在菱形43。中，对角线30与AC互相垂直且平分，

:.PA=PC,

k

・・・4。经过原点。，且反比例函数y=—的图象恰好经过A,P两点，

x

由反比例函数y=A图象的对称性知：

X

OA=OP=，AP」CP,

22

:.OP=-OC.

3

答案第4页，共18页

过点尸和点C作X轴的垂线，垂足为E和尸,

..AOPE^AOCF,

:.OP:OC=OE:OF=PE:CF=i:3f

丁点C的坐标为(6,3),

..OF=6,CF=3,

：.OE=2fPE=L

•・•点1的坐标为(24),

「.％=2x1=2.

故选：C.

【点睛】

本题考查了反比例函数与几何综合，解题的关键是综合利用相似三角形的判定和性质、反

比例函数的图象和性质、菱形的性质等.

11.

【解析】

【分析】

直接利用特殊角的三角函数值填空即可.

【详解】

解:cos60°=；,

故答案为：

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，熟记部分特殊角的三角函数值是解题的关键.

12.(1,2)

【解析】

答案第5页，共18页

【分析】

根据二次函数y=a(x-〃)2+Z(aH0)的顶点坐标为(〃,4),即可求解.

【详解】

解：抛物线y=2(x-1)2+2的顶点坐标为(1,2).

故答案为：(1,2)

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数y=a(x-〃)2+A:(awO)的顶点

坐标为(〃,4)是解题的关键.

13.8

【解析】

【分析】

根据菱形的面积等于对角线乘积的一半直接计算即可.

【详解】

解：菱形4BCD的面积=/4>8。=24,

\'AC=6,

故答案为：8.

【点睛】

本题考查了根据对角线长计算菱形的面积的方法，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半

是解题的关键.

14.(6,2)

【解析】

【分析】

根据位似中心的概念解答即可.

【详解】

解：如图可知，位似中心户的坐标为(6,2),

答案第6页，共18页

【点睛】

本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对

应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点

叫做位似中心.

15./+(x+6]=102

【解析】

【分析】

设门的宽为x尺，则(x+6),根据勾股定理，列出方程，即可求解.

【详解】

解：设门的宽为x尺，则(x+6),根据勾股定理得：

/+(x+6)-=102.

故答案为：/+(>+6)2=102

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，明确题意，准确得到数量关系是解题的

关键.

16.①@③

【解析】

【分析】

根据题意经过点A、8即得出其对称轴为x=-l,再结合对称轴公式即得出。、b关系,可

答案第7页，共18页

判断①；将C点坐标代入抛物线解析式，再结合①所求。、6的关系，即可得出“、C的关

系，可判断②；由。<(),可判断该抛物线开口向下，在对称轴处有最大值，即确定抛物线

上任一点的纵坐标都小于等于顶点的纵坐标，由此即可判断③；将①②中，〃、人关系和

。、c的关系代入方程，整理即可得出ar-1=0,由可判断“一1<0,即原方程无

解，即可判断④.

【详解】

根据题意可知，A、B两点关于该抛物线对称轴对称，

,该抛物线对称轴为*=-3='"+(：-⑼=-1,

2a2

整理得：b-2a=0,故①正确；

将C点坐标代入抛物线解析式得：4=a-b+c,

Vb-2a-0,即/?=2a,

4=a-2a+c,

整理得：c=a+4,故②正确；

V«<0,

该抛物线开口向下，在对称轴处有最大值，

2

yPy.i,ap+bp+c<a-b+c,

整理得：ap2+bp<a-b,故③正确；

■:b=2a,c=a+4,

.,.关于t的方程可化为a(f—1)-+2a(r-l)+a+4-5=0,

整理得：“产一1=0

ar2-1<0,

.••原方程无解，故④错误；

综上可知正确的是①②③.

故答案为：①②③.

【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系，一元二次方程的解.掌握二次函数图象与系数的关

系是解题关键.

答案第8页，共18页

17.x/=3,%2=1

【解析】

【分析】

利用因式分解法求解即可.

【详解】

解：/4v+3=0,

(x-3)(x-1)=0,

•*.x-3=0或x-l=0,

；.X/=3,X2=l.

【点睛】

本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法的步骤是本题的关键，解一

元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特

点灵活选用合适的方法.

18.见解析

【解析】

【分析】

首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形。/出8是平行四边形，再根据

矩形的性质可得。4=。8,即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论.

【详解】

证明："：BE//AC,AE//BD,

四边形AEBO是平行四边形.

•••四边形ABCC是矩形，

：.OA=OB=-AC=-BD

22

四边形AEBO是菱形.

【点睛】

本题考查矩形的性质和菱形的判定，掌握他们的性质和特征是本题关键.

19.(l)m>5；

(2)m的值为II.

【解析】

答案第9页，共18页

【分析】

(1)由反比例函数图象位于第一象限得到后〃?-5>0,即可求出m的范围；

(2)将A坐标代入正比例函数解析式中求出〃的值，确定出A坐标，代入反比例解析式中

即可确定出反比例解析式.

(1)

解：•••反比例函数位于第一、三象限，

.,.k=m-5>0,

解得m>5；

(2)

解：•.,点A(2,n)在一次函数y=x+l的图象上，

...”=2+1=3,则A点的坐标为(2,3).

又•••点A在反比例函数产？二3(m为常数，x>0)的图象上，

X

.'.w-5=2x3=6,

/.m=\\.

・・・加的值为H.

【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性

质，待定系数法求反比例解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

20.第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率为40%.

【解析】

【分析】

设第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率为x,利用第三个月进馆人次数=第一个月

进馆人次数X(1+月平均增长率)2,即可得出关于X的一元二次方程，解之取其正值即可

得出结论.

【详解】

解：设第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率为X,

依题意得：200(1+X)2=392,

解得：x/=0.4=40%,X2--2.4(不合题意，舍去).

答：第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率为40%.

答案第10页，共18页

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

21.⑴;

⑵！

【解析】

【分析】

(1)直接根据概率公式求解即可；

(2)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概

率公式即可得出答案.

(1)

解：根据题意得：选中A种套餐的概率是g：

(2)

解：根据题意，画出树状图如下：

开始

ABC

/T\/1\/N

ABCABC八BC

共有9种等可能结果，其中恰好选中同种套餐的有3种，

31

二恰好选中同种套餐的概率§=

【点睛】

本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解

题的关键.

22.(1)见解析

4

(2)DC=-

【解析】

【分析】

(1)作于点E,根据两个角对应相等可判定两个三角形相似；

(2)由AC=AB=6,AELBC,得E是BC的中点，再证BC=2OE=4,CE=DE=2,

答案第11页，共18页

再根据△ACEsABCD即可求解.

(1)

解：如图，作4ELBC于点E,

?.ZADB=ZAEC=90°

又；NC=NC

/.AACEsXBCD

点即为所作.

(2)

如图所示，连接QE,

\'AC=AB=6,AE1BC,

是BC的中点

又：B"AC,DE=2,

：.BC=2DE=4,CE=DE=2

,：AACEsABCD

答案第12页，共18页

.AC_CE0n6_2

BCDC4DC

4

解得：OC=；

4

即oc的长为:.

【点睛】

本题考查作图与相似变换.解题的关键是掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性

质.

23.6.9米.

【解析】

【分析】

过。作于F,先证四边形QBAC为矩形，再证四边形。BEF为矩形，得出

MF6r

FE=BD=1.5米，可求MF=ME-EF=7.5-1.5=6米，在RtAMFC中。尸=——=7=2J3

tan60°V3

,MF6rr

DnEr=--------=—6V3

米，在Rt△例尸。中，tan30。8米即可.

【详解】

解：过。作于尸，

•••AC与3。都是小明身高，

:.AC〃BD,且AC=8。，ZDBA=90°

，四边形。BAC为矩形，

：.AB=CD,CD//AB,

:.DF〃BE,BD〃FE,ZDBE=90°,

•••四边形OBE尸为矩形，

：.FE=BD=\.5米，

MF=ME-EF=1.5-1.5=6米，

MF

在RtaMFC中tan60°=-----,

CF

：.CF=-^—=A=2百米，

tan60°石个

」qDF

在RtAMFD中，tan30o=----

答案第13页，共18页

DF==6G

・・・tan30°5/3米，

7

；.CD=DF-CF=6有_26=4"4x1.73=6.92仪6.9米,

【点睛】

本题考查解直角三角形在生活中运用，矩形性质，仰角，锐角正切函数定义，线段和差，

掌握解直角三角形的方法，矩形性质，仰角，锐角正切函数定义，线段和差是解题关键.

24.(12AP尸是等腰直角三角形，理由见解析

(2)£F:PM=2：V2.

【解析】

【分析】

(1)过点尸作PGJ_8c于点G,交AD于点H,根据正方形的性质证明△△尸/G,

即可得结论；

(2)将△AOE绕点A顺时针旋转90。得到△4BN,利用全等三角形的性质证明

NAFN=NAFE,然后证明△可得EF：PM=AP：AF,根据AAPF是等腰直

角三角形，进而可以解决问题.

(1)

解：AAPF是等腰直角三角形，理由如下：

如图，过点P作PGLBC于点G,交AD于点H,

：.GH=CD,

答案第14页，共18页

•・•四边形A8CD是正方形，

AZADB=45°fAD=CD,

・・・/PHD=90。,

JZHPD=45°f

：.HD=HP1

：.AH=GP,

u：PFLAE,

：.NAPF=90。,

ZAPH+ZFPG=90°,

N雨H+NAPH=90。，

：.ZPAH=ZFPG,

在△APH和△PFG中，

NPAH=/FPG

<AH=PG,

ZA/7P=ZPGF=90°

AAAra^APFG(ASA),

:・AP=FP,

・・.△”尸是等腰直角三角形；

(2)

解：如图，将△AOE绕点A顺时针旋转90。得到△ABN,

VZADE=ZABN=90°,ZABC=90°f

：.NA8C+NA8N=180°,

答案第15页，共18页

：.c,B,N共线，

,?NEAF=45。,

：.ZNAF=ZFAB+ZBAN=ZFAB+ZDAE=45°,

：.ZFAE=ZFAN,

在Zk/NV和△&£：中，

AF=AF

"NFAN=NFAE,

AN=AE

：./\FAN^/\FAE(SAS),

ZAFN=ZAFE,

VZFMB=ZA