人教版八年级上册-第十一章《三角形》-与三角形相关的角解答题、证明题训练(附有答案)

/第十一章《三角形》与三角形有关的角证明题及解答题训练1.已知，如图D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A＝46°，∠D＝50°．求∠ACB的度数．2.已知，如图△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°，求∠BOC的度数．3.已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．4.已知：AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，且AD∥BC．求证：∠B＝∠C．5.已知，如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC内任一射线，交CE于E．求证：∠EBC＜∠ACE．6.已知：如图P是△ABC内任一点，(1)求证：AB＋AC＞BP＋PC．(2)求证：∠BPC＞∠A．7.如图，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．8.如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F.（1）填空：∠AFC=______度；（2）求∠EDF的度数.9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC.若∠ABC＝64°，∠AEB＝70°，求∠CAD的度数．10.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.（此题为求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数）(1)若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数；(2)若∠C－∠B＝30°，求∠DAE的度数；(3)若∠C－∠B＝α(∠C＞∠B)，求∠DAE的度数(用含α的代数式表示)．11-1.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.若∠BOC＝120°，求∠A。（此题为求两内角平分线的夹角的度数）11-2.如图，△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．(1)若∠A＝80°，求∠BPC的度数．(2)求证：∠BPC＝90°+eq\f(1,2)∠A．12.如图，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交于点A1.（此题为求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数）(1)求证：∠A1＝eq\f(1,2)∠A；(2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，得∠A3……依此得到∠A2017，若∠A＝α，求∠A2017．13.如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，求证：∠BOC＝90°-eq\f(1,2)∠A．（此题为求两外角平分线的夹角的度数。）14.如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．15.如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.(1)求证：∠EAC＝∠B；(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．16.如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG＝55°.(1)求∠BFD的度数；(2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝44°，求∠BAC的度数．17.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD=∠BDC．（1）若∠BCD=70°，求∠ABC的度数；（2）求证：∠EAB+∠AEB=2∠BDC．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．19.如图，AD是△ABC边上的高，BE平分∠△ABC交AD于点E．若∠C=60°，∠BED=70°．求∠ABC和∠BAC的度数．20.如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．21.如图：

（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．22.（1）图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=°．（2）如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．（3）如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数°．23.如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.24.在△ABC中，三个内角的度数均为正数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度数.第十一章《三角形》与三角形有关的角证明题及解答题训练参考答案1.已知，如图D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A＝46°，∠D＝50°．求∠ACB的度数．答案：94°2.已知，如图△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°，求∠BOC的度数．答案：120°3.已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．答案：10°（备注：此为垂线和角平分组合，∠DAE=1/2（∠B-∠C），）4.已知：AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，且AD∥BC．求证：∠B＝∠C．证明略。5.已知，如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC内任一射线，交CE于E．求证：∠EBC＜∠ACE．证明：∠EBC＜∠DCE，而∠DCE＝∠ACE，∴∠EBC＜∠ACE．6.已知：如图P是△ABC内任一点，（1）求证：AB＋AC＞BP＋PC．(2)求证：∠BPC＞∠A．证明：（1）延长BP交AC于点D．在△BAD中，，即：．①在△PDC中，．②①＋②得，即．（2）延长BP交AC于D，∵，∴．7.如图，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．解：由三角形内角和定理，得．∴．又∵AE平分∠BAC．∴．∴．又∵，∴．8.如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F.（1）填空：∠AFC=______度；（2）求∠EDF的度数.解：（1）∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠BAD=∠DAF，∵∠B=50°∠BAD=30°，∴∠AFC=∠B+∠BAD+∠DAF=110°；故答案为110.（2）∵∠B=50°，∠BAD=30°，∴∠ADB=180°-50°-30°=100°，∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠ADE=∠ADB=100°，∴∠EDF=∠EDA+∠BDA-∠BDF=100°+100°-180°=20°.9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC.若∠ABC＝64°，∠AEB＝70°，求∠CAD的度数．解：∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝eq\f(1,2)×64°＝32°.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵∠AEB＝70°，∴∠C＝∠AEB－∠EBC＝70°-32°＝38°，∴∠CAD＝90°-∠C＝90°-38°＝52°10.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.(1)若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数；(2)若∠C－∠B＝30°，求∠DAE的度数；(3)若∠C－∠B＝α(∠C＞∠B)，求∠DAE的度数(用含α的代数式表示)．解：(1)由题意可得∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°，∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=90°-70°=20°，∠CAE=eq\f(1,2)∠BAC=35°，∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=35°-20°=15°.∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C.∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=eq\f(1,2)∠BAC=eq\f(1,2)(180°-∠B-∠C)＝90°-eq\f(1,2)(∠B+∠C)．∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C.∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-eq\f(1,2)(∠B+∠C)-(90°-∠C)=eq\f(1,2)(∠C-∠B)=eq\f(1,2)×30°=15°.∵∠C-∠B=α，由(2)中可知∠DAE=eq\f(1,2)(∠C-∠B)=eq\f(1,2)α11-1.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.若∠BOC＝120°，求∠A。（此题为求两内角平分线的夹角的度数）11-2.如图，△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．(1)若∠A＝80°，求∠BPC的度数．(2)求证：∠BPC＝90°+eq\f(1,2)∠A．答案：25-1:60°25-2:（1）130°（2）∵BP，CP为角平分线，∴∠PBC+∠PCB=eq\f(1,2)(∠ABC+∠ACB)=eq\f(1,2)(180°-∠A)=90°-eq\f(1,2)∠A，∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-＝90°＋eq\f(1,2)∠A.12.如图，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交于点A1.（此题为求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数）(1)求证：∠A1＝eq\f(1,2)∠A；(2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，得∠A3……依此得到∠A2017，若∠A＝α，求∠A2017。证明：∵CA1平分∠ACD，∴∠A1CD＝eq\f(1,2)∠ACD＝eq\f(1,2)(∠A＋∠ABC)．又∵∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，∴∠A1＋∠A1BC＝eq\f(1,2)(∠A＋∠ABC)．∵BA1平分∠ABC，∴∠A1BC＝eq\f(1,2)∠ABC，∴eq\f(1,2)∠ABC＋∠A1＝eq\f(1,2)(∠A＋∠ABC)，∴∠A1＝eq\f(1,2)∠A.(2)eq\f(α,22017)13.如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，求证：∠BOC＝90°-eq\f(1,2)∠A证明：如图，∵BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分线，∴∠DBC＝2∠1＝∠ACB＋∠A，∠ECB＝2∠2＝∠ABC＋∠A，∴2∠1＋2∠2＝2∠A＋∠ABC＋∠ACB＝∠A＋180°，∴∠1＋∠2＝eq\f(1,2)∠A＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°-(∠1＋∠2)＝90°-eq\f(1,2)∠A.14.如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x.根据三角形内角和为180°知∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，即2x＋2x＋x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝2x＝72°.在Rt△BDC中，∠DBC＝90°-∠C＝90°-72°＝18°.15.如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.(1)求证：∠EAC＝∠B；(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠EAD-∠CAD＝∠EDA-∠BAD＝∠B；（2）解：设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°.由(1)知∠EAC＝∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝(x＋50)°.在△EAD中，∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，∴3x°＋2(x＋50)°＝180°，解得x＝16.∴∠E＝48°.16.如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG＝55°.(1)求∠BFD的度数；(2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝44°，求∠BAC的度数．解：(1)∵EH⊥BE，∴∠BEH＝90°.∵∠HEG＝55°，∴∠BEG＝∠BEH－∠HEG＝35°.又∵EG∥AD，∴∠BFD＝∠BEG＝35°；（2）∵∠BFD＝∠BAD＋∠ABE，∠BAD＝∠EBC，∴∠BFD＝∠EBC＋∠ABE＝∠ABC.由(1)可知∠BFD＝35°，∴∠ABC＝35°.∵∠C＝44°，∴∠BAC＝180°-∠ABC-∠C＝180°-35°-44°＝101°.17.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD=∠BDC．（1）若∠BCD=70°，求∠ABC的度数；（2）求证：∠EAB+∠AEB=2∠BDC．解：（1）∵∠BCD=70°，∴∠BCD=∠BDC=70°，∴∠ABC=180°–70°–70°=40°．（2）∵∠EAB+∠AEB=180°–∠ABC，∠BCD+∠BDC=180°–∠ABC，即2∠BCD=180°–∠ABC，∴∠EAB+∠AEB=2∠BDC．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°-∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°．（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°-65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．19.如图，AD是△ABC边上的高，BE平分∠△ABC交AD于点E．若∠C=60°，∠BED=70°．求∠ABC和∠BAC的度数．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，又∵，∠BED=70°，∴．∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBE=40°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，∴∠BAC=180°–∠ABC–∠C=80°．20.如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．解：∵∠A=40°，∠B=76°，∴∠ACB=180°-40°-76°=64°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=32°，∴∠CED=∠A+∠ACE=72°，∴∠CDE=90°，DF⊥CE，∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，∴∠CDF=72°．21.如图：

（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．