经济数学（第三版） 课件 第1、2章 经济中常用函数的描述、增长率的计算与比较

第一章

经济中常用函数的描述目

录CONTENTS1市场需求问题及解决方案MarketdemandproblemsandSolutions2使用MathStudio绘制函数图像Drawingfunctionimagesusingmathstudio3常用经济函数Commoneconomicfunction4进一步学习的数学知识：函数Furthermathematicsknowledge:function市场需求问题及解决方案MarketdemandproblemsandSolutions1一、问题引入某城市滴滴快车收费标准如下(1)小赵7:30坐车6公里，时间35分钟，产生的费用是多少？(2)小赵22:00后坐车6公里，时间20分钟，产生的费用是多少？(3)小赵22:00后坐车16公里，时间42分钟，产生的费用又是多少？时间里程费（12公里以内）里程费（12公里以外）工时费05:00~22:001.6元/公里

0.30元/分钟22:00~次日05:001.9元/公里

全天

2.6元/公里引例一、问题引入小赵坐车费用:里程费

+工时费里程长，空置率高

→有了远途费.具体：里程→里程费；

工时→工时费，抽象：变量x→变量y问题分析

比较问题(1)和问题(2)：分析问题(3)22:00后交通更顺畅，总费用更低。进一步思考二、函数的概念1.函数的定义设X和Y是两个集合，如果对于每一个

，按照对应法则f

,都有唯一的

与之对应，则称X

和Y

之间存在一个函数关系f,一般记为二、函数的概念2.函数关系的表示法（1）解析法（2）表格法涵义函数关系y=f(x)(GDP与年份的关系,单位:亿美元)集合年份2004200520062007200820092010XGDP19316223442680134022430264996459847Y表1-1中国2004年~2010年GDP与年份的关系二、函数的概念（3）图像法正切函数的图像函数图像2.函数关系的表示法图1-1正切函数图像

图1-2的图像三、函数关系的建立例1.1某企业组装某产品每日最多100套，其中组装场地、组织设备占用费用为11300元，每套产品组装人员计件工资10元、半成品成本1000元、材料费用10元，电费2元，试建立该企业产品的日生产成本函数.1.推演公式法

解

固定成本为组装场地、组织设备占用费用11300元，每套产品增加的成本为10+1000+10+2=1022元.如果每日生产的产量为x套，则日生产产品的总成本为生产100套的成本为113500元,于是,

三、函数关系的建立车费y与里程数x

之间可以建立函数关系式如：设快车的平均车速v=48公里/小时时间里程费（12公里以内）里程费（12公里以外）工时费05:00~22:001.6元/公里

0.30元/分钟22:00~次日05:001.9元/公里

全天

2.6元/公里引例时间里程数时长22:00到次日05:00

x推演公式法是建立函数关系的主要方法,使用推演公式法可得到三、函数关系的建立整理,得则车费y与里程数x的分段函数模型如下:里程费工时费12公里里程费12公里外的里程费工时费像这种对于自变量x的不同取值范围,函数f(x)有不同的解析式,则称这种函数为分段函数.三、函数关系的建立2．数据对应法例1.2建立函数的数值关系.解随着n不断增大，E(n)将趋向于一个无理常数e，称为自然对数的底，如表1-2.表1-2自然对数底e的推演n1234510100100010000……E(n)22.2502.3702.4412.4882.5942.7052.7172.718……三、函数关系的建立3.趋势模拟法例1.3某学校10年间在校学生数和教学经费如表1-3所示，试根据表中数据画出在校学生数与教学经费的函数关系图像，并作出简单解释.

表1-3在校学生数和教学经费数据表年份199920002001200220032004200520062007在校学生(人)5000600070008000900010000110001200013000教学经费(万元)100011001200140020002600270028002850三、函数关系的建立3.趋势模拟法解

用描点画图法,如图1-3所示.

图1-3在校学生数与教学经费的函数关系三、函数关系的建立3.趋势模拟法

分析:

从图1-2看出，学生规模的扩大，教学经费从缓慢增加到快速增加再到缓慢增加.

通过观察生均教学经费表(如表1-4)和趋势图(如图1-4)，生均教学经费是由下降走向上升又走向下降的，8000人左右是比较好的规模，

可以预计，13000人之后还会出现一个相对好的规模.这就是最佳规模，产生的效益叫规模经济.三、函数关系的建立表1-4在校学生数与生均教学经费数据表年份199920002001200220032004200520062007在校学生（人）5000600070008000900010000110001200013000生均教学经费(元/人)200018331714175022222600245523332192

图1-4生均教学经费随规模变化趋势图四、初等函数基本初等函数复合函数初等函数1.基本初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数正弦函数余弦函数正切函数四、初等函数2.复合函数

是与构成的复合函数指出下列复合函数的复合过程复合函数的分解是由外到内，逐层进行。例1.4(1)(2)

函数由和u=3x复合而成.解

函数y=ln(2x-1)由y=lnu和u=2x-1

复合而成.解四、初等函数指出下列复合函数的复合过程再看两个例题例1.5

(1)(2)

函数解

函数解正确地分解复合函数很关键，它是后续课程比如复合函数求导等的基础。复合而成由2.复合函数四、初等函数由基本初等函数和常数经过有限次四则运算及有限次复合而构成的并且只用一个解析式表示的函数称为初等函数．如函数

是复合函数,当然也就是初等函数；

再比如是分段函数，但它可用一个解析式表示，所以它是初等函数。3.初等函数四、初等函数使用MathStudio绘制函数图像Drawingfunctionimagesusingmathstudio2一、MathStudio软件简介MathStudio是一款可用于PC终端和移动终端的功能强大的数学计算工具.软件支持常用的数学计算、解方程、求导、微分、积分、求极限、画函数图像等，是数学学习的很好的辅助工具.MathStudio界面简洁，操作简单，整个界面分为菜单区、指令区、功能区、键盘区，如图1-5.一、MathStudio软件简介图1-5MathStudio界面

菜单区包含Main、Catalog、Opinions和Search四个组，分别介绍如下.一、MathStudio软件简介Main：主要操作界面，所有计算、绘图、脚本编写等操作都在这里进行；Catalog：函数目录，在这里可以找到你需要的函数，如图1-6；Opinions：设置选项，可进行桌面显示和数学输出格式等设置，如图1-7；Search：搜索，指令区所有指令都可在这里找到，并可设置是否显示指令.图1-6Catalog函数目录图1-7Opinions设置选项二、使用MathStudio绘制函数图像1.使用Plot函数绘制直角坐标系下函数图像

在指令框输入函数表达式，然后点击功能区的Plot键即可绘制函数图像.点击颜色设置还可以改变图形显示的颜色，点击显示类型设置可以切换图形的显示方式.例1.6使用Plot函数绘制下列函数图像.(1),(2).解(1)在指令框输入sin(x)，然后点击功能区的Plot键，得到函数y=sinx的图像如图1-8.二、使用MathStudio绘制函数图像图1-8绘制y=sinx的图像二、使用MathStudio绘制函数图像函数y=sinx图像右侧有显示类型设置和颜色设置的选项，如图1-9.图1-9图像类型设置和颜色设置选项二、使用MathStudio绘制函数图像(2)在指令框输入x^2，然后点击功能区的Plot键，图像出来后再点击颜色设置，选择红色，如图1-10.图1-10绘制的图像二、使用MathStudio绘制函数图像2.使用绘图键盘绘制各种函数图像

将MathStudio界面底部主键盘向下滑动即可切换至绘图键盘,点击按键选择绘图类型,如图1-11,接下来我们介绍两种绘图类型.图1-11绘图键盘二、使用MathStudio绘制函数图像(1)用Parametric函数绘制参数方程的图形，在指令框输入x和y关于参数

u

的方程，然后点击功能区的Parametric键即可,如图1-12.图1-12绘制参数方程的图像二、使用MathStudio绘制函数图像(2)用Polar函数绘制极坐标系下函数图像，在指令框输入关于变量r和的极坐标方程，然后点击功能区的Polar键即可，如图1-13.图1-13绘制极坐标系下函数图像常用经济函数Commoneconomicfunctions3一、需求函数和供给函数消费者的需求关系→需求函数q=f(p)

,减函数生产者的供给关系→

供给函数

q=g(p),增函数q:商品数量p:商品价格供给函数示意图

需求函数示意图当市场价格高于均衡价格时，将出现供过于求的现象；当市场价格低于均衡价格时，将出现供不应求的现象.市场均衡价格示意图二、成本、收入和利润函数平均成本是指单位产品所分摊的成本生产某产品时为消耗的生产要素所支付的费用.总成本=固定成本+可变成本成本平均成本收入函数R=R(q)：收入R是销售量q的函数总收入为也可写为其中价格函数是需求函数的反函数收入函数二、成本、收入和利润函数总收入函数R(q)与总成本函数C(q)的差值，记作L(q).当R－C>0时,生产者盈利；当R－C<0时,生产者亏损；当R－C=0时,生产者盈亏平衡.利润函数二、成本、收入和利润函数例1.7解

生产某产品，固定成本为200元，每多生产1件产品，成本增加10元，该产品的需求函数为，试计算该产品的总成本、平均成本、收入和利润。总成本函数:收入函数:若将收入R表示为关于产量q的函数,则利润函数:,同理，若将利润L表示为关于产量q的函数，则

平均成本函数:二、成本、收入和利润函数

某经销商以每件100元的价格批发某种品牌的衬衫，如果客户一次购买20件以上但不超过50件，则超出20件的部分以8折优惠.如果客户一次购买超过50件，则超出50件的部分以7折优惠.试把一次成交的销售收入R表示成销售量q的函数.例1.8解依题意可得，当时，；当时，当时，于是，收入函数R(q)可表示为二、成本、收入和利润函数进一步学习的数学知识:函数Furthermathematicsknowledge:function4一、函数的性态单调性奇偶性有界性周期性函数的性质包括一、函数的性态（1）单调性

f(x)

在区间I上有定义，若，恒有是增函数

f(x)

在区间I上有定义，若，恒有是减函数（2）奇偶性一、函数的性态对于任意,若f(－x)=f(x)

恒成立f(x)

为偶函数；对于任意,若f(－x)=－f(x)

恒成立f(x)为奇函数．偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称.一、函数的性态（3）有界性若f(x)在I上有定义，，有成立则f(x)在I

上有界，否则称无界。有界函数的图像必介于两条平行于x轴的直线y=M与y=－M之间。一、函数的性态

周期为（4）周期性函数f(x)在D上有定义，若存在正实数T，恒有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)是周期函数，使得上述等式成立的最小正实数T，称为函数最小正周期，简称周期．一、函数的性态绘制函数

y=sinx

图像，并讨论它的性质例1.9解使用MathStudio软件,得到函数y=sinx的图像。二、反函数

由于我们习惯用x表示自变量，用y表示因变量，因此,函数y=f(x)的反函数一般表示为．二、反函数对于反函数,有以下三个结论:1.函数存在反函数的充要条件是:x与y一一对应.2.反函数的定义域是函数y=f(x)的值域,反函数的值域是函数y=f(x)的定义域.因此,也可以说二者互为反函数．3.在同一直角坐标系下，互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称．例1.10求函数的反函数.解由可得，将x,y互换，即得所求的反函数为二、反函数例1.11

求函数y=x+1的反函数，并在同一平面直角坐标系中画出它们的图像．解由函数y=x+1可得x=y-1，将互x,y换,即得所求函数的反函数为y=x-1．它们的图像如图1-14所示.

图1-14长沙民政职业技术学院通识教育中心本章结束THANKS第二章

增长率的计算与比较目

录CONTENTS1增长率和复合增长率问题及解决方案2使用Excel讨论增长率问题3进一步学习的数学知识：极限与连续GrowthrateandcompoundgrowthrateproblemsandSolutionsUsingExceltodiscussgrowthrateMathematicsknowledgeforfurtherstudy:limitandcontinuity增长率和复合增长率问题及解决方案1GrowthrateandcompoundgrowthrateproblemsandSolutions一、问题引入引例1是本金的233倍引例2465.85万元1315万元是原始股的4384倍投资金额：2万元年利率：15%投资期数：40年问题：可获得多少本息和？投资金额：3000元年均增长率：15%投资期数：60年问题：100股股票市值多少？二、增长率问题及其解决方案本金：

末期价值：投资的价值增长量：投资的增长率：增长率：事物增长的数量与原来数量的百分比值例2.1解

，末期市值

依题意,基期市值所以答:该公司4年的股票市值增长率为74.9%.假如你在2015年1月1日用3000元购买了100股某公司的股票,2019年1月1日这100股的市值已达到5247.02元,试问该公司4年的经济增长率为多少?二、增长率问题及其解决方案例2.2解,答:该股票价值在2015-2018年每年的增长率分别是20%，2%，8%，32.3%.

假如你在2015年1月1日投资了3000元股票，2016年1月1日你的股票价值增长到了3600元，2017年1月1日增长到了3672元，2018年1月1日增长到了3965.76元，2019年1月1日增长到了5247.02元，那么该股票价值在2015~2018年每年的增长率分别是多少？二、增长率问题及其解决方案三、复合增长率问题及其解决方案

复合增长率：若事物从某一年的数量开始,按照某个固定指数经过若干年增长后达到预期数量，则称这个固定指数为复合增长率.本金：

年复合增长率：年后的末期价值：投资回报模型本金：

末期价值：年复合增长率：年复合增长率模型投资期数：例2.3解第1年第2年第3年第4年（元）因此，2019年1月1日这100股股票的市值增加到5247.02元,增长率为74.9%.

假如你在2015年1月1日用3000元购买了100股某公司的股票,如果该公司的股票市值每年以15%的速率增长(即复合增长率为15%),2019年1月1日你的这100股股票的市值将会增加到什么水平?（元）（元）（元）三、复合增长率问题及其解决方案例2.4解已知例2.5解已知2015年基期市值：3000元2019年末期市值:5247.02元问题：年复合增长率为多少?预计售价：250万元本金：1万元复合增长率：20%问题：多少年后可实现购车计划？三、复合增长率问题及其解决方案解已知例2.6(元)小张现在应该投资39040.34元才能保证6年后攒够所需旅游费用.所需费用：50000元复合增长率：4.21%问题：现在投资多少元？三、复合增长率问题及其解决方案(1)即(2)即(1)(2)(3)，那么的项无限接近于一个确定的常数就称作数列的极限或称数列如果当无限增大时，数列收敛于.记为或者

四、数列的极限例2.7从而初始获得投资本金：50万元贷款额占抵押品价值的百分比：75%问题：最多可获得投资多少万元？解设企业所获投资本金为，贷款额占抵押品价值的百分比为第次投资额为,次投资与再投资的资金总和记为,最多可获投资记为于是：第1次投资第2次投资第3次投资次投资总和为四、数列的极限使用Excel讨论增长率问题2UsingExceltodiscussgrowthrate一、使用Excel讨论经济增长率问题比较2008年相对于1990、2000年经济增长率和复合增长率。比较2005年国

家1990年2000年2005年2006年2007年2008年中

国1866899215183218211924257306300670美

国5803199515126384133989140777144414…………………印

度54914207591345855396628455380525253韩

国1866909603236086524099087438975013010239377到2008年的年度增长率。案例1一、使用Excel讨论经济增长率问题解决方案1.9国18年、8年的增长率计算与比较

第一步:在H5栏输入公式“=(G5/B5-1)*100%”,得出中国2008年相对于1990年的GDP增长率为1510.6%。一、使用Excel讨论经济增长率问题第二步：将鼠标置于H5栏右下角,按住“+”型符号往下拖(即使用Excel的句柄填充功能),直至H13栏,出现美国、日本、俄罗斯、英国、法国、德国、印度、韩国2008年相对于1990年的经济增长率。一、使用Excel讨论经济增长率问题第三步：类似于18年GDP增长率计算方法,可求各国2008年相对于2000年的GDP增长率。一、使用Excel讨论经济增长率问题第四步：选定各国8年和18年GDP增长率(包括9国国名),双击图表窗口出现图表导向,选择柱形图,顺序点击至“完成”,做适当修饰后(使图更清晰),即完成9国8年和18年GDP增长率的比较柱形图,如图2-4所示.可以看出,中国18年GDP增长率最高,俄罗斯8年GDP增长率最高,印度和韩国排在中、俄之后和西方发达国家之前。一、使用Excel讨论经济增长率问题2.2005~2008年的年度增长率计算与比较第一步：在J5栏输入公式“=(E5/D5-1)*100%”,选定J5栏,按住“+”型符号,然后利用Excel的句柄填充功能,先从J5拖至L5,然后选定J5至L5栏,按住“+”型符号再拖至L13,得到各国2006-2008年每年相对于上一年的GDP增长率。一、使用Excel讨论经济增长率问题第二步：选定中国、美国、日本、俄罗斯、英国、法国、德国、印度、韩国9国2006-2008年每年GDP增长率(包括9国国名),双击图表窗口出现图表导向,选择柱形图,顺序点击至“完成”,即完成9国2006-2008年每年GDP增长率的比较柱形图,如图2-6所示.可以看出,这三年俄罗斯每年GDP增长率最高,中国第二,印度第三。一、使用Excel讨论经济增长率问题3.各国18年、8年的GDP复合增长率计算与比较第一步：建立计算公式一、使用Excel讨论经济增长率问题第二步：计算各国18年GDP复合增长率.在M5栏输入公式“=POWER(G5/B5，1/18)-1”,计算出中国2008年相对于1990年18年的GDP复合增长率为16.7%,选定M5栏拖至M13栏,得到美国、日本、俄罗斯、英国、法国、德国、印度、韩国的1990-2008年的GDP复合增长率。一、使用Excel讨论经济增长率问题第三步：仿第二步，计算8年GDP复合增长率。一、使用Excel讨论经济增长率问题第四步：作图比较9国1990-2008年和2000-2008年的GDP复合增长率.如图2-9所示,从图上比较可以看出,1990年以来,中国经济增长最快,印度紧追其后;2000年以来,俄罗斯经济增长最快,中国紧追其后.但2000年以来,除法国、俄罗斯GDP增长加快之外,其他国家均有所放慢。二、高技术产业销售收入增长分析高技术产业销售收入增长分析试通过年度增长率和复合增长率分析比较各产业的增长情况。行业20022003200420052006医药制造业2279.982750.7330334019.834718.82航空航天器制造业499.9547.2498.4781.37798.88电子及通信设备制造业7658.679927.1413819.116646.2521068.86电子计算机.办公设备制造业3441.676305.979192.710722.1512634.18医疗设备及仪器仪表制造业734.04880.4813031752.182363.82案例2二、高技术产业销售收入增长分析解决方案借助Excel软件，求得年度增长率和复合增长率如下表。产业年度增长率复合增长率2003年2004年2005年2006年医药制造业0.20650.10260.32540.17390.1994航空航天器制造业0.0946-0.08920.56780.02240.1243电子及通信设备制造业0.29620.39210.20460.26570.2879电子计算机及办公设备制造业0.83220.45780.16640.17830.3842医疗设备及仪器仪表制造业0.19950.47990.34470.34910.3396二、高技术产业销售收入增长分析进一步作出增长率趋势比较图如下图。三、中美两国GDP差距发展趋势分析中美两国GDP差距发展趋势分析试分析两国之间GDP差距发展趋势，并采用2010年相对1978年的年均增长率讨论未来差距发展趋势。年份美国中国年份美国中国1978年229472164.6081995年739777279.8111979年256332612.6051996年781698561.054………………1993年665746132.2282010年146241.859847.071994年707225592.052案例3三、中美两国GDP差距发展趋势分析解决方案第一步：借助Excel软件，计算中国和美国在1978-2010期间的GDP复合增长率分别为11.1%、6%，以及1979-2010年GDP的年度增长率。第二步:求得中国和美国1978年~2010年GDP差距，如下表。年份美国中国差距年份美国中国差距1978年229472164.6120782.41995年739777279.8166697.21979年256332612.6023020.41996年781698561.0569608.0……………………1993年665746132.2360441.82010186394.71994年707225592.0565130.0三、中美两国GDP差距发展趋势分析趋势图三、中美两国GDP差距发展趋势分析第三步:根据中国和美国在1978-2010期间的GDP复合增长率，计算中国和美国2010年以后GDP及其差距走势预测趋势图。进一步学习的数学知识：极限