湖北省武汉市重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年度上学期武汉市重点中学期中考试高二数学试卷考试时间：2023年11月10日试卷满分：150分2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.·2.现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为1,将它重新制作成一个体积与高均不变的圆锥，则该圆锥的底面积为()A.2√3πB.3πC.3π+2√3πD.3√3π解析：设圆锥的底面积为S,则Ⅱ解得S=3π3.从长度为1,3,5,7,9的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是()解析：从5条线段中任取3条的所有基本事件有10个，故所求概率A.4√5B.2点C到直线1的距离6.某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜.两班获胜的概率分别是()解析：设(1)班获胜为事件A,(2)班获胜为事件B,,,7.2022年10月7日21时10分，中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射运载火箭，采用“一箭双星”方式，成功将微厘空间北斗低轨导航增强系统S5/S6试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，其中的“地球同步转移轨道”是一个以地心(地球的中心)F₂为焦点的椭圆，如图，已知它的近地点(离地面最近的点)A距地面m天文单位，远地点(离地面最远的点)B距地面n解析：设椭圆方程即离心率8.四棱柱ABCD-ABC₁D₁中，口因为AB=BB₁=1,BC=CD=2,AB所以C(0,0,0),A(1,2,0),B(0,,,则设球(,;,设4+a=t(t∈[4,5]),则此时直线CE与OB所成的角最小，则其对应的正弦值也最小，正弦值为二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.A.椭圆离心率B.|PF|的最大值为3D.|PF|+|PF₂|=2对于B中，由椭圆的几何性质，当点P为椭圆的右顶点时，可所以C正确；P,Q.设OM∩PQ=N,则下列说法正确的是()A.PQ⊥OMB.存在点M,使得∠PMQ=120°因为MP,MQ为圆的切线，所以因为MP,MQ为圆的切线，所以OP⊥MP,OQ⊥MQ,,有当|,有当|OM最小时，∠PMO最大，即∠PMQ=2∠PMO最故B错误；故B错误；MQ:xx₂+yy₂=4,所以过P,Q两点的直线为x+3y-4=0,故D错误.盒中有6个大小和质地相同的球，其中2个红球和4个黄球，顾客从A盒中不放回地随机抽取两次，每次两次投掷中向上点数为3的倍数出现的次数等于可获得礼物的数量.每位顾客可以随机选择一种方案参加活动，则下列判断正确的是()A.方案一中顾客获得一个礼物的概率B.方案二中顾客获得一个礼物的概率是D:记方案二中“第一次向上点数是1”为事件E,两次向上点数之A.MN⊥AC₁设AB=AD=AA=a,即.mgc,B,A0AC=-AA+AB+AD,BD=AD-ABAC.BR=(-AA+AB+AD)AA=-AA[+A三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 的最大值为则PB+PC=2PD=(-8,0),则PA+PB+PC=PA+2PD=(x-13,y),则其最大值为13+2=15.井井体积为则三棱锥S-ABC外接球的体积为的中点O,连的中点O,连接OA、OB,如下图所示：∵SA=AC,SB=BC,且SA⊥AC所以，△SAC、△SBC均为等腰直角三角形，且,设SC=2r,可得OA=OB=r,设∠AOB=θ,∵SA=AC,O为SC的中点，则OA⊥SC,同理可得OB⊥SC,∵OA∩OB=O,OA,OBC平面OAB,∴SC⊥平面OAB,;;在△OAB中，由余弦定理可得AB²=OA²+OB²-2OA·OBcos0,可得化简可得r⁴-3可得,,四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.故直线l的方程为x=1.或事,甲事事,甲事乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为两人租车时间都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ=4)和P(ξ=6)的值.答案：(1)小问1解析：,,,,所以甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别,记甲、乙两人所付租车费用相同为事件A,小问2解析：若ξ=4,超过则甲不超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙不超过2小时甲超过3小时不超过4小时，或甲乙都超过2小时不超过3小时，若ξ=6,则甲超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙超过2小时甲超过3小时不超过4小时，19.已知ABC的顶点A(1,1),高CD所在直线方程为3x+y-12=0,角B的平分线BE所在直线方程为答案：(1)(-8,-2);(2)9x-13y+46=0.小问1解析：解：∵△ABC的顶点A(1,1),高CD所在直线方程为3x+y-12=0,角B的平分线BE所在直线方程为x-2y+4=0,∴B点坐标为(-8,-2);小问2解析：,..(舍),20.在如图所示的试验装置中，两个正方形框ABCD、ABEF的边长都是1,且平面ABCDL平面ABEF,活动弹子M、N、G分别在正方形对角线AC和BF、AB上移动，记CM=BN,AF/平面MNG,记BG=a(O<a<1).(1)证明：MG⊥平面ABEF;答案：(1)证明见解析小问1解析：证明：因为AF//平面MNG,且AFC平面ABEF,平面ABEF∩平面MNG=NG,则AFIING,因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,MGC平面ABCD,小问2解析：解：由(1)知，MG⊥平面ABEF,因为NGC平面ABEF,所以，MG⊥NG,则则,,设平面AMN的法向量为m=(x,y,z),则由图可知，二面角A-MN-B为钝角，故二面角A-MN-B的余弦值(1)求证：MN//平面ADP;(2)求证：平面MON⊥平面ABCD;(3)求直线AP与平面BCQ所成角的正弦值.答案：(1)证明见解析小问1解析：取AD中点点E,连接PE,EN,因为PQ//AB,PQ=2AB=2√2,M所以PM//AB,PM=AB,又因为AD中点为E,N为BC中点，所以EN//AB,EN=AB,所以MN//PE,因为PEC平面PAD,MNα平面PAD,小问2解析：在正三角形PAD中有AD⊥PE,易知BC⊥PE,在正方形ABCD中有BC⊥ON,因为ON∩MN=N,ON,MNC所以BC⊥平面MON,因为BCC平面ABCD,所以平面MON⊥平面ABCD.小问3解析：平面MON,以过点O作AB的垂线为x轴，ON所在的直线为y轴，OM所在的直线为z轴建立空间直角坐标系因为P