概率论与数理统计课件

概率论与数理统计自然界和社会上发生的现象是多种多样的：1．

确定性现象：在一定条件下必然发生。2．随机(不确定)现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，且在大量重复试验中其结果又具有统计规律性。绪言

研究对象：概率论与数理统计是研究随机现象统计

起源：16-17世纪的赌博和保险业。

特点：①研究随机现象。规律性的一门数学学科。②它与其它数学分支有紧密的联系(如高数、线性代数)，是近代数学的重要组成部分。③应用性强：遍及所有的科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中，如：气象、水文、地震预报；自动控制；农业试验；通讯系统中可提高信息的抗干扰性和分辨率等。内容与学时第一章概率论的基本概念第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律与中心极限定理第六章样本及抽样分布第七章参数估计第八章假设检验(16学时)数理统计(30学时)概率论第九章方差分析及回归分析四、主要参考书1.《概率论与数理统计》中山大学，2003高教出版2.《概率统计学习辅导与习题选解》浙大，高教出版

3.《概率论与数理统计》魏宗舒编，高教出版4.《概率论与数理统计》周圣武等编，矿大出版第一章随机事件及其概率第一节随机事件及其运算第二节频率与概率第三节等可能概型(古典概型)第四节条件概率第五节独立性第一章第一节随机事件及其运算一、随机试验二、随机事件与样本空间三、事件间的关系及其运算引例：E1:抛一枚硬币，观察出现正反面情况。E2:将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面结果。HHHTTHTHTHTTHT{HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}E3:抛一骰子,观察出现点数情况。(筛子,投子)

{1，2，3，4，5，6}{H,T}一、随机试验{1，2，3……}

E5:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命。{t|t≥0}分析以上5个试验,发现特点：(1)可重复性：在相同条件下可重复进行。(2)可辨性：试验的可能结果不止一个，并且能事先(3)随机性：进行一次试验前，不能明确哪个结果一概率论中把具有以上特点的试验称为随机试验，用,=1,2,3……明确所有可能结果。定会出现。字母E(experimentation)表示。E4:对一目标射击,首次击中目标所需射击次数。二、随机事件与样本空间定义1随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S或Ω

，样本空间的元素,即E的每个结果，称为样本点,例如上节引例中：={H,T}={HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}有限个样本点={1,2,3,4,5,6}可列无穷个={1,2,3……}={t|t≥0}连续、不可列Ⅰ.样本空间例将一枚硬币连抛三次1)观察正反面出现的情况,={HHH,HHT……}2)观察正面出现的次数,={0,1,2,3}Ⅱ.随机事件定义2试验E的样本空间S的子集称为E的随机事件，简称事件，一般记为A,B,C等。A—投一骰子出现奇数点事件A={1,3,5}B—出现点数大于等于3的事件B={3,4,5,6}例如注意：样本空间的元素是由试验目的所决定的。特殊随机事件：1.基本事件：一个样本点组成的单点集(试验E的每个可能结果)例：有两个基本事件{H}和{T}2.复合事件：两个或两个以上样本点的子集例：事件A为中“三次出现同一面”，A={HHH,TTT}3.必然事件：每次事件中必然发生的事件,记S(样本空间）4.不可能事件：每次试验一定不发生的事件,记

某一事件发生它包含的一个样本点出现试验ES(样本空间)A(子集)必然事件S样本点不可能事件

事件A基本事件①包含、相等关系A发生必然导致B发生称事件A包含于B或B包含A.

BA文氏图(Venn图)1.事件的关系三、事件间的关系及其运算A与B相等，记为A=B例1:产品有长度、直径、外观三个质量指标，记A=“长度不合格”,B=“产品不合格”,则例2:掷骰子,A=“出现偶数点”,B=“点数能被2整除”则A=B。A②事件的和、并(加法)A和B两事件中至少有一事件发生的事件称为A和B的和事件。记为A∪B或(A+B)推广称ｎ个事件至少有一个发生；称可列个事件③事件的积、交(乘法)事件A和B同时发生事件AB发生记为=AB且至少有一个发生。A推广称为n个事件的积事件。称为可列个事件的积事件。积事件④事件的差(减法)事件A发生但事件B不发生事件发生记但显然A⑤互斥事件(互不相容)A,B为互不相容事件(即AB不同时发生)随机事件E的任何两个基本事件都互不相容。⑥对立事件(逆事件)A,B为相互对立事件记或AB相互对立互不相容2.事件的运算法则①交换律；②结合律③分配律④德·摩根律：；推广：;⑤包含运算：，，，则，设⑥⑦⑧例1

设A、B、C表示三个随机事件，试用A、B、C的运算关系表示下列事件。(1)A与B发生，而C不发生(2)A、B、C中至少有一个发生(3)A、B、C中恰有一个发生(4)A、B、C中不多于两个发生(A、B、C中至少有一个不发生)(A、B、C不可能同时发生)例2

以A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则为(A)甲滞销，乙畅销(B)甲乙两种产品均畅销(C)甲种产品畅销(D)甲滞销或乙畅销解设B=“甲产品畅销”，C=“乙产品畅销”则，故选(D)例3

关系()成立，则事件A与B为对立事件。(a)(b)(c)(d)与为对立事件解释(d)：(c)显然成立，(d)也成立。A与B为对立事件例4

试证明下列等式。(1)(2)(3)方法：定义利用关系运算做文氏图解：(1)(2)右BA(3)右左例5：在掷骰子的随机试验中，样本空间解={出现偶数点}={出现奇数点}={出现的点数>4}={出现的点数5}思考题：1873年，英国学者沈克士公布了一个π的数值它的数目在小数点后一共有707位之多!但是,经你能猜出他怀疑的理由吗?过了几十年后,曼彻斯特的费树生对它产生了怀疑原因是他统计了π的608位小数，得到下面的表:0123456789出现次数60626768645662445867数字答:各数码出现的频率应都接近于0.1,或者说它们出现的次数应近似相等.44但是7出现的次数过少第二节频率与概率一、频率二、概率第一章1.定义1

设E，S，A为E中某一事件，在相同条件下做n次试验，事件A发生的次数为，则称为A的频率。(frequency)2.性质：0≤≤1一、频率若两两互不相容有限可加性例：在“抛硬币”试验中，据表格得出①频率有随机波动性，每次试验频率不一定相等;﹋﹋﹋﹋﹋﹋﹋﹋﹋﹋﹋在第五章中将证明﹋﹋﹋②稳定性n充分大时，称为事件A的概率(probability)，记为频率有什么规律？试验者蒲丰皮尔逊皮尔逊次数正面的次数正面的频率404020480.50691200060190.501624000120120.5005上面定义的频率可以这样重新理解：设随机试验E的样本空间为S，记F=“全体随机事件”则频率fn(A)实际上是集合函数：fn：F→[0,1]A∈F这个集合函数具有重要性质。定义1事件域F应满足以下要求则称集合类F为则称集合类F为若事件域F是它具有下列性质

频率稳定值概率

事件发生的频繁程度事件发生的可能性的大小频率的性质概率的公理化定义第一章概率论的基本概念1.定义2

设E,S，对于E的每一事件A，赋予一实数，如果满足以下三个公理：①非负性：对于每一个事件A，有≥0②归一性：③可列可加性：设两两互不相容则则称为事件A的概率。概率三公理二、概率（概率的公理化定义）通常在F有定义上的非负的可列可加的集函数称作是F上的测度。如长度，面积，体积是测度。而概率不过是事件域F上的一个规范化的测度。即概率是定义在F上的非负的规范的，可列可加的集函数称作是F上的测度。描述一个随机实验的数学模型，应该有三件东西：(1)样本空间；(2)事件域()F；(3)概率(F上的规范测度）P。三者写成称为一个概率空间。在实际问题中，如何确定样本空间，如何选取事件域F,如何在F上定义概率P要视具体情况而定，但在一般的理论研究中，总认为是预先给定的。2.性质：故由可列可加性又因为≥0，所以有限可加性其中两两互不相容。证明取，则证明由三公理中的可列可加性，令则由性质1可得所以下式成立证:5)对于任一事件,证:可证，0≤≤1可推广到多个事件的情形:如三个事件6)对于任意的事件,都有证:例1(天气问题)某人外出旅游两天，据天气预报知：第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1试求下列事件的概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨;(4)两天都不下雨;(1)第一天下雨，第二天不下雨;(3)至少有一天下雨;(5)至少有一天不下雨解：设A、B分别表示第一、二天下雨则(1)(2)(3)(4)(5)例2(订报问题)在某城市中，共发行三种报纸A，B，C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%，同时订购A，B的占10%，同时订购A，C的占8%，同时订购B，C的占5%，同时订购A，B，C的占3%，试求下列事件的概率：(1)只订购A(2)只订购A，B(3)只订购一种报纸(4)只订购两种报纸(5)至少订购一种报纸(6)不订购任何报纸解设A，B，C分别表示“用户订购A，B，C报纸”(1)(2)(3)﹏﹏﹏﹏﹏﹏两两互不相容的(4)﹏﹏﹏﹏﹏﹏两两互不相容(5)(6)解例3已知求A,B,C中至少有一个发生的概率。例4

证明证例5，求解ASB例6，求解SAB练1.设A,B,C表示三个事件,试表示下列事件(1)A发生,B与C不发生(2)A与B发生,C不发生(3)A,B与C都发生(4)A,B与C至少有一个发生(5)A,B与C全不发生(6)A,B与C至少有两个发生思考:判断(1)若且则(2)若则练2.在掷子的试验中,样本空间事件A出现偶数点,事件B出现奇数点事件C出现点数大于4,事件D点数大于5求:解:练3.化简证明证明:原式=第三节等可能概型一、古典概型的定义二、计算公式三、计算方法第一章1.定义：具备以下两个条件的概率模型称为古典概型，有限性试验的样本空间的样本点数有限；等可能性试验中每个基本事件的发生是等可例：抛硬币，掷骰子。2.计算公式：事件含的样本点的个数样本空间含的样本点的个数证

设S是E的样本空间，A是S的事件(古典概型)能的。由古典概型的定义得若事件A包含k个基本事件，即其中(表示中的k个不同的数)则有3.方法：构造A和S的样本点(当样本空间S的元素较少时，先一一列出S和A中的元素，直接利用求解)用排列组合方法求A和S的样本点数预备知识Ⅰ.加法原理：完成一项工作m种方式，第i种方式有种方法，(i=1,2,m)，且完成该项工作只需选择这m种方式中的一种，则完成这项工作一共有种方法。Ⅲ.排列：从n个元素中取出r个元素，按一定顺序排成一列，称为从n个元素里每次取r个元素的排列。(n，r均为整数)①(无放回选取)对于无重复排列(这n个元素全不相同时，上述排列即是)，当r<n时称为选排列时称为全排列﹏﹏﹏﹏﹏Ⅱ.乘法原理：完成一项工作有m个步骤，第i步有，且完成该项工作必须依次通过这m个步骤，则完成该项工作一共有种方法。种方法②(有放回选取)从n个不同元素中有放回地抽取r个，依﹏﹏﹏﹏﹏次排成一列，称为可重复排列，排列数记例

将三封信投入4个信箱，问在下列情形下各有几种投法？⑴每个信箱至多允许投入一封信。⑵每个信箱允许投入的信的数量不受限制。解：⑴无重复排列:⑵可重复排列:Ⅳ.组合从n个元素中每次取出r个元素，构成一组，称为从n个元素里每次取出r个元素的组合。组合数为或几个常用性质：i)ii)iii)iiii)例1

投两枚骰子，事件A——“点数之和为3”，求解

法一，出现点数之和的可能数值111221×不是等可能的法二，36个例2

投两枚骰子，点数之和为奇数的概率。解

令A——点数之和为奇数法一，36个18个法二，可能结果{奇,奇}，{奇,偶}，{偶,奇}，{偶,偶}A：{奇,偶}，{偶,奇}是等可能的9种9种9种9种法三：可能结果{之和为奇}，{之和为偶}A：{之和为奇}是等可能的法四：用排列组合或例3.某教研室共有11名教师,其中男教师7人,现在要选3名优秀教师,问其中至少有一女教师概率解(方法一)设A=“3名优秀教师中至少有一名女教师”=“3名优秀教师中恰有名女教师”则方法二设A=“3名优秀教师全是男教师”例4

6只不同球(4白2红)，从袋中依次取两球，观察其颜色。a.做放回抽样b.不放回抽样，求下列事件的概率。(1)“取到的两只球都是白球”(2)“取到的两只球颜色相同”(3)“取到的两只球中至少有一个是白球”解a.(乘法原理)(1)(2)(3)表示“两只都是红球”，若直接考虑：(1)(2)(3)b.(考虑先后顺序)若直接考虑：考虑先后顺序不考虑先后顺序分子和分母保持一致例5

N件产品，其中D个次品，从中任取n件，问事件A恰有k件次品的概率(k≤D)（不放回抽取）解不放回:超几何分布的概率公式例6(分房问题)将r个球随机地放入n(n>r)个盒子中，设各个球放入每个盒子是等可能的，记:A:指定的r个盒子，每个盒子各有1个球。B:恰有r个不同的盒子，每个盒子各有1个球。C:在某一个指定的盒子中有k(k≤r)个球。求事件A，B，C的概率。解例7(生日问题)设每个人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，即都等于，那么随机选取n(≤365)人。(1)他们的生日各不相同的概率为多少？(2)n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？解

(1)设A=“n个人的生日各不相同”(2)设B=“n个人中至少有两个人生日相同”当n等于64时，在64人的班级中，B发生的概率接近于1，即B总是会出现，不妨作调查。（无放回和有放回）解（不放回抽样）设每只球都是不同的,则每一（有放回抽样）例8袋中有只白球,只黑球,依次抽a+b个球,求第次抽出的一只球为黑球的概率？试验结果可看作是个球的一个全排列,A例9在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

设A为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为解于是所求概率为例9某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.

假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.