大学科目《流体力学》课后题答案

1-1连续介质的条件

物理上就是不考虑流体分子结构，把流体看成是一种在一定范围内均匀、密实而连续分布的

介质，或者说流体是由连续分布的流体质点组成。适用条件是所研究问题的特征尺度L远

远大于流体分子的平均自由程。

1-2(1)不成立。人造地球卫星的特征尺度与分子自由行程可比拟。

(2)成立。地球半径远大于分子自由行程。

1-3(1)粘性流体静止时没有切应力。(2)理想流体的前提是〃=0,无切应力。(3)不

是。粘性是流体的固有属性，前提无论是静止还是运动，粘性都客观存在。

1-4(1)风洞：10°时，y=14.19xl0-6w2.<1,Re=征/。=5.639x1()6,400时

6

。=17.1X1CT机2=4.678x1()6

⑵水池：10°时。WS.lxlCT6加Re=UL/D=6.106x1()6,

40°时，D=0.66xl(r6/"2.sT,Re=uL/"=i21x106

1-57水=〃水包=4.008Pa,F水=”=6.12N

dy

1-6%水=L1390x999.04xl()Y=1138x10^侬・〃，T・sT,

a气=1.495x1.726xlO^=17.7xlO^Ag.m-l.5-1

dyJ

du

——0UO.455P<7

水而=1138x10-6x20x

IOXIO-2)

y=0

-3

du=17.7xl0^x20x―J-0|=7.08xl0Pa

%=公苏10x10-2J

y=0

1-7很小,流体速度分布视为线性,

du=吟，扭矩"芸=碍.乃心即M=〃曙

••T=LI---

dyy=o

.•・流体粘性系数”爵

2-4F<=PcSx-PnSx=f+y,；Rsina卜Rsina-e18Rsina=0.375y8R2

Fz=P^S7+/v-P^S7=-；Rsina.Rcosa18=0.30773R2

tane/=^^=0.8189

Fx0.375

S*=14+43“八1=兄〃+厂3%2

2-5(1)Fx=(P0+yzcy

F=PSv=P(R-^

:0z+70'/?2—力~).]+y.QR~arcsin元—Q-1

22

=/J(7?-7/?-A)t|f—R2arcsin---h\jR2-h2

[2R2_

/1、1

^h+y--h2

l乙)

「P1

i期」=*+rh7n[h2f[h

Y〃♦1以公=&_+彳9\_

a*\a3\a

(3)Fx=(R)+yz,)h

.h

arcsin-,,(噜崂

F.=4sz+/v=7J-----+y—arcsin—-[«sin/?xdr=—arcsin—+—arcsin—+—cos/?[—arcsin—|-y—

aba*babaa\ba)b

(.hy.hI(h\2

cosIarcsin—I=sinarccos—=JI-I—

...凡=('+弓)arcsin—

2-6左F=po+L^F：=po+Lr

右冗=4+g?，E=6+|y

=2.14X105/V

2-7由户=__Lvp得户=/X+巨W+M电=-2(祟母+/用+:需备)

p

2

-corer+Oe0-gez=一工(?0+妥同.弓导)

pydroz

.・您=吸2r您=0图=pg

dr80dz

dp=pco2rdr-\-pgdz,:.p-—1p(o2/2+pgZ+C

当r=0,z=H时，p=pgH4-c=Po

压力分布：p=p()+gparr2+pgz-pgh，表面方程：；parr1+pgz-c=0

122

当r=O,z=h时，—pco~r+pgz—pgh—0

2-8

/%g—(叫+啊)g〃­?

..co=--——-------M-=6.36m/s

(町+和+g)

tan”也史上空二H^+h=0.292，”

ga2g

2-9浮力F=rytk+r2V2k=(/^+yy2)k

3-1只要能够将流动的连续方程转化为两项相加的形式，就存在流函数。

3-2不可压缩流体的平面无旋运动的流函数满足Laplace方程，流函数满足椭圆方程，不满

足Laplace方程。

3-3(1)v=wf+V/

a=-^-=^4-(v-V)v=(v-V)v=++vy)

dudum2x

a=u—+v—=-----7--------7

v小dy4/任+y2y

dvdvnr

a=u—+v—=---J

)vdxdy4/(X22)2

(2)

V=Ul+vj

一DvSJ.▽一

a=——=—+(v-V)v

Dtdtv)

dududu2(y~一厂)2k2t2x

Cl---FU---FV=--------H----------r

&&的任+,2,(九2+力

dvdvdv2kxy2k2t2x

—+u—+V—=-----------7--------r

况&dy(炉+y2y(―+力

3-4设流体质点的轨迹线为户=婷+炉+zE

则有虫=〃=x+/,—=v=y+t,—=w=0

dtdtdt

积分得x=-(，+l)+c「d,y=-«+1)+。2,/*=G

.,.当t=0时，x=a,y=b,z=c,其中c1=6?4-1,C2=/?+1,C3=C

二质点位移及速度的拉格朗日表达式分别为

亨=[一±+l)+(a+:+[-(/+1)+9+1)-]/+灰

/=午=[(。+1)/-1]『+[(/?+1)/-1]/

3-6(1)

u=y,v=-x,.\v=yi-xj

Vxv=f--—^=-2£^0,.-.不存在势函数。

ydxdyJ

▽•炉=丝+@=0,.,.存在流函数中=[udy-vdx=—(y24-x2

dxdyJ2'.

(2)u=x-y,v=x+y

Vxv=f"-包"=-25x0,.•.不存在势函数。

V8x^y)

=如+包=2#o,「.不存在流函数

dxdy

(3)u=j3-y1+x,v=-(2Ay+y)

▽乂/二(六一个)左=0,.\存在势函数e=J“办+呦=$3_孙2-g,2

V*v=—+—=0,.\存在流函数5=[udy-vdx=x2y+xy--y3

dxdyJ3

2rdx人dy人

3Tu=—=Ar,v=—=-Ay

dtdt

dx..dy..

：.—=Adt,—=-Adt

xy

At

lnx=Ar+Cplny=-At+c2/.x=qe"y=c2e~

3-8

dxdxdx_cdy

,,__=__

UVx+t」-y+t

.,._/〃(_y+，)=//2(x+，)+q=>(x+r)(^—r)=c

将t=0时，x=-l,y=l代入得c=-l

得流线为：xy=-l

3-9；虫=@,即4=，^

uvx2t-2xyt

f—==>-lnx=—!—Iny+c,xyfy=ct

JxtJ-2yft-2t”

将t=l时，x=.2,y=l代入得：c=-2

流线方程为x6=-2,即fy=4。

4

•/—=-=dt,,:4=tdt,—=一2，力.积分得:产+xq=-1,yt=c2

uvxxy2

将日时，x=-2,y=l,代入得q=0,。2=1

所以轨迹为"2=_2,*4=1,即工2_分=o

dududu2c3sSvdvdv..

a=—+〃一+v—=x+2x7=-12,tz=—+M—+v—=12

vrdtdxdyyvdtdxdy

3-10(1)不可压缩流体满足连续方程▽•/=(),即史+史+羽=2ox+(-公-0)+如=0

dxdydzv7dz

~~=(d-2a)x+€z

w=(d-2a)xz+gez2+

r=idu、

(2)|可T5理I一+一+—=0+0+—=0,.\w=f(x,y)

dxdydzdz'7

3-11

(1)0=——t=v•rJ,v=———/,%=0

_2Jrr\_2rJ

(2)t=0时,r=2时,"7，%=0

q=&+以匕+也立式=」一4二一［=一1Z

dtdrd6rrrr3\4)32

%=0

3-12不可压缩流体满足连续方程▽./=(),即：生+包=65+包=0

8xdySy

q=-6ax,v=-6axy+/(x)

又平面势流▽x"=0

dvdu/(x)/、

/.--------=-bay+——4-bay=0,/.j(x)=c,v=-6axy4-c

dxdydx

将(0,0)点处u=0,v=0代入，则c=0.

3

:.v=-6ory,〃=J-vdx+udy=3ax^y-ay,Q=y/A-y/B

ci八、Sudvdw.

3-13(1)s:=—=a,s=—=a,£.=—=-2a

dxndy7dz

1(dv。卬1-1(oudw

-------+—=0,%-=--十—

%2(Szdy)-2(8zdx

体积膨胀率为▽而=0

（2）Vx/=O,流场为无旋场,:.(p=^udx-\-vdy-st-wdz=^ax2+^ay2-az2+c

cd--rfdwav)dur(dvdu\

3-14涡量：Q=Vxv=^---j+y^---J+^---J

=?(2-l)+J(2-l)+)l(2-l)=f+J+£

涡通量J="C・万力

一IT1丁1r

"有'+用+工

.•.</="Ql*nds=JJCds=V3jjds=6A=百

4-1欧拉运动微分方程前提：理想流体

":单位质量的局部惯性力（非定常流动引起的）

dt

（v.V）v:单位质量的变位惯性力（非均匀场引起的）

3：单位质量力：

，Vp：单位压力

P

伯努利积分前提：理想流体作定常或非定常无旋运动

V2

L：单位质量流体的动能；

2

口：单位质量流体的压力能

U:质量力的势函数，单位质量流体的位势能

C:不同流线上C值不同，表示总能量值

4-2（1）汽化器的真空度P.=pa~p,pa为大气压，p为绝对压力，取汽化器的轴线为流

线，无穷远处的压强为2,速度为0,进气管压强为P,速度为V

由伯努利方程得：且+Z+E=2L+Z+0

/i2g/,

真空度：//、//。/。、2or”AZ,•

Pv=Pa-P\=Y\（—）=P8（—）=—=—（1------）=.8776.4N/m

2g2g221^2

（2）由伯努利方程得:

上+4+2=%+0

%2g

,12

Yih+-pv；=pu-p2

；pv；=P「泮

v=4.2]f?i/s

Q=V5=v.1-Jid2-120cm's

4

4-3以S2处的轴线为X轴，以竖直管轴线为y轴，建立直角坐标系

2

由伯努利方程K+zH......-const

Y2g

V22

得P,=P2+-(2~V,)=47954P刀

户+(-PJS：=p(f)$(-匕):+QV2s2f

22

.-.F=(pv,S,+pv2S2+p,S,)i=359.65M

工=359.65N,工=0

由动量矩方程得xHj+0=Fxej-ptsjxHj

e=那」+P冏.〃=068H

F

4-4•.•°=KS=KEK=2.548m/s,V2=4.529m/s

伯努利方程且+z+止=4+z,+工

/'2gy2g

由4=z?,得="J+夕忆_氏)=837"/62

夕(一M)，匕/+pv2s2(cos60°f+sin60°7)=F+pxsj-p2s2(cos60°/+sin60°j)

2

Fy=夕射22s2cos60°+p2s2cos60°--pv}S}

：.工=326N,F、,=-26L48M作用点位置在8P2的交点上。

Az

4-5体积流量Q=------294"-------=().03加3/

9.8，"/s'•999.04kg/m3s

同理2=().()12加is°-2=0018M/s

根据动量方程有：

月=夕(一％)%S°+夕232cos«)S2

Fy=。(一%HE+pv2{y2sina)52

由伯努利方程上+z+^—=const

Y2g

得%=匕=%

sina=—=—=—,a=41.8。

S2Q23

Fx=pv。（。2cos。-Q）=T97.03N,Fv=0.

4-6取控制体左半部分

取流线Af氏匕=0,%=也证

列动量方程QWW（吊=一%（（/；+R（x）=R（x）=（pv,2+Po）.d；

右半部分：

,12

P8fh+-PV-+PQ=PZ

=Pz=Po+Pgh2

（pg色+%咛"；=（pv,2+p*d；

4（夕g4+P0）=2Pg瓦+%=>%=1九一•

2pg

4-7设S,处速度为匕,设52处速度为匕，

Q=V5=%S2,即用=2,匕=2

沿管线轴中心线为流线，由伯努利方程得：

22

旦+2二三+捍，其中，P2=P]+hg（P〃1P）

72gy2g

>>i

zV2V.1,22\

P2-Pl=pg（;^--十）=彳。（匕一匕）

=ga*_=力g（g”-q）

Q2（S；-S；）=2hg91n-A

S-

Q=I2hg（Pm-a

也-S：P

4-9R点：%=_L（COS0-COSC]X2=E，方向为指向纸外

K2）2R

P点：V/,=—fcos0-cos-lx2=--方向为指向纸外

cosO-cos^

Q点：%x2+

4

方向为指向纸外

5-1,r,

(1)由点涡形成的速度分布可得匕=__L-

24厂

在(0,-5)点，10=.「，得「=100万

27rx5

(2)(0,5)点的速度分布为：〃=10+型如=10+10=20加s(方向指向x)，

2;rx5

u=06/s

过驻点的流线方程：C=/y+—Inr=一5〃()+50仇5

2万

即:y+5/〃：+5=0

5-2点源与点汇叠加后速度势、流函数及复势分别为：

9=等11J(x+l!+y2-扫ny/(x-2)2+y2

,20y40y

(b=——arctan--------arctan——

2乃x+12%x-2

W(z)=|^n(z+1)-3n(z-2)

复速度：^=io.L_2oL

dz4z+17iz-2

10x+120尢-210y20y

乃(x+l『+y2兀(X-2)2+y271(x+1)2+y2"(x-2)2+y2

徂10x+l20x-2

1讨〃=--------r----------------z----

冗(x+l)~+y271(x-2)4-/

U)y20y

冗(x+l)2+y27t(x-2)2+y2

5-4(1)

w(z)=0(x,y)+i”(x,y)

(p=^udx+vdy=jv0cosadx+jv0sinady=v0cosa•x+%sina•y

=-jvdx+udy=-%sina•x+%cosa-y

W

,a

w(z)=0(x,y)+i咳(x,y)=v0cosa-(x+iy)+vQsina\y-ix)=v0cos«•z-/v0sina-z=vQze~

=m

m夕=Jvrdr-\-verdOdr=——Inr

vr=---2乃

<2兀r=

(2)

，坨=0w=J-3r+v“，=底d0=—0

27r

mmm

卬(/z)、=——1Inr+——1IneiO=——1Inz

2九2424

点源位于(a,0),通过坐标平移，得Mz)=3」n(z_z。)

27r

5-5利用镜像法，得

222

(P=InJ(x-a)+V+jn^(x+tz)4-y

mymy

夕=——arctg----+——arctg----

2万x-a2乃x+a

/、.m”，、m、，、

vv(z)=(p+w-——ln(z—a)+——ln(z+〃)

2TT2〃

8(pmx-ax+a,

u=—=—[r----------r+----z——-]

dx2〃(x-a)(x+a)+y

丫=丝=&[一一+一>:一1

dy2TU(x-a)2+y2(x+4z)24-y2

x-ax+a

n=------------1---------

将加=2万代入，得](x-a)2+y2(x+a)2+y2

--—+_2：__?

(x-tz)2+y2(x+a)2+y2

w=-2---■

固壁上，x=o代人：〃~+y

当y=±。时，v最大，vmax=±—

a

6-1海洋波视为平面进行波

2=—=145AW,^=—,c=—=.l—thkh=\5m/s

R2k\k兀

6-2视其为无限深平面进行波，故。=色=

k

6-3证明：w（z）=Acos（弓■（4+汨）一。/

Acos(今"-Or)+今2乃())+")，=Acos7.71x-Q.t\ch^-^y+H)-zsin2/r%-可§吟(y+“)

ATT

24

所以9=cosx-Qrjc/?—(y+/7)

T

d(p24.2乃

-I-=——Acos

dyAT

乂济g*°（y=o）

联立上两式得,

6-5

2==60c

k

co

c=一=>c=牛a9.36"?/s,4=6ca56.15m

k

co2=kg

(c-wt.)xl6.5=702

-=>2=25.45”,u=c--=2.06m/s

)x6=2e6

6-6(1)由g(z=o)可得

g%

।4

&=——coBchkhcos(fcr+69/)=Acos(fct+d7/),故5=-

（2）由券展=°

(z=0)可得

-orBchkhsin(fcr+创)+gkBsin("+cot^shkh

ar=gkthkh

6-7设波形为J=gcos(Ax-创)

则四二一〃sin(k/),tan/?=—Z:=>Z:=2tan—=5.7

dx2V728

对无限水深进行波co=y[gk^7.48/72/5

7-1由圆管内定常层流理论得

得22)

△p_8〃Q_8x71//x16

/一乃a4-万x(0.075)"

duNp

=u—=----r

dr21

△pAp_2r0_2x48N/>

一五"'7~~a~―0.075

470A4r/3

力,v=万=3.5x10-8*/s

16x8x71'p16x8Q/?

7-2混合长度理论的基本思路是把湍流中微团的脉动与气体分子的运动相比拟。普朗德假定

在湍流中y向的流动只有在经过某一段距离L（分子平均自由行程相当的长度）才将所携带

的动量交给相邻层。（L称为混合长度）

7-3由于二元流动连续性方程，N一一S方程及边界条件建立如下方程组

答▽•(")=()

-^=7--VpvV2v+1^z(V.v)

rL=0

Hl=Pa

0=o

'y=±h«Lo

因为流体不可压缩，所以▽•/=（）

dudv八

—+—=0

dxdy

dud

u—+v—七号x」型驾2+粤2

dxdypdx+J[dxdy)1

2

dvdprIdp(dv

u---1-v—

dx5

r|=0P\y=H=Pa叱用=0叱=0=0

\y=h

因为平板无限大，忽略端部影响，考虑“内=0则流体只沿X方向流动，即v=。

du/x

/.——=0nu=u(y)

dxv7

j

又:=gsin夕fy=~gcos0

[3〃

/.-gcos0=------，:.p=-ypgcos0+C](x)

pdy

,1dC82U

sin6n/=------Lt+L>—r=const

pdydy2

2

积分得〃=■一gvsin。9—y+C3y+C4»其中C)==const

I〃)2dx

应用边界条件r=〃4£=(。2-pgsinJ)/7+G

p=-ypgcos0+C1(x)|)=-pghcos0+C1=pa

Cj=pghcos0+paC2=0,C3=pghsinC4=0

u=---sin0y2+pgsin0y

2v

p=-ypgcos6+pghcos0+Pa=pgcos(/?-y)+pa

7-4因为不计质量力，流动应满足的基本方程和边界条件

dudv

一+一二0(1)

dxdy

叱=，械-1”=。

因为平板无限长，忽略端部影响，即v=0

代入（1）式，得包=o“=〃（）,）

dx''

代入（2）、⑶式得

0」2+悬0」曳

pdxdy2pdx

1opd2ud2u_1dp

・•・P=P(x)------=U—

pdxdy72dy2/idx

代入边界条件得

1dp

+Cj/ij+C1—VQ⑹

2内dx

1dp

+G"+C4=0⑺

24

C2=C4=0……(8)

又因为平板无限长，p与x无关

空=0...............(9)

dx

由⑹-(9)式可得。2=。4=0,C,，组％,曳/?

34dx

1dp

yQ<y<h

3内dx}

1dp

<y<0

3外dx

y+外」生

Q<y<\

IL2dx

7-6(1)沿管道轴线的粘性流体列伯努利方程

22

lL

^-+a,^-+Z,+HT=^+al^+Z2+\H

y2gy2g

其中Z、=Z"a、=a、=2(层流)

\p=p}-p2-y\H%=0

=A%=2—

Repumdygumd

\p=科=y♦64)一.-曝=32〃”，=0.836xlO4Pa

Ygu,„dd2gd2

=0.466/n/s

z"'!44

__.jlr*-1-»ZC3Cz7VCl.7V(1

7-7查表得〃=——-=\.24m/s,Q=-----bp=-------Np

7ta8〃/3ypl

Ap=亚华=3.0x105出

7ta

r0=—a=6.246尸。

7-8(1)a-4•=&P_kpd_△。/⑴

-11

i2，r2—i，,一］")»()

-pu-m7tdl-pu-ml2pl\umd)

Re=江,...“2/2=Re?4..(2)

u

将(2)式代入(1)式得2=16"3。16Aq3w」

p/Re2u2/〃2Re2

(2)由N-S方程［4)包］=_L虫

rdr\dr)//dx

2

得〃=^--r+QInr+C2

4^dx'2

由边界条件得G=o,c,=-燧虫

4〃dx

上型)型=丝

4〃dx'0'dxI

8-1

(1)潜艇在风洞中作定常运动时，所受总阻力均与航速U、特征长度L、气密度Q、粘性u有关，即

Rt=f\U,L,p,u)

C一及

f_122?_UL

应用不定理得无因次系数C=/Rei,其中2PUL为总阻力系数，Re=工为雷诺数.

(2)潜艇近水面水平直线航行时的阻力实验Rt=f>U,L,p,u,g<

1/(Re,»)

2-Z2

C,=、&……口阻力系D,Re=匹，尸，=旦……弗口德口

8-2

(1)在水池中兴波阻力&=f'U,L,p,g)

D7J

———=/iFr)Fr=~^=

“定理：西"闩展

w

-T-=/'Fr)-一兴波阻力

粘性阻力：%=WLpw

—生一=/iRe)Re=—

*”2v

u>_u.P—实船

今限显7疯1％一模型

fReFr2

(2)在风洞中：%=0,Rf=『'U,L，P，PO,3

Req

-Z——-——=/iRe,Eui

V

C4/Z.R="为

fRefL

8-3

(1)水雷悬于深水中