第四章-章末复习课

章末复习课一、指数、对数的运算1．指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及换底公式等，会利用运算性质进行化简、计算、证明．2．掌握基本运算性质，重点提升数学运算素养．例1化简并计算(式中字母均为正数)．(1)(－)÷()；(2)＋eq\r(π－42)－＋lg4＋2lg5＋log49·log34.解(1)原式＝··÷＝···＝·＝4x·.(2)原式＝＋|π－4|－32·＋lg4＋lg25＋2log43·log34＝3＋4－π－18＋lg(4×25)＋2eq\f(lg3,lg4)·eq\f(lg4,lg3)＝－π－7.反思感悟指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．跟踪训练1计算：(1)1－－eq\f(1,2＋\r(3))－＋(eq\r(7)－eq\r(103))0；(2)log20.25＋lneq\r(e)＋＋lg4＋2lg5－eq\r(4,－24).解(1)1－－eq\f(1,2＋\r(3))－＋(eq\r(7)－eq\r(103))0＝1－eq\r(3)－eq\f(2－\r(3),2＋\r(3)2－\r(3))－＋1＝1－eq\r(3)－2＋eq\r(3)－＋1＝－eq\f(3,2).(2)log20.25＋lneq\r(e)＋＋lg4＋2lg5－eq\r(4,－24)＝log2eq\f(1,4)＋＋＋lg4＋lg52－eq\r(4,24)＝－2＋eq\f(1,2)＋81＋lg100－2＝79eq\f(1,2).二、指数函数、对数函数的图象及其应用1．指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题．2．掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养．例2已知a>0且a≠1，则函数f(x)＝ax和g(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))的图象只可能是()答案C解析函数g(x)的定义域是(－∞，0)，排除A，B，若0<a<1，则f(x)＝ax是减函数，此时g(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))是减函数，C，D都不满足，若a>1，则f(x)＝ax是增函数，此时g(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))是增函数，C满足．反思感悟指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换．跟踪训练2对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()答案A解析若0<a<1，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，又由函数y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴x＝eq\f(1,2a－1)在y轴左侧，排除C，D.若a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，函数y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴x＝eq\f(1,2a－1)在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足．三、指数函数、对数函数的性质及其应用1．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或解不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围．2．掌握指数函数、对数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养．例3(1)设a＝log2π，b＝，c＝π－2，则()A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>b>a答案C解析∵a＝log2π>log22＝1，b＝<＝0，c＝π－2＝eq\f(1,π2)，即0<c<1，∴a>c>b.(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.①求a的值；②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－logaeq\r(x)＋2的值域．解①因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函数y＝(log3x)2－log3eq\r(x)＋2＝(log3x)2－eq\f(1,2)log3x＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3x－\f(1,4)))2＋eq\f(31,16).令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))2＋eq\f(31,16)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(31,16)，\f(5,2)))，所以所求函数的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(31,16)，\f(5,2))).反思感悟要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质．方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；大小比较问题可直接利用单调性和中间值解决．跟踪训练3若0<x<y<1，则()A．3y<3x B．logx3<logy3C．log4x<log4y D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))y答案C解析因为0<x<y<1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误．对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确．对于D，函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x在R上单调递减，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))y，D错误．四、函数的零点与方程的根1．函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间，主要利用了转化思想，把零点问题转化成函数与x轴交点以及两函数交点问题．2．掌握函数零点存在定理及转化思想，提升逻辑推理和直观想象素养．例4(1)设函数f(x)＝log2x＋2x－3，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案B解析因为函数f(x)＝log2x＋2x－3，所以f(1)＝log21＋21－3＝－1<0，f(2)＝log22＋22－3＝2>0，所以根据函数零点存在定理可知在区间(1,2)内函数存在零点．(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex＋a，x≤0，,3x－1，x>0))(a∈R)，若函数在R上有两个零点，则a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－∞，1)C．(－1,0) D．[－1,0)答案D解析由3x－1＝0可得x＝eq\f(1,3)>0，若函数在R上有两个零点，可转化为ex＋a＝0在x≤0上有一个实根，即y＝－a与y＝ex在x≤0上有一个交点，因为x≤0时，ex∈(0,1]；又y＝－a与y＝ex在x≤0上有一个交点，所以0<－a≤1，即－1≤a<0.反思感悟(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇒函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇒函数y＝f(x)有零点．(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．跟踪训练4(1)方程eq\f(x3,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的根x0所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案B解析将方程变形，并构造函数f(x)＝eq\f(x3,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，因为y＝eq\f(x3,4)和y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x均为增函数，所以f(x)＝eq\f(x3,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x也为增函数，由函数解析式可得f(0)＝0－1＝－1<0，f(1)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)<0，f(2)＝2－eq\f(1,4)＝eq\f(7,4)>0，由函数零点存在定理可得f(x)＝eq\f(x3,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的零点在(1,2)内，即方程eq\f(x3,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的根x0所在的区间为(1,2)．(2)设[x]表示不超过实数x的最大整数，则方程2x－2[x]－1＝0的根有()A．4个B．3个C．2个D．1个答案B解析方程2x－2[x]－1＝0根的个数等价于y＝2x－1与y＝2[x]的图象交点个数，在平面直角坐标系中，分别作出两个函数的图象如图所示：由图象可知，两个函数共有3个不同的交点，∴方程2x－2[x]－1＝0有3个根．1．(2019·全国Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a答案B解析∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b.2．(2019·全国Ⅱ)若a>b，则()A．ln(a－b)>0 B．3a<3bC．a3－b3>0 D．|a|>|b|答案C解析由函数y＝lnx的图象(图略)知，当0<a－b<1时，ln(a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|，故D不正确．3．(2019·全国Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则()A．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))>>B．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))>>C．>>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))D．>>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))答案C解析根据函数f(x)为偶函数可知，

f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))＝f(－log34)＝f(log34)，因为0<<<20<log34，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以>>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4))).4．(2019·全国Ⅲ)函数y＝eq\f(2x3,2x＋2－x)在[－6,6]的图象大致为()答案B解析因为f(x)＝eq\f(2x3,2x＋2－x)，所以f(－x)＝eq\f(－2x3,2－x＋2x)＝－f(x)，且x∈[－6,6]，所以函数y＝eq\f(2x3,2x＋2－x)为奇函数，排除C；当x>0时，f(x)＝eq\f(2x3,2x＋2－x)>0恒成立，排除D；因为f(4)＝eq\f(2×64,24＋2－4)＝eq\f(128,16＋\f(1,16))＝eq\f(128×16,257)≈7.97，排除A.5．(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26