复数函数10x课件

主要内容复数的几种表示及运算；区域，曲线；初等复变函数。

Cauchy

-

Riemann

方程：(1)判断可导与解析，求导数；

Fourier

变换的概念,δ函数，卷积。

Cauchy

积分公式，Cauchy

积分定理，高阶导数公式。

Laurent

展式。留数：(1)计算闭路积分；保形映射：(1)求象区域；

利用Laplace变换求解常微分方程(组)

。(2)构造解析函数。(2)计算定积分。(2)构造保形映射。1一、构造解析函数问题已知实部u，求虚部v

(或者已知虚部v，求实部u

)，使解析，且满足指定的条件。注意

必须首先检验

u

或

v

是否为调和函数。方法

偏积分法

全微分法

(略)2方法

偏积分法一、构造解析函数(

仅考虑已知实部

u

的情形

)(2)将

(A)

式的两边对变量y

进行(偏)积分得：其中，已知，而待定。(3)将

(C

)

式代入

(B

)

式，求解即可得到函数(1)由

u

及

C

-

R

方程得到待定函数

v的两个偏导数：(A)(B

)(C

)3二、将函数展开为洛朗级数根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。两个重要的已知展开式2.间接展开法1.直接展开法(略)4二、将函数展开为洛朗级数r1r2r3都需要根据函数的奇点位置，将复平面(或者题目指定无论是直接展开法还是间接展开法，在求展开式之前，注意的展开区域

)分为若干个解析环。比如设函数的奇点为展开点为则复平面被分为四个解析环：5则特别，若若为的可去奇点，则法则若为的本性奇点，则在的邻域内展开为洛朗级数。三、利用留数计算闭路积分

1.计算留数若为的

m

级极点，则法则6注意只需计算积分曲线

C

所围成的有限区域内奇点的留数。三、利用留数计算闭路积分

2.计算闭路积分7其中，三、利用留数计算闭路积分

2.计算闭路积分8要求R(u,v)是u,v

的有理函数。四、计算定积分(2)1.方法(1)令其中，

是在内的孤立奇点。9其中，

是在上半平面内的孤立奇点。

四、计算定积分要求(1)P(x)

,Q(x)为多项式，(2)分母

Q(x)的次数比分子

P

(x)的次数至少高二次

,(3)分母Q(x)无实零点。

2.设方法则10四、计算定积分要求(1)P(x)

,Q(x)为多项式，(2)分母

Q(x)的次数比分子

P

(x)的次数至少高一次

,(3)分母Q(x)无实零点。

3.设方法则其中，

是在上半平面内的孤立奇点。113.四、计算定积分要求(1)P(x)

,Q(x)为多项式，(2)分母

Q(x)的次数比分子

P

(x)的次数至少高一次

,(3)分母Q(x)无实零点。

特别12(1)预处理工具：几种简单的分式映射、幂函数等。五、构造保形映射目标：使边界至多由两段圆弧(或直线段)构成。(2)将区域映射为角形域或者带形域方法：将边界的一个交点

映射为

∞；z1另一个(交)点映射为

0。z2[]工具：

步骤(一般)13(3)将角形域或者带形域映射为上半平面步骤(4)将上半平面映射为单位圆(一般)工具：

(对于角形域)工具：

(无附加条件)(由附加条件确定

)五、构造保形映射14六、求解常微分方程(组)步骤得到象函数求解微分方程(组)象函数的代数方程(组)Laplace正变换微分方程(组)的解Laplace逆变换(1)将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)；

(2)求解代数方程得到象函数；

(3)求

Laplace

逆变换得到微分方程(组)的解。

工具15几个常用函数的

Laplace

变换六、求解常微分方程(组)16

已知复数的实部与虚部，求模与(主)辐角。七、其它

求复数的方根求导公式对数函数幂函数17七、其它

柯西积分定理函数在

D

内解析，在边界

C

上连续，则柯西积分公式函数在

D

内解析，在边界

C

上连续，则高阶导数公式函数在

D

内解析，在边界

C

上连续，则18七、其它

幂级数的收敛半径(1)比值法如果则收敛半径为(2)根值法如果则收敛半径为函数在点展开为泰勒级数，其收敛半径等于从点到的最近一个奇点的距离。(3)求保形映射下的象区域(1)分式映射、幂函数以及指数函数的映射特点。(2)保形映射的分解与复合。19单位冲激函数(2)对称性质

(1)

筛选性质

(3)

重要公式

卷积与卷积定理七、其它

20一、填空题(1)的模为，辐角主值为

.。

.

(2)的值为的值为

，

.。(3)伸缩率为处的旋转角为映射

w=z3-z在

z=i

.。

，.

(4)在区域

D

内解析的函数

.。充要条件为复变函数与积分变换试题(一)21(7)

.。(5)在

z0=

1

+

i处展开成泰勒级数的

.。收敛半径为的何种类型的奇点?(6)z

=

0

是

.。

(8)，已知

.。求22二、验证z

平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使是三、将函数分别在

与

处展开为洛朗级数。四、计算下列各题

1.3.2.4.

，，求。5.已知23六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。i-i五、求区域在映射下的像。八、设函数在上解析，证明七、用拉氏变换求解微分方程24一、填空题(1)的模为，辐角主值为

.。

.

(2)的值为的值为

，

.。(3)伸缩率为处的旋转角为映射

w=z3-z在

z=i

.。

，.

(4)在区域

D

内解析的函数

.。充要条件为复变函数与积分变换试题(一)解答14u

,

v在

D

内可微，且满足

C

-

R

方程25(7)

.。(5)在

z0=

1

+

i处展开成泰勒级数的

.。收敛半径为的何种类型的奇点?(6)z

=

0

是

.。

(8)，已知

.。求可去奇点026故

u(x

,y)

为调和函数。(1)解二、验证z

平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使是(2)方法一：偏微分法由由即得27(2)方法二：全微分法解即得由有(3)由二、验证z

平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使是28解(1)在

z

=

1

处展开①

当时，三、将函数分别在

与

处展开为洛朗级数。1229解(1)在

z

=

1

处展开②

当时，12三、将函数分别在

与

处展开为洛朗级数。30①

当时，②

当时，12解(2)在

z

=

2

处展开三、将函数分别在

与

处展开为洛朗级数。31四、1.解方法一

利用留数求解z

=

0

为二级极点，原式方法二

利用高阶导数公式求解原式32原式2.四、解z

=

1

为本性奇点，333.四、(1)原式

=解令则原式343.四、(1)解原式(2)记则有两个一级极点：(不在

内)原式=35在上半平面有两个一级极点4.四、令解原式

36(1)当时，

，，求。5.已知四、(2)当时，解370(z)i五、求区域在映射下的像。解(1+i)/2(w)021ii/21+i138-

ii-i(z)六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。解(z2)(z1)(w)39七、用拉氏变换求解微分方程代入初值得求解得对方程两边取拉氏变换得解(1)令40解(2)求拉氏逆变换方法一利用部分分式求解七、用拉氏变换求解微分方程41解(2)求拉氏逆变换方法二利用留数求解两个一阶极点有一个二阶极点七、用拉氏变换求解微分方程42解(2)求拉氏逆变换方法二利用留数求解七、用拉氏变换求解微分方程43由于(2)左边=八、设函数在上解析，证明证明(1)被积函数有两个一阶极点故在之外；44复变函数与积分变换试题(二)一、填空题(1)，辐角主值为

。

.(3)的值为

.。(2)何处解析？函数

.；复数的模为在何处可导？(4)在处展开成泰勒级数的

.。收敛半径为

.。函数45(6)

.。(5)z=0为函数的何种类型的奇点？(8)函数的

Fourier

变换为

.。积分的值为(7)伸缩率为映射在处的旋转角为

.。

。.

.。46四、将函数

分别在

和

处展开为洛朗(Laurent)级数。使得为解析函数且满足条件三、已知求常数

a

及二元函数二、计算题1.3.2.4.47七、利用

Laplace

变换求解微分方程组八、设函数在上解析，且满足证明：六、求把区域

映射到单位圆内部的保形映射。五、求区域在映射

下的像区域。48一、填空题(1)，辐角主值为

。

.(3)的值为

.。(2)何处解析？函数

.；复数的模为在何处可导？(4)在处展开成泰勒级数的

.。收敛半径为

.。函数复变函数与积分变换试题(二)解答在直线x

=

y

上处处不解析149(6)

.。(5)z=0为函数的何种类型的奇点？(8)函数的

Fourier

变换为

.。积分的值为(7)伸缩率为映射在处的旋转角为

.。

。.

.。可去奇点50二、1.解令(1)z1

=0为的可去奇点，(2)z2

=1

为的二阶极点，(3)原式512.二、解令则z=0

为的本性奇点，原式52(1)令则解3.二、原式(2)令则有两个一阶极点：(3)原式(不在

内)53二、4.则在上半平面有一个一级极点(2)原式解(1)令54故使得为解析函数且满足条件三、已知求常数

a

及二元函数解(1)首先u(x,y)必须为调和函数，即55解使得为解析函数且满足条件三、已知求常数

a

及二元函数(1)由得由得即得(2)方法一偏微分法56解使得为解析函数且满足条件三、已知求常数

a

及二元函数(1)(2)方法二全微分法即得由得57解使得为解析函数且满足条件三、已知求常数

a

及二元函数(1)(2)(3)由58①

当时，解(1)在

z

=

0

处展开i1四、将函数

分别在

和

处展开为洛朗(Laurent)级数。59解②

当时，(1)在

z

=

0

处展开i1四、将函数

分别在

和

处展开为洛朗(Laurent)级数。60解(2)