专题06 利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略（原卷版）

专题06利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一几何图形中的最小值问题】 1【类型二实际问题中的最短路径问题】 13【类型三一次函数中线段和最小值问题】 19【类型四一次函数中线段差最大值问题】 28【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【变式训练】1．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（

）

A．7 B．9 C．10 D．142．（2023秋·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点C为线段上一动点，则周长的最小值为（

）

A．4 B．9 C．11 D．133．（2022春·七年级单元测试）如图，中，，，，点在上，且，点在的平分线上运动，则的长度最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023秋·甘肃·八年级统考期末）如图，，M是边上的一个定点，且，N，P分别是边上的动点，则的最小值是．5．（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为．

6．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，点，分别是角两边、上的定点，，．点，分别是边，上的动点，则的最小值是．

7．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．

(1)直接填空：与的位置关系是__________；(2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值；(3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？8．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点为边上一动点（点不与点，点重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；

【类比探究】（2）如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，猜想并证明：①与的位置关系为：___________；②线段、、之间的数量关系为：___________．【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【类型二实际问题中的最短路径问题】例题：（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．2．（2021秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米，(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．3．（2023春·全国·七年级专题练习）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．问题提出：(1)如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点，求的最小值．问题解决：(2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池，从蓄水池处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为千米，千米，千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠上选择蓄水池的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用．【类型三一次函数中线段和最小值问题】例题：（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边在第二象限内作等腰．（可能用到的公式：若，①中点坐标为；②(1)求线段的长；(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式．(3)点D是中点，在直线上是否存在一点P，使得有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【变式训练】1．（2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中）一次函数的图像经过两点，．点在这个函数图像上(1)求这个一次函数表达式；(2)求的值；(3)点C为的中点，点P为上一动点，求的最小值．2．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，直线经过点，与直线：交于点．

(1)求的值和直线的解析式；(2)直线与轴交于点，求的面积；(3)在轴上是否存在点，使得的值最小，若存在，请求出的最小值，若不存在，请说明理由．3．（2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中）如图1，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴，y轴分别交于C，D两点，两直线相交于点P，已知点C的坐标为，点P的横坐标为．(1)直接写出点A、P的坐标，并求出直线的函数表达式；(2)如图2，过点A作x轴的垂线，交直线于点M，点Q是线段上的一动点，连接，当的周长最小时，求点Q的坐标和周长的最小值．(3)在第（2）问的条件下，若点N是直线上的一个动点，以D，Q，N三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出此时点N的坐标．【类型四一次函数中线段差最大值问题】例题：（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图所示，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点．(1)求点的坐标；(2)点在直线上运动，求出满足条件且异于点的点的坐标；(3)点为轴上一定点，当点在直线上运动时，请直接写出的最大值．【变式训练】1．如图①，平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A（﹣10，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣x交于点C（a，7）．(1)求直线AB的表达式；(2)如图②，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝﹣x于点F，交直线y＝kx＋b于点G，若点E的坐标是（﹣15，0），求△CGF的面积；(3)点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；2．在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点，连结，∵点B，关于直线l对称，点C，在l上，∴_________，_________，∴_________．在中，∵，∴，即最小．(1)请将证明过程补充完整．（直接填在横线上）(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．(3)如图，平面直角坐标系中，，P是坐标轴上的点，则的最大值为_________，此时P点坐标为_________．（直接写答案）3．如图，在直角坐标系中，直线l：y＝x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x＝﹣2交AB于点C，D是直线x＝﹣2上一动点，且在点C的上方，设D（﹣2，m）（1）求点O到直线A