专题03 一元二次方程（重点）（解析版）

专题03一元二次方程（重点）一、单选题1．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）下列关于的方程中，是一元二次方程的是（

）．A．（其中a、b、c是常数） B．C． D．【答案】B【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【解析】解：A、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意；B、是一元二次方程，符合题意；C、整理之后为，是一元一次方程，不符合题意；D、，分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，一般形式为：．2．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程时，在方程两边应同时加上（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据配方法的步骤，利用完全平方公式进行求解即可．【解析】解：进行配方，方程两边应同时加上一次项系数的一半的平方，即∴，∴在方程两边应同时加上．故选：C．【点睛】本题考查配方法，用配方法解一元二次方程得一般步骤：（1）化二次项系数为，当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；（3）配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．熟知配方法的步骤是解题的关键．3．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（

）A．或1 B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得，再解关于的方程，然后利用一元二次方程的定义确定的值．【解析】解：把代入，得，解得或，而，所以的值为．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的总营业额万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据增长率分别表示出二月、三月的营业额即可求解．【解析】解：由题意得：二月的营业额为：三月的营业额为：故一月、二月、三月的总营业额为：故根据总营业额为万元，可列方程为：故选：D【点睛】本题考查增长率问题．分别表示出二月、三月的营业额是解题关键．5．（2023·上海·八年级假期作业）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．且【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【解析】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．6．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程的一个根，那么这个三角形的周长为（

）A．6或8 B．8 C．17或19 D．19【答案】D【分析】根据方程求得方程的两根，再根据三角形的三边关系，求得三角形周长即可．【解析】解：∵第三边的长为二次方程的一根，∴，∴，，∵，∴边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，∴三角形的周长．故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题关键．7．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）下列二次三项式在实数范围内一定能因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】转化一元二次方程根的判别式计算判断即可．【解析】A.∵中，，∴无实数根，故在实数范围内不能因式分解，不符合题意；B.∵中，，∴有两个不相等的实数根，故在实数范围内能因式分解，符合题意；C.∵中，，无法确定属性，∴不一定有实数根，故在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意；D.∵中，，∴无实数根，故在实数范围内不能因式分解，不符合题意；故选Ｂ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．8．（2022秋·上海宝山·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程，其中a、b在数轴上的对应点如图所示，那么这个方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根； D．只有一个实数根【答案】A【分析】由数轴可知：，，然后计算根的判别式的值即可得出答案．【解析】由数轴可知：，∴；∴方程有两个不相等的实数根故选：A【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法、某点在数轴上的位置确定其正负是解题的关键，属于基础知识题．9．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）如图，要建一个面积为65平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为米，则可列方程为（

）．

A． B．C． D．【答案】A【分析】设仓库的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有能围成32米长的木板，那么平行于墙的一边长为米，而仓库的面积为65平方米，由此即可列出方程．【解析】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，则平行于墙的一边长为米，依题意得，即故选：A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系．10．（2021秋·上海·八年级期中）若实数a，b满足，则a的取值范围是（）．A．a≤ B．a≥4 C．a≤或a≥4 D．≤a≤4【答案】C【分析】把a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，由△≥0，得关于a的不等式，解不等式即可．【解析】把a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2−ab+a+2＝0的判别式△≥0，即a2-4（a+2）≥0，a2-2a-8≥0，（a-4）（a+2）≥0，解得a≤-2或a≥4．故选C．二、填空题11．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）方程的解是．【答案】，【分析】将方程变形后，直接开平方求解即可．【解析】解：∴解得：，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．12．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）一元二次方程的根的判别式的值是．【答案】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，此题得解．【解析】解：∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式并根据其符号确定一元二次方程的根的情况是解题的关键．13．（2022秋·上海·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：．【答案】【分析】根据公式法解，得出，再根据因式分解即可得出答案．【解析】解：由，得：，原式，故答案为：．【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键．14．（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）方程的解是．【答案】【分析】先将原方程变形为，再降次求解即可．【解析】解：方程即为，∴或（此方程无解，舍去），∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了解高次方程，掌握降次解答的方法是关键．15．（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向人发送短信．【答案】9【分析】设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，第一轮后共有人收到短信，第二轮发送短信的过程中，又平均一个人向x个人发送短信，则第二轮后共有人收到短信，根据这样经过两轮短信的发送共有90人收到同一条短信列出方程．【解析】解：设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，则：．整理得：解得或（舍去）故答案为：9．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．该类题解答的关键在于分析每一轮中发送的人数与接收的人数，并能结合题意，列出方程．16．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）已知，则．【答案】/【分析】设，则原式为，求解取值即可．【解析】解：设，则原式为，整理得：，配方得：，∴，，∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，算术平方根等知识，熟练掌握解一元二次方程即可．17．（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的方程(a，b是常数，)是“差1方程”设，t的最大值为．【答案】【分析】根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果．【解析】解：由题可得：∴解方程得，关于的方程、是常数，是“差1方程”，，，，，，时，的最大值为9．故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义．18．（2022春·上海·八年级专题练习）若将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q的形式，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，根据“降次法”，已知x2﹣x﹣1＝0，则x3+1的值为．【答案】【分析】利用x2＝x+1，得x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，用一元二次方程求根公式得x＝代入即可求得．【解析】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x＝且x2＝x+1，∴x3+1＝x•x2+1＝x（x+1）+1＝x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，∴x3+1＝2x+2＝2×+2＝．故答案为：．【点睛】本题考查了整体降次的思想方法，但降次后得到的是x的代数式，还要利用一元二次方程求根公式求出x的值，代入化简后的2x+2中计算出结果．三、解答题19．（2023·上海·八年级假期作业）用适当方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)(6)，【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解．【解析】（1）解：直接开平方可得：，或∴原方程的解为：，；（2）解：因式分解得：，∴原方程的解为：，；（3）解：，平方差因式分解得：，整理得：，∴原方程的解为：，；（4），提取公因式可得：，整理得：，∴原方程的解为：，；（5）解：∵方程，，∴原方程的解为：；（6），，因式分解得：，∴原方程的解为：，【点睛】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择．20．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）在实数范围内分解因式：【答案】【分析】令，将看作常数解得的值，继而求得答案．【解析】解：令，将看作常数，则，，，那么，则，那么原式．【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，一元二次方程的解法，令，将看作常数解得的值，是解题的关键．21．（2023·上海·八年级假期作业）已知关于x的一元二次方程有两个实数根(1)求m的取值范围；(2)请写出m的最小整数值，并求出此时方程的根.【答案】(1)且；(2)，．【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解不等式即可；（2）根据（1）的结论得到m满足条件的最小负整数为，则原方程化为，然后利用公式法解方程．【解析】（1）解：根据题意，得且，解得且；（2）解：m满足条件的最小整数值，则原方程化为，∴，∴，∴，．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．22．（2023·上海·八年级假期作业）已知，关于的一元二次方程，(1)若，求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若，为整数，且方程有两个整数根，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）对一元二次方程，先明确其各项系数，，的值，再利用判别式证明方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个整数根，即，由求出的范围，且必须为能被开方的奇数，据此列出关系式，求解．【解析】（1）证明：对关于的一元二次方程，其中，，，则，当时，，该方程有两个不相等的实数根．（2）解：由（1）得，方程有两个整数根，，．为平方数．，．为整数，为奇数．是大于小于的能被开方的奇数，即，解得．【点睛】本题考查对于一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握利用判别式分析一元二次方程根的情况是解题的关键．23．（2023·上海·八年级假期作业）一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数．【答案】或【分析】设个位数字为，则十位数字是．再建立方程，再解方程即可．【解析】解：设个位数字为，则十位数字是．根据题意可得：，整理得：．分解得：，

解得：，．答：原来的两位数是或．【点睛】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题，确定相等关系列方程是解本题的关键．24．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）某小区居委会为了方便居民的电瓶车充电，准备利用一边靠墙（墙长米）的空旷场地利用栅栏围城一个面积为平方米的电瓶车充电区，如图，为了方便进出，在两边空出两个宽各为米的出入口，一共用去栅栏米，请问长方形的充电区的相邻两边长分别是多少米？解：设这个长方形电瓶车充电区垂直于墙的一边是米，平行于墙的一边为米．根据题意得：（完成填空后继续解题）【答案】；长方形的充电区的相邻两边长分别是米和米【分析】令这个长方形垂直于墙的一边为宽，平行于墙的一边为长；设这个长方形的宽为米，则长为米，根据工作人员围成的这个长方形等候区的面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙长米，即可确定结论．【解析】解：设这个长方形电瓶车充电区垂直于墙的一边是米，平行于墙的一边为米，故答案为：；根据题意得：，解得：，，当时，（不合题意，舍去）；当时，．答：长方形的充电区的相邻两边长分别是米和米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．（2023·上海·八年级假期作业）如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．(1)若的面积是面积的，求t的值？(2)的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．【答案】(1)(2)不可能，见解析【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为：，的面积为，由题意列出方程解答即可；（2）由等量关系列方程求出t的值，但方程无解，从而可得答案．【解析】（1）解：由题意知，，，∴，，∴，

整理得，解得，答：当时的面积为面积的；（2）不能，理由如下：当时，，整理得，

∵△，∴此方程没有实数根，∴的面积不可能是面积的一半．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．26．（2023·上海·八年级假期作业）某乐园摊位上销售一批玩偶，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，摊主采取了降价措施．假设在一定范围内，玩偶的单价每降1元，摊主平均每天可多售出2件．(1)若某天该玩偶每件降价10元，则该玩偶的销量为______件，当天可获利________元；(2)如果该摊主销售这批玩偶要保证每天盈利为1400元，同时尽快减少库存，那么玩偶的单价应降多少元？【答案】(1)50；1500(2)20元【分析】（1）根据题意玩偶的单价每降1元，摊主平均每天可多售出2件，则降价10元，销量为件，根据销量乘以单件的利润求得获利；（2）设玩偶的单价降价元，根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．【解析】（1）解：依题意，某天该玩偶每件降价10元，则该玩偶的销量为件，当天可获利元；故答案为：50；1500．（2）解：设玩偶的单价降价元，根据题意，得，解得：，∵尽