专题03 难点探究专题：数轴上的动点问题之四大考点(解析版)

专题03难点探究专题：数轴上的动点问题之四大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一数轴上的动点中求运动的时间问题】 1【考点二数轴上的动点中求定值问题】 7【考点三数轴上的动点中找点的位置问题】 13【考点四数轴上的动点中几何意义最值问题】 16【典型例题】【考点一数轴上的动点中求运动的时间问题】例题：（2023秋·河南郑州·七年级统考期末）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．(1)当时，点到点的距离______；此时点所表示的数为______；(2)当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离______；(3)在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？【答案】(1)，(2)3(3)秒或秒【分析】（1）利用线段的长点的移动速度点的移动时间，可求出的长；利用点表示的数点的移动速度点的移动时间，可求出点所表示的数；（2）由点，的出发点、移动方向、移动速度及移动时间，可求出点出发秒时点，表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出此时的长；（3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，当移动时间为秒时，；又点表示有理数，当移动时间为秒时，点表示的数为．故答案为：，；（2）当点出发秒时，点表示的数为，点表示的数为，此时．故答案为：；（3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据题意得：，即或，解得：或．答：在的条件下，当点到达点之前，点移动秒或秒时恰好与点之间的距离为个单位．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为秒．(1)当时，线段的长为________（直接填空）；当时，线段的长为________（直接填空）；(2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值；(3)当线段的长为7时，直接写出t的值．【答案】(1)4，3(2)(3)8或9【分析】（1）分别求出当时，当点M和点N表示的数，然后利用数轴上两点距离公式求解即可；（2）先判断出当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，由此表示出运动t秒后点M和点N表示的数，再根据二者重合建立方程求解即可；（3）分当点N向点A运动的过程时，当点N在点A停留时，点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上M时，当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到点B前，当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点B后，表示出点N和点M表示的数，再根据的长为7建立方程求解即可．【详解】（1）解：当时，点M表示的数为，点N表示的数为，∴；当时，点N表示的数为，点N表示的数为，∴；故答案为：4，3；（2）解：由题意得，当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，此时运动t秒后，点M表示的数为，点N表示的数为，∴，解得；（3）解：当点N向点A运动的过程时，由题意得，解得，不符合题意；当点N在点A停留时，由题意得，，解得，不符合题意；当点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上M时，由题意得，，解得，不符合题意；当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到达点B前，由题意得，，解得；当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点B后停止运动，由题意得，，解得；综上所述，或．【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点距离公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．2．如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6．(1)直接写出、两点之间的距离___；(2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数；(3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值．【答案】(1)22(2)或(3)当时的运动时间的值为2或秒【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出、两点之间的距离；（2）设点表示的数为．分两种情况：①点在线段上；②点在线段的延长线上．根据列出关于的方程，求解即可；（3）根据点的运动方向分两种情况：①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据列出关于的方程，解方程即可．【详解】（1）解：、两点之间的距离是：；（2）解：设点表示的数为．分两种情况：①当点在线段上时，，，解得；②当点在线段的延长线上时，，，解得．综上所述，点表示的数为或；（3）解：分两种情况：①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，此时点表示的数为，点表示的数为，，，解得，符合题意；②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，此时点表示的数为，点表示的数为，，，当时，，解得；当时，，解得，不符合题意，舍去；综上所述，当时的运动时间的值为2或秒．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，结合动点考查了两点间的距离，以及路程、速度与时间关系的应用，理解题意，找到相等关系进行正确分类是解题的关键．3．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）知识准备：数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离就是线段的长，且，AB的中点C对应的数为：．问题探究：在数轴上，已知点A所对应的数是，点B对应的数是10．(1)求线段的长为___________；线段的中点对应的数是___________．(2)数轴上表示x和的两点之间的距离是___________；若该距离是8，则x=___________．(3)若动点P从点A出发以每秒6个单位长度的速度向右运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动．经过多少秒，P、Q两点相距6个单位长度？【答案】(1)14

3(2)

3或(3)1秒或2.5秒【分析】（1）直接代入题目中的公式即可求解；（2）代入公式，解绝对值方程求解；（3）分别用时间t表示P、Q点的数值，继而表示线段的长，解关于时间t的方程求解．【详解】（1），AB的中点C对应的数为：．故答案为14，3（2）若则∴答案为故

或（3）设运动时间为t秒，则点P运动后所对应的点为，点Q运动后所对应的点为，∴之间的距离为，当P、Q两点相距6个单位长度时，，解得或，∴经过1秒或2.5秒时，P、Q两点相距6个单位长度．【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题时表示动点的数值是解题的关键．【考点二数轴上的动点中求定值问题】例题：点在数轴上对应的数分别为，且满足．(1)如图，求线段的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图，点P在B点右侧，的中点为为靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值．【答案】(1)4(2)或(3)正确的结论为①的值不变，其值为2【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出的长；（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点P在数轴上对应的数是m，由确定出P位置，即可做出判断；（3）设P点所表示的数为n，就有，，根据条件就可以表示出，，再分别代入①和②求出其值即可．【详解】（1）解：∵，∴，，∴，∴．答：的长为4；（2）∵，∴，∴BC==5．设点P在数轴上对应的数是m，∵，∴，令，，∴或．①当时，，；②当时，，（舍去）；③当时，，．∴当点P表示的数为或时，；（3）解：设P点所表示的数为n，∴，．∵PA的中点为M，∴．∵N为的四等分点且靠近于B点，∴B，∴①=2（不变），②（随点P的变化而变化），∴正确的结论为①，且．【点睛】此题考查了数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，一元一次方程的解，解题的关键是灵活运用两点间的距离公式．【变式训练】1．阅读下面的材料：如图①，若线段在数轴上，A，B点表示的数分别为a，b，则线段的长（点A到点B的距离）可表示为．请用上面材料中的知识解答下面的问题：如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．(1)请你在数轴上表示出、、三点的位置，并直接写出线段的长度；(2)若将点A向右移动cm，请用代数式表示移动后的点表示的数？(3)若点B以每秒2cm的速度向左移动至点，同时点A，点C分别以每秒1cm和4cm的速度向右移动至点，点，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．【答案】(1)数轴见解析，cm(2)(3)不变，理由见解析【分析】（1）根据题目中点的运动可直接得出点、、的位置，进而可得出的长度；（2）根据“数轴上的点，越往右越大”可得出点A移动后所表示的数；（3）先分别表示，点，点所对应的数，再表达两点间的距离，进而可表示，最后判断它的值是否变化即可．【详解】（1）如图所示：．(cm)；（2）将点A向右移动cm，则移动后的点表示的数为；（3）的值不会随着t的变化而变化，理由如下：由题意可知，，点，点所对应的数分别为：，，，由点的运动可知，点在点的右侧，点在点的右侧，∴，，∴，∴的值不会随着t的变化而变化．【点睛】本题考查了数轴上点的运动，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．2．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向右移动到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示．(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；(2)把点C到点A的距离记为，则_______．(3)若点A沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为？(4)若点A以每秒的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒、的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值．【答案】(1)见解析；(2)；(3)秒或秒；(4)不变化，值为．【分析】（1）根据题意，在数轴上表示点A、B、C的位置即可；（2）利用数轴上两点间的距离公式解题；（3）分两种情况讨论：点A在点C的左侧或点A在点C的右侧；（4）表示出，再相减即可解题．【详解】（1）如图，（2）故答案为：；（3）①当点A在点C的左侧时：

②点A在点C的右侧时：所以，经过或秒后点A到点C的距离为3cm．（4）移动t秒后，，的值不会随着的变化而变化，．【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离等知识，掌握相关知识是解题关键．3．如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15．(1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____．(2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？(3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点．①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示）②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)，14，24(2)当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是﹣2(3)①；；②MN的长是定值，【分析】（1）数轴上点A右边的点B表示的数是点A表示的数加上这两个点的距离，数轴上点D左边的点C表示的数是点D表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B和点C表示的数，因为点C在点B的右边，所以用点C表示的数减去点B表示的数即得到线段的长；（2）设运动的时间为t秒，先确定点B表示的数为，点B与点C相距24个单位长度，两个点相向运动，则点B与点C重合时，点B与点C运动的距离和为24，列方程求出t的值再求出点B表示的数即可；（3）①先用t的代数式表示出A、B、C、D四点对应的数，再根据中点公式即可求解；②用两点间距离公式即可求解．【详解】（1）解：因为点A表示的数是，点B在点A右侧，且，所以，所以点B表示的数是；因为点D表示的数是15，点C在点D的左侧，且，所以，所以点C表示的数是14，点B与点C的距离是（单位长度），所以线段BC的长为24个单位长度，故答案为：，14，24．（2）设运动的时间为t秒，则点B表示的数是，根据题意得，解得，所以，答：当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是．（3）①根据题意得，t秒后点A对应的数为：，点C对应的数为：，∵M为中点，∴点M对应的数为：，t秒后点B对应的数为：，点D对应的数为：，∵N为中点，∴点N对应的数为：，故答案为：；；②线段的长为定值，∵点M对应的数为，点N对应的数为；∴，∴线段的长为定值．【点睛】此题考查数轴上两点的距离的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是正确理解行程问题中相遇问题和追及问题的数量关系并且用代数式和等式表示这些关系．【考点三数轴上的动点中找点的位置问题】例题：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．(1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数的点重合；(2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题：①表示数9的点与表示数的点重合；②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值．【答案】(1)-4(2)①-5；②A、B两点表示的数分别是-3，7；③x的值为-4或8．【分析】（1）先求出中心点，再求出对应的数即可；（2）①求出中心点是表示2的点，再根据对称求出即可；②求出中心点是表示2的点，求出A、B到表示2的点的距离是5，即可求出答案；③根据点P在数轴上的位置，分类讨论，当点P在点A的左侧时，当点P在点A、B之间时，当点P在点A的右侧时，根据各种情形求解即可．【详解】（1）解：∵折叠纸面，使数字1表示的点与-1表示的点重合，可确定中心点是表示0的点，∴4表示的点与-4表示的点重合，故答案为∶-4；（2）解：①∵折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，可确定中心点是表示2的点，∴表示数9的点与表示数-5的点重合；故答案为∶-5；②∵折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），∴A、B两点距离中心点的距离为10÷2=5，∵中心点是表示2的点，∴A、B两点表示的数分别是-3，7；③当点P在点A的左侧时，∵PA+PB＝12，∴-3-x+7-x=12，解得x=-4；当点P在点A、B之间时，此时PA+PB=12不成立，故不存在点P在点A、B之间的情形；当点P在点A的右侧时，∵PA+PB＝12，∴x-(-3)+x-7=12，解得x=8，综上x的值为-4或8．【点睛】本题考查了数轴的应用，能求出折叠后的中心点的位置是解此题的关键．【变式训练】1．已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6．(1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；(2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数．【答案】(1)见解析；(2)①秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，②P对应数-6或0．【分析】（1）画出数轴，找出A、B所对应的点即可；（2）①根据两点间距离表示出MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，NP=5t－6，计算即可；②根据点P是【B，A】的三倍点，可得PB=3PA．分情况讨论：当点P在A点左侧时，求出点P对应数-6；当点P在A、B之间时，求出点P对应数0，综上可知点P对应数-6或0．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：①MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，NP=5t－6∴t+2=6－5t，得：t=；或t+2=5t－6，得：t=2．即秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，②∵点P是【B，A】的三倍点，∴PB=3PA．当点P在A点左侧时，AB=2PA=8，∴PA=4，点P对应数-6；当点P在A、B之间时，AB=4PA=8，∴PA=2，点P对应数0，综上可知点P对应数-6或0．【点睛】本题考查数轴，解题的关键是掌握数轴的三要素及画法，数轴上两点之间的距离，注意对于动点问题需要进行分情况讨论．2．如图，已知为数轴上的两个点，点表示的数是，点表示的数是20．(1)直接写出线段的中点对应的数；(2)若点在数轴上，且，直接写出点对应的数；(3)若熊大从点出发，在数轴上每秒向右前进8个单位长度；同时熊二从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度它们在点处相遇，求点对应的数；(4)若熊大从点出发，在数轴上每秒向左前进8个单位长度；同时熊二从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度，当它们在数轴上相距20个单位长度时，求熊大所在位置点对应的数．【答案】(1)线段的中点对应的数为(2)点对应的数为或50(3)点对应的数为(4)熊大所在位置点对应的数为或【分析】（1）根据数轴上线段中点所对应的数计算方法进行计算即可；（2）分两种情况进行解答，即点在点的左侧或右侧，列式计算即可；（3）求出相遇的时间，再根据数轴表示数的方法进行计算即可；（4）分追及前相距20和追及后相距20两种情况进行解答，设未知数，根据速度、时间、路程之间的关系列方程求解即可．【详解】（1）解：线段的中点对应的数为，答：线段的中点对应的数为；（2）解：当点在点的左侧时，点所对应的数为：，当点在点的右侧时，点所对应的数为：，答：点对应的数为或50；（3）解：设相遇时间为s，由题意得，，解得，点对应的数为；（4）解：追及前相距20，设行驶的时间为s，由题意得，，解得，此时熊大所在位置点对应的数为，追及后相距20，设行驶的时间为s，由题意得，，解得，此时熊大所在位置点对应的数为，答：熊大所在位置点对应的数为或．【点睛】本题考查数轴，理解数轴表示数的方法，掌握速度、时间、路程之间的关系是解决问题的关键．【考点四数轴上的动点中几何意义最值问题】例题：（2023春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．(1)探究问题：如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x．

填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，而当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以的最小值是______；(2)解决问题：①直接写出式子的最小值为_______；②直接写出不等式的解集为_______；③当a为_______时，代数式的最小值是2．（直接写出结果）【答案】(1)3(2)①6；②或；③或【分析】（1）根据题意即可求解；（2）①把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示4与的点之间的距离最小值，进而问题可求解；②根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解；③根据原式的最小值为2，得到表示3的点的左边和右边，且到3距离为2的点即可．【详解】（1）解：当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以的最小值是3；故答案为：3；（2）解：①，表示到与到的距离之和，

点在线段上，，当点在点的左侧或点的右侧时，，∴的最小值是6；故答案为：6；②如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围，

当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意；当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，则范围为或；故答案为：或；③当为或时，代数式为或，∵数轴上表示数1的点到表示数3的点的距离为，数轴上表示数5的点到表示数3的点的距离也为，因此当为或时，原式的最小值是．故答案为：或．【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3∴的最小值是3请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；(3)当a为何值时，代数式的最小值是2【答案】(1)5(2)或(3)-2或-6【分析】（1）把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示3与-2的点之间的距离最小值，进而问题可求解；（2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解；（3）根据原式的最小值为2，得到表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可．【详解】（1）解：，表示到与到的距离之和，点在线段上，，当点在点的左侧或点的右侧时，，的最小值是5；（2）解：如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围，当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意；当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，则范围为或；（3）解：当为或时，代数式为或，数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为，因此当为或时，原式的最小值是．【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键．2．（2023·全国·七年级专题练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化．材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解．（1）|x﹣3|＝4解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1（2）|x+2|＝5解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5．∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7材料二：如何求|x