专题02第二章 二次函数（基础类型10大类型）（解析版）

专题02第二章二次函数【专题过关】类型一、二次函数的认识【解惑】下列函数关系中，y是x的二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的概念：形如（为常数，且）的函数；由此问题可求解．【详解】解：A、当时，则不是二次函数，故不符合题意；B、不是二次函数，故不符合题意；C、是二次函数，故符合题意；D、化简得，不是二次函数，故不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．【融会贯通】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列函数中，是二次函数的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A．，关系式不是整式，故不是二次函数；B．，关系式不是整式，故不是二次函数；C．，自变量的次数是2，且二次项的系数不为零，故是二次函数；D．，自变量的次数不是2，是一次函数，不是二次函数；故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数，熟练掌握形如，其中为常数，且的函数是二次函数是解题的关键．2．（2022秋·山东东营·九年级校考阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由二次函数的定义可知且然后可求得m的取值．【详解】函数是关于的二次函数，且，解得，故选：C．【点睛】本题主要考查的是二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键．3．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）若方程是关于x的二次函数，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．【详解】解：∵是关于x的二次函数，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如且是常数的函数叫做二次函数．4．（2023·全国·九年级专题练习）二次函数的概念：一般的，形如(是常数，)的函数叫做二次函数．其中是自变量，分别是函数解析式的、、常数项．【答案】x二次项系数一次项系数【分析】根据二次函数的概念可直接得出答案．【详解】解：二次函数的概念：一般的，形如(是常数，)的函数叫做二次函数．其中x是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．故答案为：x，二次项系数，一次项系数．【点睛】本题考查了二次函数的概念，熟练掌握基础知识是解题的关键．5．（2022春·全国·九年级专题练习）若(1)m取什么值时，此函数是二次函数？(2)m取什么值时，此函数是一次函数？【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项系数不为0，含项的最高次数为2，列式求解即可；（2）根据一次函数的定义，含项的最高次数为1，一次项系数不为0，列式求解即可．【详解】（1）解：由题意，得：，解得：；∴当时，此函数为二次函数；（2）解：由题意，得：，解得：或，∴当或，此函数为一次函数．【点睛】本题考查二次函数的定义，一次函数的定义．熟练掌握相关概念，是解题的关键．类型二、y=ax²的图像与性质【解惑】对于函数，下列说法正确的是（）A．当时，随的增大而减小B．当时，随的增大而减小C．随的增大而减小D．随的增大而增大【答案】B【分析】根据抛物线的解析式得出，开口向上，对称轴为，再根据二次函数的增减性即可得到答案．【详解】解：根据题意得：，开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称轴为直线，当，图象开口向上，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；当时，图象开口向下，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．【融会贯通】1．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的增减性进行解答即可．【详解】解：∵二次函数，当时，y随x增大而减小，∴，解得：，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）抛物线与的图象的关系是（）A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同【答案】A【分析】根据形如的二次函数的的值互为相反数时，开口方向相反，顶点相同，对称轴相同，即可得到答案．【详解】解：抛物线与的二次项系数互为相反数，其开口方向相反，顶点相同，对称轴相同，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握形如的二次函数的的值互为相反数时，开口方向相反，顶点相同，对称轴相同，是解题的关键．3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为．

【答案】【分析】连接交于D，根据菱形的性质得到，设，将点B坐标代入函数解析式，解得t的值，即可得到的值，即可求得菱形的面积．【详解】解：如图，连接交于D，

∵四边形为菱形，∴，，，，平分，∵，∴，∴，∴，设，则，∴把代入得：，解得：（舍去），，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的性质；菱形四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；菱形面积等于对角线乘积的一半，二次函数函数图像上点的坐标，熟知上述性质是解题的关键．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）把图中图象的号码，填在它的函数式后面：

（1）的图象是；（2）的图象是；（3）的图象是；（4）的图象是（填序号①，②等）．【答案】③①④②【分析】先根据二次项系数的符号分类，（1）、（2）二次项系数大于0，开口向上，（3）、（4）二次项系数小于0，开口向下，再根据越大，开口越小进行判断即可得到答案．【详解】解：（1）、（2）二次项系数都大于0，那么开口都应向上，但，那么（1）应对应③，（2）应对应①；（3）、（4）的二次项系数都小于0，那么开口都应向下，但，那么（3）应对应④，（4）应对应②．依次填③，①，④，②，故答案为：③，①，④，②．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，当时，图象开口向上，当时，图象开口向下，且越大，开口越小，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）填写下表：图象

开口方向对称性顶点与最高、最低点【答案】向上，关于轴对称，顶点是最低点；向下，关于轴对称，顶点是最高点【分析】根据二次函数的性质结合图象填空即可．【详解】解：由图象可得：当时，开口向上，图象关于轴对称，顶点是最低点；当时，开口向下，图象关于轴对称，顶点是最高点；故答案为：两列依次填写：向上，关于轴对称，顶点是最低点；向下，关于轴对称，顶点是最高点．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，当时，图象开口向上，关于轴对称，顶点是最低点；当时，图象开口向下，关于轴对称，顶点是最高点．6．（2023春·辽宁铁岭·八年级统考期中）用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点法画函数的图象，并按照要求回答下列问题：x…-3-2-10123…y…4.5…

(1)在表格内填空；(2)在所给坐标系内描点；(3)用平滑曲线连线．(4)由图象可知：当时，______；当时，x的取值范围是_______．【答案】(1)2，，0，，2，(2)见解析(3)见解析(4)8，【分析】（1）根据计算填空即可；（2）在坐标系内描点即可；（3）将各点用平滑曲线连接即可；（4）通过图象可知：当时，图象上对应点的纵坐标即为答案；当时，可直接写出x的取值范围．【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．x…0123…y…202…故答案为：2，，0，，2，；（2）解：描点如图．；（3）解：用平滑曲线连线如上图；（4）解：由图象可知：当时，；当时，．故答案为：8，．【点睛】本题考查二次函数的性质、图象，及图象上点的坐标的特征．描点并作图是学习函数部分必备的基本能力，一定要熟练掌握．类型三、y=ax²+k的图像与性质【解惑】二次函数的图象经过（

）A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限【答案】A【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可．【详解】解：∵，，对称轴为轴，顶点坐标为，∴抛物线过第一、二象限；故选A【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．【融会贯通】1.（2023秋·浙江·九年级专题练习）关于二次函数的图象，下列说法中，正确的是（）．A．对称轴为直线B．顶点坐标为C．可以由二次函数的图象向左平移1个单位得到D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降【答案】D【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断即可．【详解】解：A.二次函数的对称轴为直线，故A选项不符合题意；B.二次函数的顶点坐标，故B选项不符合题意；C.二次函数的图像可以由二次函数的图像向上平移1个单位得到，故C选项不符合题意；D.二次函数的图像开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，故D选项符合题意．故答案为：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象与解析式系数的关系是解答本题的关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，点，，都在函数的图象上，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题目中的抛物线，可以得到函数图象的开口方向，对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到、、的大小关系，从而可以解答本题．【详解】解：∵抛物线，∴该抛物线开口向上，对称轴是y轴，点距离对称轴越远则函数值越大．∵，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．（2023·浙江·九年级假期作业）关于二次函数的图像，下列说法错误的是（

）A．抛物线开口向下B．对称轴为直线C．顶点坐标为D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大【答案】D【分析】根据二次函数的性质依次判断．【详解】解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，∴A，B，C正确，D错误，故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．4．（2020秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）已知二次函数．(1)填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．x…－2－1012…y……(2)利用图象写出当时，y的取值范围是______．【答案】(1)x…－2－1012…y…03430…图象见解析(2)【分析】（1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可；（2）观察函数图象求解即可．【详解】（1）x…－2－1012…y…03430…函数图象如图所示：（2）有函数图象可得：当时，y的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解．5．（2022秋·河南商丘·九年级校考阶段练习）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．

(1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______；(2)当______时，新函数有最小值；(3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______；(4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______．【答案】(1)5，3(2)-2或2(3)或(4)或【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案；（2）根据函数图象即可求得；（3）根据函数图象即可求得；（4）根据图象求得答案即可．【详解】（1）解：把代入，得，把代入，得，当时，新函数值为，当时，新函数值为，故答案为：，；（2）解：观察图象可得：当或时，新函数有最小值为，故答案为：或；（3）解：观察图象可得：当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或；故答案为：或；（4）解：观察图象可得：直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或，故答案为：或．【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．类型四、y=a（x-h）²的图像与性质【解惑】设函数，直线的图象与函数的图象分别交于点，得（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据二次函数的图象，逐项判断即可求解．【详解】解：∵直线的图象与函数的图象分别交于点，A、若，如图所示，

则，故A选项不合题意；B．若，如图所示，

则或故B选项不合题意，C．若，如图所示，

∴，故C选项正确，D选项不正确；故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．【融会贯通】1．（2022秋·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，则的值为．【答案】【分析】根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得的值，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得的值．【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线，故，把代入二次函数可得，当时，，故答案为：．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线．2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知点，为二次函数图像上的两点，那么（填“”，“”或“”）．【答案】【分析】根据题意可知次函数的对称轴为，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；根据函数的增减性即可求解．【详解】解：∵，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函数图像的增减性，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．3．（2023春·九年级课时练习）二次函数的最大值为．【答案】0【分析】根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：对于二次函数，∵，∴当时，函数有最大值0，故答案为：0．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)(2)(3)．【答案】(1)开口向下，对称轴是，顶点坐标为(2)开口向上，对称轴是，顶点坐标为(3)开口向上，对称轴是，顶点坐标为【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；（2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；（3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；【详解】（1）解：∵抛物线，∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为；（2）解：∵抛物线，∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为；（3）解：∵抛物线，∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为．【点睛】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．类型五、y=a（x-h）²+k的图像与性质【解惑】若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出的大小关系．【详解】解：二次函数的图像开口向下，对称轴为，∴正好是抛物线的顶点坐标，∴是二次函数的最大值，∵在对称轴左侧，随的增大而增大，又∵，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越大．【融会贯通】1．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考开学考试）对于的性质，下列叙述正确的是（）A．顶点坐标为 B．当时，y随x增大而减小C．当时，y有最大值2 D．对称轴为直线【答案】D【分析】根据的图象与性质逐一分析判断即可．【详解】解：的开口向上，顶点坐标为，当时，y随x增大而增大，当时，y有最小值2，对称轴为直线，故D符合题意，A，B，C不符合题意；故选D【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记的图象与性质是解本题的关键．2．（2022·黑龙江哈尔滨·校考三模）将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，即可得出结论．【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线：，即，故选C．【点睛】此题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，是解题的关键．3．（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；

②对称轴为直线；③顶点坐标为；

④时，y随x的增大而减小．其中错误的结论为（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】直接根据二次函数的性质进行解答即可．【详解】解：对于抛物线，∵，∴抛物线的开口向上，故①错误；对称轴为直线，故②错误；顶点坐标为，故③正确；∴当时，y随x的增大而增大，故④错误；综上所述，结论错误的个数是①②④共3个．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的几种形式的基本性质是解本题的关键．的顶点坐标为，对称轴为直线，当时，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大；当，在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大．4.（2023秋·甘肃兰州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点，且点为顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为C点，则平移后抛物线的表达式为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的表达式求出点A的坐标为，根据正方形的性质可以求出点C的坐标，进而求出点C的坐标，进而求解．【详解】解：当时，，故A点坐标为，过点C作交于D，

则，∴C点坐标为∵二次函数的图象经过正方形的顶点C，∴，解得或（舍去）∴C点坐标为，∴平移后抛物线的表达式为，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，解题的关键是求出b的值．5．（2023春·河南洛阳·九年级统考期末）若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解．【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为，故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线．(1)其开口方向为____________．(2)顶点坐标为______________．(3)当x___________时，y随x的增大而增大．(4)最______（填“大”或“小”）为________．【答案】(1)向上(2)(3)(4)小，【分析】（1）根据，即可判断开口方向向上；（2）根据顶点式的顶点坐标为求解即可；（3）根据开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大解答即可；（4）根据开口向上，顶点的纵坐标为函数的最小值，据此即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∴其开口方向向上，故答案为：向上；（2）解：∵，∴顶点坐标为，故答案为：；（3）解：∵开口向上，且对称轴为∴当时，y随x的增大而增大；故答案为：；（4）解：∵，开口向上，顶点坐标为，∴函数有最小值，最小值为，故答案为：小，．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．在自变量的所有取值中：当时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，函数有最小值；当时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断．类型六、y=ax²+bx+c的图像与性质【解惑】已知抛物线，若点都在该抛物线上，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．【详解】解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，∵点都在该抛物线上，，∴，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性．【融会贯通】1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）均在二次函数的图象上，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．【详解】解：，∴抛物线对称轴为直线，∵，∴时，y随x的增大而减小，∵的对称点为，且，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．2．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考开学考试）已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴距离对称轴越远，函数值越大，∵，，，∴，，，∴，故选B【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，理解当二次函数的开口向上时，距离对称轴越远的点的函数值越大是解本题的关键．3．（2022秋·甘肃兰州·九年级校考期末）已知二次函数（）图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如表：x…01234…y…05…

(1)画出函数图象；(2)当x__________时，y随x的增大而减小；(3)当时，y的取值范围为__________．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据已知点依次描点，再连线即可；（2）根据图象即可求解；（3）根据图象即可求解．【详解】（1）解：描点、连线，画出图形如图所示：

设二次函数的表达式为，∵二次函数经过点，∴，∴，∴二次函数的表达式为，即；（2）观察函数图象可知：当时，y随x的增大而减小；故答案为：；（3）当，根据图象可知y的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查的是二次函数的作图，以及二次函数的图象与性质，解题的关键是要能采用数形结合的思想．4．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考开学考试）将下列各二次函数解析式化为的形式，并写出顶点坐标及其最值．①；②．【答案】①，顶点；②，顶点【分析】先配方，然后根据顶点式写出顶点坐标，即可求解．【详解】解：①，∴顶点；②，∴顶点.【点睛】本题考查的是二次函数一般式与顶点式的转化，能够熟练掌握配方法是解题的关键.类型七、用待定系数法求二次函数解析式【解惑】已知二次函数图象经过点、点点，求该二次函数的解析式，并指出图象的对称轴和顶点坐标．【答案】解析式，对称轴，顶点坐标．【分析】将点坐标代入解析式，得方程组求解，确定函数解析式，根据二次函数的性质求得对称轴，顶点坐标．【详解】解：由题意，得，解得，∴．∴对称轴：，顶点坐标．故答案为：解析式，对称轴：，顶点坐标．【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，二次函数的性质；掌握二次函数的基本性质是解题的关键．【融会贯通】1．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考开学考试）已知一个二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式．【答案】【分析】把、、三点，代入，待定系数法求解析式即可求解．【详解】解：设这个二次函数的解析式为，把、、三点，代入，得解得：∴【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．2．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）已知抛物线经过点和点，求该抛物线的解析式．【答案】【分析】根据待定系数法可进行求解．【详解】解：把点和点代入抛物线解析式可得：，解得：，∴抛物线的解析式为．【点睛】本题主要考查待定系数法求解函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．3．（2022秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）已知抛物线经过三点．(1)求这条抛物线的关系式；(2)写出这条抛物线的开口方向看、顶点D的坐标及对称轴，并说明它的变化情况．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）已知了抛物线上三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）把解析式化成顶点式，根据抛物线的性质即可求得．【详解】（1）解：把，，代入，得：解得：；则抛物线的解析式为；（2）解：，抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为．图象由向右平移个单位，向上平移个单位得到【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是本题的关键．4．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）已知一个二次函数的图象过，求这个二次函数的解析式．【答案】【分析】根据待定系数法求二次函数解析式即可得到答案．【详解】解：设过的二次函数的解析式为，将代入得，解得，二次函数的解析式为．【点睛】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．5．（2022秋·广西贺州·九年级校考期末）已知抛物线与轴交于、两点．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)用配方法求出这个抛物线的顶点坐标和对称轴．【答案】(1)(2)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线【分析】（1）将、代入，得，解得，，进而可得抛物线的函数表达式；（2）由题意知，，进而可得抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．【详解】（1）解：将、代入，得，解得，，∴这条抛物线的函数表达式；（2）解：由题意知，，∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．类型八、求抛物线与x、y轴交点【解惑】如图，抛物线（a，b，c为常数，且）交x轴于A，B两点，则不等式的解为（

）

A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由抛物线与x轴的两个交点和开口向下可得不等式的解集是或，且，进而可得不等式的解为或.【详解】解：∵抛物线交x轴于A，B两点，且抛物线开口向下，∴不等式的解集是或，且，∴不等式的解为或；故选：D.【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，正确理解抛物线与x轴的交点与对应不等式的关系、数形结合是解题的关键.【融会贯通】1．（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为．【答案】【分析】利用待定系数法求得值，令，解一元二次方程即可求得结论．【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点坐标为，∴．∴，∴二次函数．令，则，解得：，．∴抛物线与与轴的另一个交点坐标是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令，通过解一元二次方程求得抛物线与轴的交点的横坐标是解题的关键．2．（2022秋·山东东营·九年级校考阶段练习）抛物线与轴的交点坐标为．【答案】，【分析】令，解关于的一元二次方程，即可得到答案．【详解】解：令，∵，则：解得：，∴抛物线与轴的交点坐标是，；故答案为：，．【点睛】此题主要考查了二次函数图像与x轴的交点问题，解题的关键在于能够熟知二次函数与轴交点的横坐标是令时，一元二次方程的解．3．（2023秋·安徽淮南·九年级统考开学考试）已知二次函数．(1)将二次函数化成顶点式；(2)求图像与轴，轴的交点坐标．【答案】(1)(2)与轴交于点，与轴交于点，【分析】（1）用配方法化成顶点式即可；（2）当时，求出，当时，求出，，即可得二次函数与坐标轴的交点坐标．【详解】（1）解：；（2）当时，，与轴交于点，当时，，，．与轴交于点，．【点睛】本题考查二次函数的顶点式以及与坐标轴交点坐标，掌握配方法是解决此题的关键．4．（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）如图，A，B，C，D四点在抛物线上，且轴，与y轴的交点分别为E，F，已知，，，求a的值及的长．

【答案】，【分析】由题意可设点，，然后可列二元一次方程组求得，进而求得点坐标即可解答．【详解】解：由题意可设点，，则：，，解得：，，，轴，，，．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、平行于轴的直线的坐标特点等知识点，掌握二次函数的性质成为解答本题的关键．5．（2022秋·山东东营·九年级校考期中）如图，抛物线与直线相交于B，C两点，抛物线、直线分别与y轴交于A，D两点．(1)求点A，D的坐标．(2)求的面积．【答案】(1)，(2)3【分析】（1）令分别代入抛物线以及直线，即可求出A，D的坐标；（2）联立抛物线以及直线，求出B，C两点坐标，把分成和两个小三角形的面积．【详解】（1）解：当时，，，点，点；（2）联立，解得或，∴点，点，∴，故的面积为3．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征，需要熟练掌握函数与坐标轴的交点等点坐标的求法．类型九、喷水问题【解惑】如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．2+【答案】C【分析】根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可．【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，∵a=-1＜0∴当x=2时，水柱的最大高度是：6．故选C．【点睛】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的解析式得到抛物线顶点坐标是解决此类问题的关键．【融会贯通】1．（2022秋·全国·九年级专题练习）某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度与水流时间之间的解析式为，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出解析中h＝0时t的值即可得．【详解】在h＝30t−5t2中，令h＝0可得30t−5t2＝0，解得：t＝0或t＝6，所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s，故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确解析式中水流落到地面所对应的函数值为0．2．（2021春·江苏·九年级专题练习）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()A．4米 B．3米 C．2米 D．1米【答案】A【详解】）∵y=－x2＋4x=，∴当x=2时，y有最大值4，∴最大高度为4m．故选A．3．（2022秋·河北沧州·九年级校考阶段练习）烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．10s【答案】C【分析】将h关于t的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论．【详解】解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51，∴当t＝5时，礼炮升到最高点．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为．(1)求落水点C、D之间的距离；(2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高．【答案】(1)22米(2)雕塑EF的高为米【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；（2）代入x＝10求出y值即可．【详解】（1）解：当y＝0时，，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，∴点D的坐标为（11，0），∴OD＝11m．∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．（2）解：∵，，当x＝10时，，∴点F（10，）∴雕塑EF的高为米．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为10的点的坐标．5．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．

（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；（2）求水管AB的长．【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；（2）2.25m【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x−1）2＋3，将（3，0）代入求得a值；（2）由题意可得，x＝0时得到的y值即为水管的长．【详解】解：（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，代入（3，0）求得：a＝﹣（x﹣1）2+3．将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；（2）令x＝0，则y＝＝2.25．故水管AB的