竞赛数学典型问题的解决-函数方程

第四章竞赛数学典型问题的解决第一节函数方程函数方程的解法是古老的分析问题之一.许多数学家都曾对函数方程进行过研究,可是至今还没有完整的理论及解法.一些简单的函数方程只需要以初等数学为工具,在IMO中从七十年代以来,常有有关函数方程方面的问题.本节简单介绍函数方程的常见解法和有关根本问题..根底知识1.含有未知函数的等式称为函数方程.如等等.2.在定义域内均满足函数方程的函数称为该函数方程的解.如-------其解为一切偶函数.3.寻找函数方程的解或证明函数方程无解的过程称为解函数方程.

4.有关函数方程问题大致分为三类：(3)确定函数表达式(解函数方程)．(2)确定函数性质；(1)确定函数值；二.函数方程及有关问题的解法关于解函数方程及有关问题的解法,理论上没有完整的一般方法.但归纳起来还是有一些常用的解法是可以借鉴的.1.定义法此方法是通过配方、凑项等手法,使函数方程变形为关于“自变量〞原象的表达式,然后以x代替“自变量〞,即得函数表达式.例1

求解∵∴说明：

解得的函数必须注明定义域,必须检验是否为函数方程的解.但为了简便,常省略.例2

2.换元法与方程组法此方法是通过换元,得到新的函数方程,最后通过解函数方程组求出原函数方程的解.设适合等式那么的值域是

．(2005年江西省高中数学联赛)解

得由得的值域为得以换x与原方程消去例3

设是对除及有定义的实值函数,且以外的一切实数①求(美国普特南)解②在①中以代替得③由①②③解得得在①中以代替例4

设函数满足且对任意都有那么．(200４年全国高中数学联赛)解、

在函数方程中以换得①在函数方程中以换得②由①、②得3.赋值法赋值法(和代换法)是确定函数方程的函数性质的根本方法,在函数定义区域内赋予变量一个或几个特殊值,使方程化繁为简,到达解决问题的目的.例5

解函数方程①解在①中令得②再令得③②＋③－④得得又再令④为任意常数.其中是原函数方程的解所以,例6函数满足:对任意实数都有则.(2005年全国高中联赛福建赛区预赛)解

令得假设或令得代入原函数方程知该函数不是原方程的解.假设同理可解得知该函数是原方程的解.代入原式所以,4.递归法对定义在自然数集上的函数,假设初始值及递推关系,那么可利用递归关系解决问题.例7

对任意实数函数满足若则对负整数n,

的表达式为

．(2005年上海市高中数学联赛(CASIO杯))解

可得又故对负整数n,有取例7

对任意实数函数满足若则对负整数n,的表达式为

．(2005年上海市高中数学联赛(CASIO杯))解

取可得又,易知故对负整数n,有则的值是

．例8

函数定义在正整数集上,且满足(2002年上海市高中联赛)解

依题意两式相减得于是∴5.数学归纳法数学归纳法对解决定义在自然数集上的函数是十分重要的方法.解先证明“对任意自然数只要则”例9设是定义在自然数集上的函数,并在自然数集中取值.试证:如果对每一个式的值,不等都成立,那么对每一个式都成立.的值,等因1是时,值域中最小的数,命题成立.设命题对自然数成立,那么时,由假设有条件得于是由由整数的离散性得再用假设有即时命题成立.因此,对任意自然数有再令那么又故这说明是严格递增函数.对任意有又是严格递增，故即综上,对每一个的值,等式都成立.6.反证法对正面直接证明有困难的命题,可以考虑用反证法.例11

是否存在定义域为实数集的函数得下列恒等式成立.使②①解那么对任意实数设题设函数存在．假设有那么有由①知这表示是实数集R到R的单射.又,在①中令得得③④在②中令分别在①②中令⑤得由此及是单射得⑤＋⑥得矛盾.故满足题设的函数不存在.⑥④③①②由③④及是单射得7.函数迭代法函数迭代是函数复合的一种特殊形式,在现代数学中占有一定的地位.例12设为自然数集,若函数格递增,且对任意都有对任意严都有(1990年,CMO)求证:证明

对设那么因且严格递增,所以①又由于故由①得所以即于是所以即进而另一方面,由①得即于是①又由于故由①得综上,得证.8.不动点法方程的根称为函数的不动点.用它解决函数方程问题是一种重要的方法.例13

求所有函数值为正实数,且满足其定义域为一切正实数,(IMO24)解

先证:1是的不动点.对任意因有故这表明任意正实数都在的值域内.特别地,存在使则因所以其次证:若是的不动点,则也是的不动点.假设是的不动点,那么有于是有即所以是的不动点;又所以也是不动点.的再证:1是唯一的不动点.假设有不动点那么及都是对任意的不动点.不妨设那么矛盾.故1是唯一的不动点.由条件(1),对任意有即为的不动点.于是所以9.柯西法柯西法要求涉及的函数是连续函数或单调的函数.值,直至实数值的函数方程的解.柯西法解函数方程的基本步骤是:依次求出对自变量的所有正自然数值、整数值、有理数

例14设是上的连续函数,且对一切有①求解

(1)当自变量取自然数时,由数学归纳法得

令得②令得

记于是③(2)当自变量取整数时,由得④又⑤⑥故由③④⑤知(3)当自变量取有理数时,设由②有由⑥有即⑦(4)当自变量取实数时,对任意存在使得

由f的连续性及⑦得所以本例中的函数方程由数学家柯西首先研究,故称为柯西方程,其解法称为柯西方法.该解法十分典型,解法分