2007年湖北省-高考理科数学试题(真题与答案解析)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．102．将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．3．设和是两个集合，定义集合，如果，，那么等于（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4．平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：①； ②；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合．其中不正确的命题个数是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．45．已知和是两个不相等的正整数，且，则（）A．0 B．1 C． D．6．若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列； 乙：数列是等比数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，则等于（）A． B． C． D．8．已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．59．连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（）A． B． C． D．10．已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A．60条 B．66条 C．72条 D．78条二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．11．已知函数的反函数是，则；．12．复数，且，若是实数，则有序实数对可以是．（写出一个有序实数对即可）13．设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 ．（毫克）（小时）14．某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值作答）（毫克）（小时）BBVADC19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．AABxyNCO（此题不要求在答题卡上画图）20．（本小题满分13分）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）．21．（本小题满分14分）已知为正整数，（I）用数学归纳法证明：当时，；（II）对于，已知，求证，求证，；（III）求出满足等式的所有正整数．

参考答案与解析一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．答案：选Ｂ解析：由展开式通项有由题意得，故当时，正整数的最小值为5，故选Ｂ点评：本题主要考察二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求。本题中“非零常数项”为干扰条件。易错点：将通项公式中误记为，以及忽略为整数的条件。2．答案：选Ａ解析：法一由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点，，则，带入到已知解析式中可得选Ａ法二由平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移2个单位。点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为简单题。易错点：将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下平移2个单位，误选Ｃ3．答案：选Ｂ解析：先解两个不等式得，。由定义，故选Ｂ点评：本题通过考察两类简单不等式的求解，进一步考察对集合的理解和新定义的一种运算的应用，体现了高考命题的创新趋向。此处的新定义一般称为两个集合的差。易错点：对新定义理解不全，忽略端点值而误选Ａ，以及解时出错。4．答案：选Ｄ解析：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，可知①②③④均错,具体可观察如图的正方体：但不垂直，故①错；但在底面上的射影都是故②错；相交，但异面，故③错；但异面，故④错点评：本题主要考察空间线面之间位置关系，以及射影的意义理解。关键是要理解同一条直线在不同平面上的射影不同；线在面内，线面平行，线面相交的不同位置下，射影也不相同。要从不用的方向看三垂线定理，充分发挥空间想象力。易错点：空间想象力不够，容易误判③、④正确，而错选Ｂ或Ｃ5．答案：选C解析：法一特殊值法，由题意取，则，可见应选C法二令，分别取和，则原式化为所以原式=（分子、分母1的个数分别为个、个）点评：本题考察数列的极限和运算法则，可用特殊值探索结论，即同时考察学生思维的灵活性。当不能直接运用极限运算法则时，首先化简变形，后用法则即可。本题也体现了等比数列求和公式的逆用。易错点：取特值时忽略和是两个不相等的正整数的条件，误选B；或不知变形而无法求解，或者认为是型而误选B，看错项数而错选D6．答案：选B解析：由等比数列的定义数列，若乙：是等比数列，公比为，即则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即即公比不一定为，则命题乙不成立，故选B点评：本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换。要是等比数列，则公比应唯一确定。易错点：本题是易错题。由，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选C7．答案：选A解析：由题设可知点同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上,故由定义可得故原式 ，选A点评：本题主要考察双曲线和抛物线的定义和性质，几何条件列方程组，消元后化归曲线的基本量的计算，体现数形结合方法的重要性。易错点：由于畏惧心理而胡乱选择，不能将几何条件有机联系转化，缺乏消元意识。8．答案：选D解析：由等差数列的前项和及等差中项，可得，故时，为整数。故选D点评：本题主要考察等差数列的性质，等差中项的综合应用，以及部分分式法，数的整除性是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用。易错点：不能将等差数列的项与前项和进行合理转化，胡乱选择。9．答案：选C解析：由向量夹角的定义，图形直观可得，当点位于直线上及其下方时，满足，点的总个数为个，而位于直线上及其下方的点有个，故所求概率，选C点评：本题综合考察向量夹角，等可能事件概率的计算以及数形结合的知识和方法。易错点：不能数形直观，确定点的位置，或忽略夹角范围中的，而误选A10．答案：选A解析：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆上的整数点共有12个，分别为，，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成条直线，其中有4条直线垂直轴，有4条直线垂直轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有条，选A点评：本题主要考察直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征。是较难问题易错点：不能准确理解题意，甚至混淆。对直线截距式方程认识不明确，认识不到三类特殊直线不能用截距式方程表示；对圆上的整数点探索不准确，或分类不明确，都会导致错误，胡乱选择。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．11．答案：解析：由互反函数点之间的对称关系，取特殊点求解。在上取点，得点在上，故得；又上有点，则点在点评：本题主要考察反函数的概念及其对称性的应用。直接求反函数也可，较为简单。易错点：运算错误导致填写其他错误答案。12．答案：或满足的任意一对非零实数对解析：由复数运算法则可知，由题意得，答案众多，如也可。点评：本题主要考察复数的基本概念和运算，有一般结论需要写出一个具体结果，属开放性问题。易错点：复数运算出错导致结果写错，或审题马虎，只写出，不合题意要求。13．答案：解析：由约束条件得如图所示的三角形区域，令，显然当平行直线过点时，取得最小值为点评：本题主要考察线性规划的基本知识，考察学生的动手能力作图观察能力。易错点：不能准确画出不等式组的平面区域，把上下位置搞错，以及把直线间的相对位置搞错，找错点的位置而得到错误结果。14．答案：解析：由题意知所求概率点评：本题考察次独立重复试验中，某事件恰好发生次的概率，直接用公式解决。易错点：把“恰好投进3个球”错误理解为某三次投进球，忽略“三次”的任意性。15答案：（I）（II） 解析：（I）由题意和图示，当时，可设（为待定系数），由于点在直线上，；同理，当时，可得（II）由题意可得，即得或或，由题意至少需要经过小时后，学生才能回到教室．点评：本题考察函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力。易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，在（II）中填写了其他错误答案。三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．解：（Ⅰ）设中角的对边分别为，则由，，可得，．（Ⅱ）．，，．即当时，；当时，．17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）分组频数频率40.04250.25300.30290.29100.1020.02合计1001.00样本数据样本数据频率/组距1.301.341.381.421.461.501.54（Ⅱ）纤度落在中的概率约为，纤度小于1.40的概率约为．（Ⅲ）总体数据的期望约为．18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，，又底面．．于是平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．连接，于是就是直线与平面所成的角．在中，；设，在中，，．，ADBCHADBCHV又，．即直线与平面所成角的取值范围为．解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，，，．从而，即．同理，即．又，平面．又平面．平面平面．ADBCVxyz（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面ADBCVxyz则由．得可取，又，于是，，，．又，．即直线与平面所成角的取值范围为．解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，．从而，即．同理，即．又，平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，则由，得ADBCVxADBCVxy于是，，，．又，，即直线与平面所成角的取值范围为．解法4：以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．设．ADBCVxADBCVxyz，即．，即．又，平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，设是平面的一个非零法向量，则取，得．可取，又，于是，，关于递增．，．即直线与平面所成角的取值范围为．19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，NOACByx直线的方程为，与联立得消去得．NOACByx由韦达定理得，．于是．，当时，．（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，NOACByxlNOACByxl，，，．令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得，又由点到直线的距离公式得．从而，当时，．（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得，则．设直线与以为直径的圆的交点为，则有．令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．，，由题意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为．（Ⅱ）设，则．故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是．故当时，有，即当时，．21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，，，于是在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立．（Ⅱ）证：当时，由（Ⅰ）得，于是，．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当时，，．即．即当时，不存在满足该等式的正整数．故只需要讨论的情形：当时，，等式不成立；当时，，等式成立