3.3.2 抛物线的几何性质（5大题型）

抛物线的几何性质一、四种抛物线的几何性质标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形范围对称轴焦点坐标准线方程顶点坐标离心率通径二、焦半径公式设抛物线上一点的坐标为，焦点为.1、抛物线，.2、抛物线，.3、抛物线，.4、抛物线，.【注意】三、直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.2、以抛物线与直线的位置关系为例：（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，若，直线与抛物线有两个交点；若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；若，直线与抛物线没有交点.（2）直线的斜率存在设直线，抛物线，直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，即二次方程（或）解的个数.①若，则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当时，直线与抛物线相切，有个公共点；当时，直线与抛物线相离，无公共点.②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点.四、直线与抛物线相交弦长问题1、一般弦长：设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为.（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）.（2）,推导：由题意，知，①②由①②，得.故，即.（3）直线的方程为.2、焦点弦长如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，根据抛物线的定义有，，故.又因为是梯形的中位线，所以，从而有下列结论；（1）以为直径的圆必与准线相切.（2）(焦点弦长与中点关系)（3）.（4）若直线的倾斜角为，则.（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.（6）为定值.题型一由抛物线方程研究其几何性质【例1】（2023·陕西汉中·高二汉中中学校考期中）关于抛物线，下列说法正确的是（）A．开口向右B．焦点坐标为C．准线为D．对称轴为x轴【答案】D【解析】因为抛物线方程为，则，即，所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴，即D正确，ABC错误.故选：D.【变式11】（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（）A．关于轴对称B．关于轴对称C．关于轴对称D．关于原点中心对称【答案】D【解析】对于A，将方程中换为，则有，则，与原方程不同，所以方程不关于轴对称；对于B，将方程中换为，则有，则，与原方程不同，所以方程不关于轴对称；对于C，将方程中换为，换为，则有，与原方程相同，所以方程不关于轴对称；对于D，将方程中换为，换为，则有，则，与原方程相同，所以方程关于原点中心对称.故选：D.【变式12】（2023·安徽芜湖·高二统考期末）为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线中时可得，且则，取（如图），,又对称性可知.故选；C.【变式13】（2023上·高二课时练习）求下列抛物线的顶点坐标､对称轴､焦点坐标和准线方程.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1），对称轴为x轴，，；（2），对称轴为y轴，，；（3），对称轴为y轴，，（4），对称轴为x轴，，；【解析】（1）的焦点在x轴正半轴上，，顶点坐标为，对称轴为x轴，焦点坐标为，准线方程为；（2）的焦点在y轴正半轴上，，顶点坐标为，对称轴为y轴，焦点坐标为，准线方程为；（3）即，焦点在y轴负半轴上，，顶点坐标为，对称轴为y轴，焦点坐标为，准线方程为；（4）即，焦点在x轴负半轴上，，顶点坐标为，对称轴为x轴，焦点坐标为，准线方程为；题型二判断直线与抛物线的位置关系【例2】（2023·上海浦东新·高二川沙中学校考开学考试）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【答案】C【解析】点在抛物线上，易知当直线斜率不存在时不满足；当直线斜率时，易知满足条件；当直线斜率存在且时，设直线方程为，即，，整理得到，，，解得，直线方程为.综上所述：满足条件的直线有2条.故选：C【变式21】（2022·四川自贡·高二统考期末）过点与抛物线只有一个公共点的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条【答案】C【解析】由已知，可得①当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点；②当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点；③当直线斜率存在时，设直线方程为，由可得，，，解得，故直线方程.所以存在3条直线,,满足过点与抛物线只有一个公共点.故选：C.【变式22】（2023·陕西·高二校联考期中）（多选）过点且与抛物线只有一个交点的直线方程可能是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】由已知抛物线方程为，其对称轴为，当直线与抛物线对称轴平行时，直线方程为，此时与抛物线只有一个交点成立，当直线与抛物线对称轴不平行时，可知直线斜率存在，设直线方程为，联立直线与抛物线，得，由直线与抛物线只有一个交点，可知，解得或，所以直线方程为或，即，或，综上所述：直线方程为或，或，故选：ABC.【变式23】（2023上·高二课时练习）已知直线与抛物线有且仅有一个公共点，求实数的值．【答案】或0【解析】由，整理得，当时，，解得，当时，直线为轴，与抛物线只有一个交点，满足题意，综上，实数的值为或0.题型三直线与抛物线相交弦长问题【例3】（2023·北京东城·高二汇文中学校考期中）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点、，若，则弦的长是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线方程为，因为直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点、，则.故选：C.【变式31】（2022·甘肃临夏·统考一模）过点作两条直线与抛物线相切于点A，B，则弦长等于（）A．8B．6C．4D．2【答案】A【解析】由题意直线斜率存在，可设过点的切线方程为，与抛物线方程联立可得：，所以，解之得，如图所示，设，则，当时，，即，当时，，即，所以.故选：A【变式32】（2023·河南洛阳·高二洛阳市第一高级中学校考期中）设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如上图，由题意，抛物线的准线为，可得．∵直线与抛物线交于，两点，∴直线的斜率存在且不为，∴设直线方程为，将其代入，化简并整理得：．由，得．设，，则，，∴．∵是的中点，∴．过点平行轴的直线为，与抛物线交点为知，所以．又∵，则，∴的面积．由已知条件知，∴，解得（满足），解得：.∴直线的方程为，即，∴直线的斜率为．故选：A．【变式33】（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期中）已知抛物线与直线相交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求证：；（2）当时，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）令，联立抛物线与直线得，且，则，故，又，则，即，得证.（2）由到的距离，又，所以，则.题型四抛物线的中点弦及点差法【例4】（2023·河南洛阳·高二统考期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设,则，相减得，由于,所以，所以,将其代入中可得，所以,故,故选：C【变式41】（2023·陕西咸阳·高二校考期末）已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点处被平分，则这条弦所在的直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，直线l交抛物线于M，N两点，设，则，两式相减得，整理得，因为MN的中点为，则，所以，所以直线l的方程为即.故选：A【变式42】（2023·湖北·高二校联考期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为抛物线上两点，关于直线对称，故和直线垂直，所以，故，又，所以，故中点坐标是，即故选：B【变式43】（2023·河北邯郸·高二校联考期中）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，线段中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由抛物线得焦点，设，，则，两式相减得，即，因为线段中点的纵坐标为1，即，所以，即，所以直线的方程为，即，显然此时直线与抛物线有两交点，所以到直线的距离，故选：A．题型五抛物线的综合问题【例5】（2023·江西·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的焦点，且与相交于两点，直线交的准线于点.（1）若，求直线的方程；（2）证明：直线平行于轴.【答案】（1）或；（2）证明见解析【解析】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，设，由抛物线定义，得，所以，当直线的斜率不存在时，，不符合要求，故直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，得，则，解得，所以直线的方程为或.（2）证明：设，则直线的方程为，令，可得，设直线的方程为，代入方程，得，所以，所以，所以直线平行于轴.【变式51】（2023·浙江·高二温州中学校联考期中）平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）直线与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）由题意，动点P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故，所以曲线C的方程为.（2）设，联立，得，且，则，故，所以，所以，又，即，不满足，所以不存在满足要求的直线l.【变式52】（2023·河北·高二校联考期中）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且线段的中点为，该抛物线的焦点到准线的距离不大于3.（1）求抛物线的方程；（2）设点为抛物线上的动点，若，当的中点到抛物线的准线距离最短时，求所在直线方程.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）依题意得，焦点到准线的距离不大于3，所以，设，由的中点坐标为，得，解得，因为在抛物线，所以即，解得或（舍），所以抛物线的方程为.（2）如图所示，根据题意直线的斜率存在，设直线的方程为，设中点，由，，，所以，则所以，又因为的中点到准线的距离等于，所以当最小时，的中点到准线的距离最短.因为，当且仅当时，解得，则.所以直线的方程为或.【变式53】（2023上·江苏淮安·高二统考期中）已知抛物线，直线交抛物线于两点，中点为．（1）求抛物线的标准方程；（2）记抛物线上一点，直线斜率为，直线斜率为，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，则有，①②得③均在直线上，，又中点为，则有，代入③有抛物线的标准方程为.（2）由题意知，设，同理有，④联立直线