四年级上册“钟面问题”详解

四年级上册“钟面问题”详解“大自然真是神奇，从来都给我们意想不到的答案。”——hcj0131从四年级上册我们学到了人类是如何从实物记数、结绳记数、刻道记数发展到记数符号——数字的。虽然人们后来发现有二进制、八进制、十六进制等进位制，但人类与生俱来地适应了十进制——不过大自然给了我们许多例外，有音高的12进制、时间的60进制等等。“钟面问题”就是时间的多种进制在数学上的应用之一。研究“钟面问题”的基本知识钟面的形状及角度计时工具从古代的日晷（根据影子确定时间）、水钟、烧香计时，到现在的机械钟、石英钟、原子钟，虽然计时原理变化、时钟形状因为装饰而发生改变，但若是以指针表盘作为钟面，大都是圆形的。人们将圆周平均分成360份，并规定每一份的大小称作1度，表示为1°。因此我们就有了周角360°、平角180°和直角90°的概念。而钟面被平均分成12个点钟，因此每两个整点数字刻度之间的夹角应该正好是360°÷12=30°。每两个整点数字刻度之间的夹角又被平均分成5份（每份是30°÷5=6°），因此整个钟面被平均分成5×12=60个刻度，正合每小时60分、每分钟60秒的进制，多么神奇！指针运动（旋转）规律钟面上一般有3种指针：秒针、分针和时针，三种指针都绕着同一个中心点按照顺时针作旋转运动。秒针每秒运行1个最小刻度，即旋转6°，分针每分钟运行1个最小刻度，即旋转6°，时针每小时运行一个整点刻度，即30°。如果要统一这三种指针同一时间内运行的角度，将形成以下表格。1秒钟1分钟1小时1天秒针6°360°21600°518400°分针0.1°或6’6°360°8640°时针0.5’或30’’0.5°或30’30°720°其中，人们规定再将1°平均分成60份，每份为“1分”，记作“1’”；再将“1’”平均分成60份，每份为“1秒”，记作“1’’”——这个可与时间的“分、秒”有所不同——为了不导致混乱，我们尽量用°作单位来研究。不同类型的典型“钟面问题”典型的钟面问题不考虑秒针（或是认为这时秒针在12点处，每一分都是完整的），简化了问题，只要求时针与分针的夹角。整点的时针与分针夹角问题不考虑24小时制（即将2点和14点——下午2点看做相同点钟），钟面上有12个整点，从1点整到12点整（也即0点整）。在这12个整点时，分针指向“12”，时针在各个整点上，因此时针与分针夹角为若干个30°。如：但如果时针在7、8、9、10、11点，时针和分针的夹角有2个，我们一般计算不大于180°的那个（写210°也不是算错误的）。如：7:00或19:00时，时针和分针夹角为7个整点，即307:00或19:00时，时针和分针夹角为7个整点，即30°×7=210°，但我们一般计算不大于180°的角，即360°－210°=150°。半点的时针与分针夹角问题不考虑24小时制，钟面上有12个半点，从1点半到12点半（也即0点半）。在这12个半点时，分针指向“6”，时针在两个整点中间（因为时针要随着分针运动而运动，分针走了半小时，时针也要走半小时），因此时针与分针夹角为若干个30°再加上1个半点30°÷2=15°。如：0:30或12:30，时针和分针夹角为5又半个整点，即300:30或12:30，时针和分针夹角为5又半个整点，即30°×5+30°÷2=165°，或者可以看作是平角还少半个整点，即180°－30°÷2=165°。其实可以发现，整点、半点钟的夹角都是15°的倍数，正好是三角尺拼角的角度（请自己想象15°的各个倍数，各可以是几点钟）。一般的时针与分针夹角问题如果点钟不是整点和半点，就“比较麻烦”了，因为情况很多，但不变的规律是：分针走了一个小时（一周，即360°）的几分之几，时针也要走一个小时（一个点钟，即30°）的几分之几。因此，我们只要确定时针和分针各自的位置，再根据他们与指针“12”的角度之差就可以算出他们之间的夹角了。如：3:24或15:24，时针在3点至4点之间，走了3:24或15:24，时针在3点至4点之间，走了“1个小时的EQ\F(24,60)”（因为1个小时是60分钟，分针走了24分钟，时针也要走相应部分），即30°×EQ\F(24,60)=12°（也可以用表格中的数据来计算0.5°×24=12°），因此时针与指针“12”的夹角是30°×3+12°=102°，而分针与指针“12”的夹角是6°×24=144°，因此时针与分针的夹角是144°－102°=42°。4:43或16:43，时针在4点至5点之间，与指针4:43或16:43，时针在4点至5点之间，与指针“12”的夹角是30°×4+0.5°×43=141.5°，而分针与指针“12”的夹角是6°×43=258°，因此时针与分针的夹角是258°－141.5°=116.5°按照这个规律，我们可以分别用字母表示几点几分，来算出时针与分针的夹角。如设点钟为X（X范围在0至11）而分钟为Y（范围在00到59），则X点Y分时，时针与指针“12”夹角为30°×X+0.5°×Y，而分针与指针“12”夹角为6°×Y，它们之差为30°X－5.5°Y，即此时时针与分针夹角为|30°X－5.5°Y|（绝对值，如是负数则取其相反数）或这个角度与360°的差值。如：如左图，8:16或20:16，时针与分针的夹角为30如左图，8:16或20:16，时针与分针的夹角为30°×8－5.5°×16=240°－88°=152°。如右图，11:36或23:36，时针与分针的夹角为30°×11－5.5°×36=330°－198°=132°。可以用这个“公式”来验证整点和半点的时针与分针夹角。如果还要考虑秒针的位置，则道理相同，X：Y：Z点钟（即X点Y分Z秒）时，也有相应的“公式”：X：Y：Z时，时针与指针“12”的夹角是30°X+0.5°Y+0.5’Z，分针与指针“12”的夹角是6°Y+0.1°Z，秒针与指针“12”的夹角是6°Z。其他“非典型钟面问题”求一天有几次三针合一（时针、分针和秒针在同一位置）有人会认为1点5分时时针与分针重合，但其实这时时针已经再走了一些。根据上面整理而成的公式30°X－5.5°Y可以很容易知道，当这个值是0的时候时针与分针重合。而其他值则需要用上面的公式来推导。X：Y：Z时，时针与指针“12”的夹角是30°X+0.5°Y+0.5’Z，分针与指针“12”的夹角是6°Y+0.1°Z，秒针与指针“12”的夹角是6°Z。因此，这三个指针与指针“12”的夹角必须完全相同才算重合。而X取值只有0—11这12种情况，分别代入求得以下解：方法：先都转化单位为方法：先都转化单位为°，统一消去，得方程组1800X+30Y+0.5Z=360Y+6Z=1\*GB3①360Y+6Z=360Z=2\*GB3②由=1\*GB3①可得1800X=330Y+5.5Z=3\*GB3③由=2\*GB3②可得360Y=354Z=4\*GB3④由=3\*GB3③=4\*GB3④可得1800X=330Z=5\*GB3⑤将X=0，1，…，10，11代入=5\*GB3⑤求得相应的Z，再用=4\*GB3④求得相应的Y。当X=0时，Y=0，Z=0，即0点0分0秒；当X=1时，Y=5EQ\F(4,11)，Z=5EQ\F(5,11)，即1点5EQ\F(4,11)分5EQ\F(5,11)秒；当X=2时，Y=10EQ\F(8,11)，Z=10EQ\F(10,11)，即2点10EQ\F(8,11)分10EQ\F(10,11)秒；当X=3时，Y=16EQ\F(1,11)，Z=16EQ\F(4,11)，即3点16EQ\F(1,11)分16EQ\F(4,11)秒；当X=4时，Y=21EQ\F(5,11)，Z=21EQ\F(9,11)，即4点21EQ\F(5,11)分21EQ\F(9,11)秒；当X=5时，Y=26EQ\F(9,11)，Z=27EQ\F(3,11)，即5点26EQ\F(9,11)分27EQ\F(3,11)秒；当X=6时，Y=32EQ\F(2,11)，Z=32EQ\F(8,11)，即6点32EQ\F(2,11)分32EQ\F(8,11)秒；当X=7时，Y=37EQ\F(6,11)，Z=38EQ\F(2,11)，即7点37EQ\F(6,11)分38EQ\F(2,11)秒；当X=8时，Y=42EQ\F(10,11)，Z=43EQ\F(7,11)，即8点42EQ\F(10,11)分43EQ\F(7,11)秒；当X=9时，Y=48EQ\F(3,11)，Z=49EQ\F(1,11)，即9点48EQ\F(3,11)分49EQ\F(1,11)秒；当X=10时，Y=53EQ\F(7,11)，Z=54EQ\F(6,11)，即10点53EQ\F(7,11)分54EQ\F(6,11)秒；当X=11时，Y=58EQ\F(11,11)=59，Z=59EQ\F(11,11)=60，即11点59分60秒，也就是12点整，与0点0分0秒重合了。因此，从0点0分0秒开始，每经过1小时5EQ\F(4,11)分5EQ\F(5,11)秒三针就重合一次，每12个点钟，时针、分针、秒针只重合11次，一天之内三针（头尾重复不计）只重合22次哦！三针互相垂直的问题来自百度知道：http://zhidao.baidu./question/559159615.html?qbl=relate_question_3&word=%D6%D3%C3%E6%CE%CA%CC%E2原题：一昼夜中（24小时），是否存在这样的时刻，使得钟面上的时针、分针、秒针分别垂直（不包括重合），即三针中任意两针在一条直线上，另一针垂直于这条直线？解法：这题也可以通过三个指针的位置关系来解决。已知X：Y：Z时，时针与指针“12”的夹角是30°X+0.5°Y+0.5’Z，分针与指针“12”的夹角是6°Y+0.1°Z，秒针与指针“12”的夹角是6°Z。当X在0至11时，Y都有2种情况使得分针与时针垂直（分别是分针与指针“12”夹角比时针与指针“12”夹角多90°和270°的情况），而相对应的Z又都有2种情况使得秒针与时针或分针垂直（分别是秒针与指针“12”的夹角比分针与指针“12”的夹角多90°或180°以及少90°或180°）。而再细分一下发现，时针在不同位置时，分针与秒针与指针“12”的夹角公式可能会差一个周角，因此具体问题具体分析，结合图像来解答为宜（其实是觉得用绝对值的方法会把问题复杂化）。当X=0时，时针在0到1之间，分针夹角有2种情况（比时针夹角多90°和270°），秒针夹角根据分针各有2种情况（分别是比分针多90°和180°，以及比分针少180°和少90°）。——用秒针和分针比较，因为两者公式相近，且不牵扯到X。因此X=0就有4种情况（详见下面表格）。由第一种，有：由第一种，有：30°X+0.5°Y+0.5’Z+90°=6°Y+0.1°Z（其中X=0）6°Y+0.1°Z+90°=6°Z解得X=0，Y=15EQ\F(37,44)，Z=31EQ\F(4,11)。即在0点15EQ\F(37,44)分31EQ\F(4,11)秒时“三针垂直”。其他解法类似，解决过程略（有兴趣、有毅力的同学们可以借助计算器尝试一下）。得到如下表格。时针在某整点之后（在下一整点之前）分针夹角（比时针夹角）秒针夹角（比分针夹角）XYZ对应时间0多90°多90°015EQ\F(37,44)31EQ\F(4,11)0点15EQ\F(37,44)分31EQ\F(4,11)秒0多90°多180°015EQ\F(13,22)46EQ\F(4,11)0点15EQ\F(13,22)分46EQ\F(4,11)秒0多270°少180°048EQ\F(17,22)19EQ\F(1,11)0点48EQ\F(17,22)分19EQ\F(1,11)秒0多270°少90°048EQ\F(23,44)34EQ\F(1,11)0点48EQ\F(23,44)分34EQ\F(1,11)秒1多90°多90°121EQ\F(9,44)36EQ\F(9,11)1点21EQ\F(9,44)分36EQ\F(9,11)秒1多90°多180°120EQ\F(21,22)51EQ\F(9,11)1点20EQ\F(21,22)分51EQ\F(9,11)秒1多270°少180°154EQ\F(3,22)24EQ\F(6,11)1点54EQ\F(3,22)分24EQ\F(6,11)秒1多270°少90°153EQ\F(39,44)39EQ\F(6,11)1点53EQ\F(39,44)分39EQ\F(6,11)秒2多90°多90°226EQ\F(25,44)42EQ\F(3,11)2点26EQ\F(25,44)分42EQ\F(3,11)秒2多90°多180°226EQ\F(7,22)57EQ\F(3,11)2点26EQ\F(7,22)分57EQ\F(3,11)秒2多270°少180°259.5302点59.5分30秒2多270°少90°259.25452点59.25分45秒算到这边，出现了一个问题。“2点59.5分30秒”和“2点59.25分45秒”，秒针的指向非常精确，而同时的时针和分针却还差那么“一点”，是时间不可分割还是三个指针的角度公式有误？请大家继续解释，补充完善吧。下面的部分类似，每3个点钟的情况相似。时针在某整点之后（在下一整点之前）分针夹角（比时针夹角）秒针夹角（比分针夹角）XYZ对应时间3多90°多90°331EQ\F(41,44)47EQ\F(8,11)3点31EQ\F(41,44)分47EQ\F(8,11)秒3多90°少180°332EQ\F(15,22)2EQ\F(8,11)3点32EQ\F(15,22)分2EQ\F(8,11)秒3少90°多180°3-0.530？2点59.5分30秒？3少90°多270°3-0.7545？2点59.25分45秒？4多90°多90°437EQ\F(13,44)53EQ\F(2,11)4点37EQ\F(13,44)分53EQ\F(2,11)秒4多90°少180°438EQ\F(1,22)8EQ\F(2,11)4点38EQ\F(1,22)分8EQ\F(2,11)秒4少90°多180°44EQ\F(19,22)35EQ\F(5,11)4点4EQ\F(19,22)分35EQ\F(5,11)秒4少90°多270°44EQ\F(27,44)50EQ\F(5,11)4点4EQ\F(27,44)分50EQ\F(5,11)秒5多90°多90°542EQ\F(29,44)58EQ\F(7,11)5点42EQ\F(29,44)分58EQ\F(7,11)秒5多90°少180°543EQ\F(9,22)13EQ\F(7,11)5点43EQ\F(9,22)分13EQ\F(7,11)秒5少90°多180°510EQ\F(5,22)40EQ\F(10,11)5点10EQ\F(5,22)分40EQ\F(10,11)秒5少90°多270°59EQ\F(43,44)55EQ\F(10,11)5点9EQ\F(43,44)分55EQ\F(10,11)秒可以发现，3点的2种情况正指向2点相应的2种情况，是完全相同的，因此产生的问题也一样。待解答。接下来是6点到8点的部分。时针在某整点之后（在下一整点之前）分针夹角（比时针夹角）秒针夹角（比分针夹角）XYZ对应时间6少90°少90°616EQ\F(15,44)1EQ\F(4,11)6点16EQ\F(15,44)分1EQ\F(4,11)秒6少90°多180°615EQ\F(13,22)46EQ\F(4,11)6点15EQ\F(13,22)分46EQ\F(4,11)秒6多90°少180°648EQ\F(17,22)19EQ\F(1,11)6点48EQ\F(17,22)分19EQ\F(1,11)秒6多90°少270°649EQ\F(1,44)4EQ\F(1,11)6点49EQ\F(1,44)分4EQ\F(1,11)秒7少90°少90°721EQ\F(31,44)6EQ\F(9,11)7点21EQ\F(31,44)分6EQ\F(9,11)秒7少90°多180°720EQ\F(21,22)51EQ\F(9,11)7点20EQ\F(21,22)分51EQ\F(9,11)秒7多90°少180°754EQ\F(3,22)24EQ\F(6,11)7点54EQ\F(3,22)分24EQ\F(6,11)秒7多90°少270°754EQ\F(17,44)9EQ\F(6,11)7点54EQ\F(17,44)分9EQ\F(6,11)秒8少90°少90°827EQ\F(3,44)12EQ\F(3,11)8点27EQ\F(3,44)分12EQ\F(3,11)秒8少90°多180°826EQ\F(7,22)57EQ\F(3,11)8点26EQ\F(7,22)分57EQ\F(3,11)秒8多90°少180°859.5308点59.5分30秒8多90°少270°859.75158点59.75分15秒同样的问题出现在8点多近9点时，这时的秒针应该也距离“30”和“15”差一点而不是正好在上面？跳过同样的问题，继续9至11点的部分。时针在某整点之后（在下一整点之前）分针夹角（比时针夹角）秒针夹角（比分针夹角）XYZ对应时间9少90°少90°932EQ\F(19,44)17EQ\F(8,11)9点32EQ\F(19,44)分17EQ