专题6.2 平行四边形的判定（学生版）

专题6.2平行四边形的判定1．掌握平行四边形的判定定理；2．会应用平行四边形的判定定理解决相关的几何证明和计算问题；知识点01平行四边形的判定定理【知识点】平行四边形的判定，主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC。2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC。3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO。注：=1\*GB3①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；=2\*GB3②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形。若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的。【知识拓展1】平行四边形的判定例1．（2022·广东·八年级课时练习）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等【即学即练】1．（2022·山东·八年级期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．有两组对角相等的四边形是平行四边形2．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校联考期中）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形是平行四边形．其依据是（

）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【知识拓展2】判断能否构成平行四边形例2．（2022·湖北远安·八年级期末）如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，∠DAC=∠BCAB．AB=CD，∠ABO=∠CDOC．AC=2AO，BD=2BOD．AO=BO，CO=DO【即学即练】1．（2023春·湖北荆州·八年级统考期中）如图，四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（

）A．B．C．D．，2．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）如图，四边形的对角线交于点，下列不能判定其为平行四边形的是(

)A．B．C．D．【知识拓展3】添加一个条件成为平行四边形例3．（2023春·北京东城·八年级校考期中）如图，在中，对角线与相交于点O，E、F是对角线上的点．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（

）A． B． C． D．【即学即练】1．（2022·绵阳市八年级专题练习）如图，在中，D，F分别是，上的点，且．点E是射线上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形为平行四边形的是（）A． B． C． D．2．（2023春·江苏无锡·八年级联考阶段练习）如图，中，，为锐角．要在对角线上找点N，M，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案有（

）A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙【知识拓展4】证明四边形是平行四边形例4．（2022·广东惠城·八年级期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，点D从点C出发沿CA方向以cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤60）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【即学即练】1．（2022·山西八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．（1）求证：AEF≌DEC；（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．【知识拓展5】利用平行四边形的性质与判定求解例5．（2022·吉林长春市·八年级月考）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O．（1）求证：AD与BE互相平分；（2）若AB⊥AC，AC=BF，BE=8，FC=2，求AB的长．【即学即练】1．（2022·广东·八年级期中）如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（）A．5 B．2 C．2 D．3【知识拓展6】利用平行四边形的性质与判定证明例6．（2022·辽宁旅顺口·八年级期中）如图，四边形中，，，过点作，垂足为，且．连接，交于点．（1）探究与的数量关系，并证明；（2）探究线段，，的数量关系，并证明你的结论．【即学即练】1．（2022·上海九年级专题练习）已知：平行四边形中，点为边的中点，点为边的中点，联结、．（1）求证：∥；（2）过点作，垂足为，联结．求证：△是等腰三角形．题组A基础过关练1．（2022·黑龙江·大庆市八年级期末）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．1：2：3：4B．1：4：2：3C．1：2：2：1D．3：2：3：22．（2022·上海九年级专题练习）四边形中，对角线交于点．给出下列四组条件：①∥，∥；②，；③，；④∥，．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（）A．1组； B．2组； C．3组； D．4组．3．（2022·重庆江北区·字水中学九年级月考）下列命题是假命题的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．两组对角分别互补的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形4．（2023春·西藏·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点，，，点D为平面直角坐标系中的点，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标______．5．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，在中，点E在上，点F在上，且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若为的平分线，且，，求的周长．6．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，是对角线，，，垂足分别为点E，F．(1)求证：．(2)连接和，判断四边形的形状，并说明理由．7．（2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图所示，点E是的边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．(1)求证：；(2)连接、，则四边形（填“是”或“不是”）平行四边形．8．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）已知：如图，在中，，，垂足分别为．(1)求证：；(2)四边形是平行四边形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．9．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在矩形中，点E为的中点，延长，交于点F，连接，．(1)求证：四边形为平行四边形．(2)若为的角平分线，，求四边形的周长．10．（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，在平行四边形中，．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，．求四边形的面积．11．（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在四边形中，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)连接相交于点O，，则的周长等于_________．题组B能力提升练1．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）中，E，F是对角线上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（）A． B． C． D．2．（2022·山东·八年级）四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）A．若AO＝OC，则ABCD是平行四边形B．若AC＝BD，则ABCD是平行四边形C．若AO＝BO，CO＝DO，则ABCD是平行四边形D．若AO＝OC，BO＝OD，则ABCD是平行四边形3．（2022·山东·宁津县八年级期末）如图，在中，点，分别在边，上．若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中．那么不能使四边形是平行四边形的条件是（）A． B． C． D．4．（2022秋·八年级单元测试）如图，在平行四边形中，，，与交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．11个5．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．在转动其中一张纸条的过程中，线段和的长度始终相等，这里蕴含的数学原理是____________．6．（2023春·江苏无锡·八年级校联考阶段练习）在中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动．点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当时，运动时间________时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．7．（2022·北京·人大附中八年级阶段练习）已知点A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是_____．8．（2022·山东八年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，E、F分别在CD和BC的延长线上，，，则______．9．（2023春·北京顺义·八年级北京市顺义区仁和中学校考期中）如图，在中，点O是对角线的中点，过点O的直线交边于点E，交边于点F．连接．(1)依题意补全图形；(2)①直接写出图中除外所有的平行四边形（可以标记字母）；②选择①中的一个平行四边形加以证明．10．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）已知，平行四边形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使，连接、、、．(1)如图1，求证：四边形是平行四边形．(2)如图2，当时，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形面积都等于三角形面积的．11．（2022·山东烟台市·八年级期末）在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．（1）当点在边上时，如图①，求证：．（2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？（3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____（不需要证明）．题组C培优拔尖练1．（2023春·河南新乡·八年级河南师大附中校考期中）如图，点E、F是平行四边形对角线上两点，在条件：①；②；③；④中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①③3．（2023春·江西宜春·八年级统考期中）如图，在▱中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．在这段时间内，当运动时间为______时，线段．4．（2022·云南·昆明市九年级阶段练习）如图，在中，与交于点，点在上，cm，cm，，点是的中点，若点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动；点同时以2cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动_____时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．

5．（2022·江苏射阳·九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD长．6．（2022·黑龙江·哈尔滨九年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．7．（2022·浙江杭州市·八年级期中）如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，．（1）求证：四边形为平行四边形．（2）若，上述结论还成立吗？若呢？（3）若平分，，求四边形的周长．8．（2023·河北承德·统考一模）如图，在四边形中，，，．将沿剪下来，以为旋转中心逆时针旋转，旋转过程中，、与所在的直线的交点分别为、．(1)求证：；(2)当旋转角为时，如图2所示，求重叠部分的面积；(3)在旋转过程中，若，如图3所示，求的长；(4)在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含的式子表示）．9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考一模）已知：如图1