专题04 绝对值的几何意义（专项培优训练）（教师版）

专题04绝对值的几何意义（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟试卷难度：0.48一、选择题（共20分）1．（本题2分）（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）满足的x的值是（

）．A．0 B． C． D．【答案】C【思路引导】先将范围分类，再去绝对值进行运算，最后核对选项即可．【完整解答】时，，，舍去；时，得，∴或，得，满足，可取；时，，舍去；综上所述，故选C．【考点总结】本题考查复杂的含有绝对值的一次方程，遇到绝对值须先判断绝对值内式子正负，在不确定范围的情况下，按照绝对值为0进行未知数范围的分类讨论是常见的办法．对未知数进行范围分类而去除绝对值是解题的关键．2．（本题2分）（2022秋·重庆江津·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（

）①若，则或；②若，则；③若，则；④关于的方程有无数个解．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【思路引导】应用绝对值的几何意义进行判定即可得出答案．【完整解答】解：①若，可得，则则或2023；所以①说法正确；②若，几何意义是数轴到表示数1的点和表示数3的点的距离相等的点，即可得出；所以②说法正确；③当时，则，所以③说法不正确；④因为的几何意义是到数轴上表示的点与表示2的点的距离和等于3的点，即时满足题意，所以有无数个解，故④说法正确．故选：C．【考点总结】本题重要考查了数轴及绝对值，熟练掌握数轴及绝对值的几何意义进行求解是解决本题的关键．3．（本题2分）（2022秋·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，数轴上两点，表示的数分别是，，点在数轴上．若，则点表示的数为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【思路引导】根据图象可知数轴上两点A，B表示的数分别是，，则，设点表示的数为，，则，解得或．【完整解答】数轴上两点A，B表示的数分别是，，，设点表示的数为，，，解得：或，故选：D．【考点总结】本题考查了数轴，所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．4．（本题2分）（2023春·重庆铜梁·八年级校考期末）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法：①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；③若可以闪退的三项，，满足：，则的最小值为．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【思路引导】①根据“闪减操作”的定义，举出符合条件的式子进行验证即可；②先根据“闪减操作”的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断；③根据“闪减操作”的定义和绝对值的几何意义，求出，，的最小值，即可得出结论．【完整解答】①“闪减操作”后的式子为，“闪减操作”后的式子为，对这两个式子作差，得：，结果不含与e相关的项，故①正确；②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”：“闪减操作”结果为，当时，，当时，，当时，，当时，，“闪减操作”结果为，当时，，当时，，当时，，当时，，“闪减操作”结果为，当时，，当时，，当时，，当时，，共有12种不同的结果，故②错误；③∵，在数轴上表示点与和的距离之和，∴当距离取最小值时，的最小值为，同理：，在数轴上表示点与和的距离之和，∴当距离取最小值时，的最小值为，，在数轴上表示点与和的距离之和，∴当距离取最小值时，的最小值为，∴当，，都取最小值时，，此时，的最小值为，故③正确；故选C．【考点总结】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．5．（本题2分）（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）一实验室检测、、、四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不是标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（

）A． B． C． D．【答案】D【思路引导】正数表示的是超出标准的，负数表示的是不足标准的，只有绝对值的大小表示的是与不足差值的多少．【完整解答】解：；；；，∵，∴0.8最小，故选：D．【考点总结】本题考查的是正负数，解题的关键是求出绝对值．6．（本题2分）（2023·全国·模拟预测）若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（

）A． B． C． D．【答案】C【思路引导】由题意知，进而判断各选项即可．【完整解答】解：∵∴故选项A错误，不符合要求；故选项B错误，不符合要求；故选项C正确，符合要求；故选项D错误，不符合要求；故选C．【考点总结】本题考查了有理数的大小比较．解题的关键在于确定有理数的取值范围．7．（本题2分）（2021秋·浙江宁波·七年级统考期末）数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（

）A．在，之间 B．在，之间C．在，之间 D．在，之间【答案】B【思路引导】根据O、A、B、C、五个点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论．【完整解答】解：由题意可得：点A表示的数为-5，点B表示的数为3，点C表示的数为-1，点D表示的数为d，且AC=BC∵，∴MD=BD，又∵-5＜d＜-1＜3∴M点介于O、C之间，故选：B．【考点总结】本题考查的是数与数轴，利用数形结合思想解题是关键．8．（本题2分）（2020秋·江西南昌·七年级期中）如图，有理数在数轴上的对应点的位置，且，则该数轴的原点位置只可能在（）

A．的左边 B．之间 C．之间 D．b的右边【答案】C【思路引导】根据数轴的定义以及绝对值的定义，对每个选择作出判断，得符合题意的选项．【完整解答】由于，由数轴知：a＜c＜b，∴a＜0＜c＜b，所以该数轴的原点位置在之间．故选：C．【考点总结】本题考查数轴、绝对值等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题．9．（本题2分）（2022秋·山东临沂·七年级校考期中）设实数、、满足（），且，则的最小值是（

）．A． B． C． D．【答案】D【思路引导】根据ac＜0可知，a，c异号，再根据a＜b＜c，以及|c|＜|b|＜|a|，即可确定a，b，-c在数轴上的位置，而|x-a|+|x-b|+|x+c|表示数轴上的点到a，b，-c三点的距离的和，根据数轴即可确定．【完整解答】∵ac＜0∴a，c异号∴a＜0，c＞0又∵a＜b＜c，以及|c|＜|b|＜|a|∴a＜b＜-c＜0＜c|x-a|+|x-b|+|x+c|表示到a，b，-c三点的距离的和．当x在表示b点的数的位置时距离最小，即|x-a|+|x-b|+|x+c|最小，最小值是a与-c之间的距离，即-c-a．故选D．【考点总结】本题解决的关键是根据条件确定a，b，c，-c之间的大小关系，把求式子的最值的问题转化为距离的问题．10．（本题2分）（2022秋·七年级课时练习）在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C.若CO=2BO，则a的值为（

）A．1 B．-7 C．1或-7 D．-1或-7【答案】B【思路引导】先由已知条件得CO的长，再根据绝对值的含义得关于的方程，解得即可．【完整解答】∵B表示数是：2，∴CO=2BO=4，∵将点A向右平移3个单位长度，∴点C表示数是：，∴，∴，∴或，∵点A、B在原点O的两侧，∴，故选：B．【考点总结】本题考查了数轴上的点所表示的数及绝对值方程，根据题意正确列式，是解题的关键．二、填空题（共20分）11．（本题2分）（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和3关于1的相对距离为5，那么m的值为．【答案】4或/或4【思路引导】根据新定义可列等式，结合绝对值的性质计算可求解m值．【完整解答】解：由题意得，即，∴或，解得或，故答案为4或．【考点总结】本题考查了新定义，两点间的距离，绝对值方程，根据新定义列出方程是解题的关键．12．（本题2分）（2020秋·内蒙古包头·七年级包头市第二十九中学校考期中）数轴上点A表示的数为，若点到点A的距离为3个单位，则点表示的数为．【答案】或1【思路引导】设点表示的数为a，根据数轴上两点间的距离公式，即可求得．【完整解答】解：设点表示的数为a，数轴上点A表示的数为，点到点A的距离为3个单位，，，解得或，故点表示的数为或1，故答案为：或1．【考点总结】本题考查了数轴上两点间距离的求法，解绝对值方程，熟练掌握和运用数轴上两点间距离的求法是解决本题的关键．13．（本题2分）（2022秋·福建泉州·七年级校考期中）数轴上点表示的数是，点表示的数是，用表示、点两间的距离，记，若，则为．【答案】或/或【思路引导】根据题意得出，解绝对值方程即可求解．【完整解答】解：根据题意得：，解得：或，故答案为：或【考点总结】本题考查了数轴上两点距离，解绝对值方程，理解题意是解题的关键．14．（本题2分）（2023秋·山东枣庄·七年级校考期末）点A在数轴上表示数，点B在数轴上距离点A有5个单位长度，则点B表示的数为．【答案】或2/2或【思路引导】设点B表示的数为x，再由数轴上两点间的距离公式即可得出结论．【完整解答】解：设点B表示的数为x，则，解得：或.故答案为：或2．【考点总结】本题主要考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．15．（本题2分）（2022秋·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）小明计算：，其中“*”是被污染看不清楚的一个数，他翻开答案知道该题计算结果是6，那么“*”表示的数是．【答案】9或/或9【思路引导】根据题意可得，解出即可．【完整解答】解∶根据题意得：，∴或，解得：或．故答案为：9或【考点总结】本题主要考查了绝对值方程，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．16．（本题2分）（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）有A、B在数轴上表示的数分别是a、b，点A、B之间的距离为．若，则．【答案】或2/2或【思路引导】根据两点间的距离的表示可知x为到1和的距离的和等于8的数，然后结合数轴解答即可．【完整解答】解：由题意可知，表示：到1和的距离的和等于8的数，∴由数轴可知或2．故答案为：或2．【考点总结】本题考查绝对值，数轴．理解两点间的距离的表示方法是解题的关键．17．（本题2分）（2021秋·山东济南·七年级校考阶段练习）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“＋”“－”分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是．威化咸味甜味酥脆＋10（g）－8.5（g）＋5（g）－7.3（g）【答案】甜味【思路引导】找出表格中四个数值的绝对值最小的即可得．【完整解答】解：，，，，因为，所以最符合标准的一种食品是甜味，故答案为：甜味．【考点总结】本题考查了绝对值的应用，理解题意，正确求出各数的绝对值是解题关键．18．（本题2分）（2022秋·七年级课时练习）数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，则|x-2|表示A，B点两间的距离，若记，则y的最小值为．【答案】8【思路引导】进行分类，去绝对值符号，然后研究最小值．【完整解答】解：当时，，当，为最小值；当时，，当时，，当，为最小值；故y的最小值为8，故答案为：8．【考点总结】本题考查了去绝对值符号、数轴上两点间的距离，解题的关键是去绝对值符号．19．（本题2分）（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）设是一个四位数，，，，是阿拉伯数字，且，则式子的最大值是．【答案】16【思路引导】若使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小即可，同时为使式子最大，则应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故，此时只能为1，所以此数为，再代入计算即可求解．【完整解答】解：若使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小即可，同时为使式子最大，则应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故，此时只能为1，所以此数为，的最大值．故答案为：16．【考点总结】此题考查了绝对值，要使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小，再根据低位上的数字不小于高位上的数字解答．20．（本题2分）（2021秋·江苏·七年级专题练习）已知在纸面上有一数轴（如图所示）一般地，数轴上表示数m和数n的两点间距离可用|m﹣n|表示，|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是【答案】1【思路引导】根据|x﹣4|+|x﹣5|表示数x的点到4和5之间的距离的和即可求解.【完整解答】解：∵|x﹣4|+|x﹣5|表示数x到4和5的距离之和∴当4≤x≤5时，|x﹣4|+|x﹣5|有最小值，最小值为：1．故答案为1．【考点总结】本题考查了数轴上两点之间的距离的计算方法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应该牢记并会灵活运用.三、解答题（共60分）21．（本题8分）（2022秋·七年级单元测试）阅读材料：因为，所以的几何意义可解释为数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．这个结论可推广为：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：(1)等式的几何意义是什么？这里的值是多少？(2)等式的几何意义是什么？这里的值是多少？(3)式子的几何意义是什么？这个式子的最小值是多少？【答案】(1)几何意义为数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离等于，或(2)几何意义是点到点的距离等于点到点的距离，(3)几何意义是点到点的距离与点到点的距离的和，最小值为【思路引导】（1）根据的几何意义求解可得；（2）先去绝对值，再解方程即可求解；（3）由题意知表示数到和的距离之和，当数在两数之间时式子取得最小值．【完整解答】（1）解：等式的几何意义为数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离等于，这里或．（2）解：设数轴上表示数，，的点分别为，，，则等式的几何意义是点到点的距离等于点到点的距离，即，所以．（3）解：设数轴上表示数，，的点分别为，，，则式子的几何意义是点到点的距离与点到点的距离的和，即．结合数轴可知：当时，式子的值最小，最小值为．【考点总结】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．22．（本题8分）（2023秋·北京密云·七年级统考期末）已知点是数轴的原点，点A、、分别是数轴上的三个动点点在点的左侧，且，将点A，，表示的数分别记作，，．(1)当，时，直接写出的值；(2)当时，计算的值；(3)若，，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【思路引导】（1）利用数轴知识，已知A、两点表示的数，求线段中点表示的数；（2）已知中点表示的数，根据线段中点的定义，求出的值；（3）根据线段的和差，线段中点的定义求出的值．【完整解答】（1）解：∵，，，∴；（2）解：∵，，∴；（3）解：，，，，，，或，或，或，综上所述，的值为或．【考点总结】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识和线段的和差，线段中点的定义．23．（本题8分）（2022秋·青海西宁·七年级统考期末）【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为；在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为；在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为．……如图，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，、两点之间的距离表示为或，记为．

【解决问题】（1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离为________；（2）数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为________；【拓展探究】（3）如图，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为．

①若点在、两点之间，则________；②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，直接写出点表示的数．【答案】（1）5，（2），（3）①6，②点P表示的数为0或者【思路引导】（1）根据题干材料给出的方法计算即可；（2）根据题干材料给出的方法计算即可；（3）①设点P表示的数为x，根据题意可知：，即有，问题得解；②设点P表示的数为x，根据题意有：，，根据，可得，分类讨论：分当时、当时、当时，解绝对值方程即可求解．【完整解答】（1），故答案为：5；（2）根据题意有：，故答案为：；（3）①设点P表示的数为x，根据题意可知：，∴，故答案为：6；②设点P表示的数为x，根据题意有：，，∵，∴，即，分类讨论：当时，去绝对值为：，解得：；即此时点P表示的数为；当时，去绝对值为：，解得：，即此时点P表示的数为0；当时，去绝对值为：，解得：，此种情况不符合题意舍去；综上所述：点P表示的数为0或者．【考点总结】本题考查了数轴与绝对值的概念的应用，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．24．（本题8分）（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，在一次数学探究活动中，数学兴趣小组通过探究发现可以通过用“两数的差”来表示“数轴上两点间的距离”，例如图1中线段的长度可表示为：，，，……结论：数轴上任意两点表示的数分别、，则这两个点间的距离为（即：用较大的数减去较小的数）(1)如图1，计算：______，______；(2)如图2，点表示数，点表示数，点表示数，且，求点和点表示的数；(3)在（2）条件下，在图2的数轴上是否存在点，使，若存在，请直接写出点表示的数；若不存在，请说明理由【答案】(1)3，7(2)点F表示的数为，点H表示的数为1(3)或【思路引导】（1）根据数轴上两点距离公式求解即可；（2）根据数轴上两点的距离得到，再由建立方程求解即可；（3）设点Q表示的数为m，则，再由，得到方程，然后分m不同的取值范围进行去绝对值进行求解即可．【完整解答】（1）解：由题意得，，，故答案为：3，7；（2）解：∵点表示数，点表示数，点表示数，∴，∵，∴，解得，∴，∴点F表示的数为，点H表示的数为1；（3）解：设点Q表示的数为m，∴，∵，∴，当时，则，解得；当时，则，解得（舍去）；当时，则，解得；当时，则，解得（舍去）；综上所述，m的值为或，∴点Q表示的数为或．【考点总结】本题主要考查了数轴上两点距离公式，用数轴表示有理数，绝对值方程，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键．25．（本题8分）（2022秋·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．提出问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？探究问题：探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0．当b＝2时，，如图1所示；当b＝－3时，，如图2所示；由此可以推断当b＝n时，______．探究二：如果A，B两点都不在原点，即，．（1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示：；（2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：；（3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______．解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示）实际应用：（1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______；（2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______．拓展延伸：结合数轴回答下列问题：（1）的最小值是______；（2）的最大值是______．【答案】探究一：n；探究二（2）；（3）；解决问题：；实际应用（1）5；（2）7或；拓展延伸（1）4；（2）9【思路引导】探究一：根据绝对值的概念可得；探究二（2）根据绝对值的概念计算即可；（3）根据绝对值的概念计算即可；解决问题：根据绝对值的概念计算即可；实际应用（1）根据绝对值的概念计算即可；（2）根据绝对值的概念列方程解答即可；拓展延伸（1）根据绝对值的概念计算即可；（2）根据绝对值的概念计算即可．【完整解答】探究一：当b＝n时，，故答案为：n；探究二：（2），故答案为：；（3），故答案为：；解决问题：，故答案为：；实际应用（1）有理数－6和－1的两点之间的距离是，故答案为：5；（2）∵表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，∴，∴或，得或，故答案为：7或；拓展延伸（1）从数轴上可以看出，当x位于到1之间时它们的距离和最小，最小值为4，∴的最小值是4，故答案为：4；（2）从数轴上可以看出，当x位于到5之间时它们的距离差最大，最大值为9，∴的最大值是9，故答案为：9．【考点总结】此题考查了绝对值概念的理解，解题的关键是要注意负数绝对值的计算方法．26．（本题10分）（2023·江苏·七年级假期作业）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．

利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为．(3)若x表示一个有理数，则的最小值＝．(4)若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的是．(5)若x表示一个有理数，当x为，式子有最小值为．【答案】(1)4，5(2)，(3)5(4)或0或1或2或3(5)3，6【思路引导】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离列式计算即可；（2）根据数轴上A、B两点之间的距离列式计算即可；（3）根据数轴上两点之间的距离的意义可知x在与1之间时，有最小值5；（4）根据数轴上两点之间的距离的意义可知当x在与3之间时（包含和3），，然后可得满足条件的所有整数x的值；（5）根据数轴上两点之间的距离的意义可知当时，有最小值，最小值为到4的距离，然后可得答案．【完整解答】（1）解：数轴上表示2和6两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是，故答案为：4，5；（2）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为，数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为；故答案为：，；（3）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知：可表示为点x到1与两点距离之和，∴当x在与1之间时，有最小值5，故答案为：5；（4）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知：表示为点x到与两点距离之和为4，∴当x在与3之间时（包含和3），，∴满足条件的所有整数x的是或0或1或2或3；故答案为：或0或1或2或3；（5）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知：可看作是数轴上表示x的点到、3、4三点的距离之和，∴当时，有最小值，最小值为到4的距离，即，故答案为：3，6．【考点总结】本题考查了