专题07 将军饮马与蚂蚁爬行问题【考题猜想20题2种题型】（原卷版）

专题07将军饮马与蚂蚁爬行问题（20题2种题型）一、蚂蚁爬行问题（共4小题）1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，是用棱长为的两个正方体拼成的新几何体，求一只蚂蚁从顶点出发沿着新几何体的表面爬行到顶点的最短路程是多少？2．（2022秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，有一个高为，底面周长为的圆柱形水桶，水桶的底端处有一只蚂蚁，它准备沿水桶的侧面爬行到对角处去吃一滴蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路线长．3．（2021秋·山东枣庄·八年级校考阶段练习）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为4cm，4cm，6cm(1)一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，请你帮蚂蚁设计一条最短的路线，蚂蚁要爬行的最短路线是多少？(2)若将一根木棒放进盒子里并能盖上盖子，则能放入该盒子里的木棒的最大长度是多少cm?(结果可保留根号)【4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，一只螳螂在树干的点处，发现它的正上方点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为，，两点的距离为，求螳螂爬行的最短距离（π取3）．二、将军饮马问题（共16小题）5．（2022春·上海·七年级校联考期末）在直角坐标系中有和两点，是轴上的任意一点，则长度的最小值是？6．（2022秋·江苏·八年级期末）将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．【操作观察】（1）图1中，，．①则_______；②若，则_______；【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．7．（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市沈东初级中学校考开学考试）已知：如图，在平面直角坐标系中．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（），B1（），C1（）；（2）直接写出△ABC的面积为；（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．8．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请在横线上补充其推理过程或理由．解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′∵∠ACB＝90°（已知）∴（垂直的定义）∴PB＝（线段垂直平分线的性质）∴PB+PD＝PB′+PD（等式性质）∴过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′，在△ABC和△AB′C中，∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°，∴△ABC≌△AB′C（理由：）∴S△ABB′＝S△ABC+＝2S△ABC（全等三角形面积相等）∵S△ABB′＝AB﹒B'D＝×10×B′D＝5B′D又∵S△ABB′=2S△ABC＝2×BC﹒AC＝2××6×8＝48∴（同一三角形面积相等）∴B′D＝∴9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点是内任意一点，，，点、分别是射线、上的动点，求周长的最小值．11．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、、，点、分别是直线和轴上的动点，求周长的最小值．12．（2022秋·江西上饶·八年级校考阶段练习）在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中处各有一颗棋子．(1)如图1，依次连接A，B，C，A，得到一个等腰三角形（BC为底边），请在图中画出该图形的对称轴．(2)如图2，现x轴上有两颗棋子P，Q，且（P在Q的左边），依次连接A，P，Q，B，使得的长度最短，请在图2中标出棋子P，Q的位置，并写出P，Q的坐标．13．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、，点是轴上的动点，过点作垂直直线于点，连接、，求的最小值及此时点的坐标．14．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点，连结，∵点B，关于直线l对称，点C，在l上，∴_________，_________，∴_________．在中，∵，∴，即最小．(1)请将证明过程补充完整．（直接填在横线上）(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．(3)如图，平面直角坐标系中，，P是坐标轴上的点，则的最大值为_________，此时P点坐标为_________．（直接写答案）15．（2022秋·江苏·八年级专题练习）“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长．(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；(2)利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______．(3)应用：①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值；②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______，此时______．16．（2022秋·八年级单元测试）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B=C′B′，∴AC+CB=AC+=．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．1.简单应用（1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段的长度，则EM+MC的最小值是；（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=°．2.拓展应用如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．17．（2022秋·全国·八年级专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．18．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河上的某一位置P，再马上赶到河上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程最短．19．（2021·山西晋中·八年级统考期中）阅读下列材料并完成任务：“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图1，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为镜面，画出甲地的镜像点(垂直河边的等距离点)，然后连接乙地和甲地的镜像点，会跟河边相交一点，这个点就是马饮水的地方，马走的路程最短(两点之间直线距离最短)．任务：（1）请你帮海伦在图1的位置完成作图，并标出马饮水的地点P（画出草图即可）；（2）如图2，ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1，-1)，B(-3，4)，C(3，2)．请你在x轴上找一点Q，使得QB+QC最