专题02 倍长中线模型（解析版）（人教版）

专题02倍长中线模型【基本模型】【例题精讲】例1．（基本模型）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是；（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；（3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析【分析】（1）延长到点，使，连接，即可证明，则可得，在中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围；（2）延长到点使，连接，由（1）知，则可得，由可知，，由角度关系即可推出，故，即可得到；（3）延长到，使，连接，即可证明，则可得由，以及角度关系即可证明点在一条直线上，通过证明≌，即可得到，进而通过线段的和差关系得到．【详解】（1）延长到点，使，连接，∵是的中线，∴，在和中，，，，∴，∴，在中，，∴，即，∴；（2）证明:延长到点使,连接，由（1）知，∴，，，，，，，，（3），延长到，使，连接，，，，，，点在一条直线上，，∴，∴在和中，，，，∴≌，，∵，．【点睛】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．例2．（培优综合1）阅读

（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是________；

（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；

（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）2＜AD＜8；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF；理由见解析.【分析】（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论．【详解】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=AD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案为2＜AD＜8；（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示：同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM=CF，∵DE⊥DF，DM=DF，∴EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，∴∠NBC=∠D，在△NBC和△FDC中，BN=DF，∠NBC=∠D，BC=DC，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，∴∠BCE+∠FCD=70°，∴∠ECN=70°=∠ECF，在△NCE和△FCE中，CN=CF，∠ECN=∠ECF，CE=CE，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN=EF，∵BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理.例3．（培优综合2）已知，△ABC中，BC＝6，AC＝4，M是BC的中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG，MA的延长线交EG于点N，(1)如图，若∠BAC＝90°，求证：AM＝EG，AM⊥EG；(2)将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至如图，(1)中结论是否仍然成立？请说明理由；(3)将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至B，C，F三点在一条直线上，请画出图形，并直接写出AN的长．【答案】(1)证明见解析；(2)结论不变；(3)AN的值为．【分析】(1)方法一：如图1中，直接证明△ABC≌△AEG即可解决问题；方法二：如图2中，如图，延长AM至点H，使AM＝MH，连接BH．证明△EAG≌△ABH即可解决问题．(2)如图3中，结论不变．证明方法类似方法二．(3)分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】(1)证明：方法一：如图1中，∵四边形ABDE，四边形ACFG均为正方形，∴∠BAE＝∠CAG＝90°＝∠BAC＝∠EAG，且AB＝AE，AC＝AG，在△ABC和△AEG中，∴△ABC≌△AEG(SAS)，∴BC＝EG，∠CBA＝∠AEG，又∵M是AB的中点，∴AM＝BM＝BC，∴AM＝EG，∠MBA＝∠MAB＝∠AEN，∴∠ANE＝180°﹣(∠NEA+∠EAN)＝180°﹣(∠BAM+∠EAN)＝180°﹣(180°﹣90°)＝90°，∴AM⊥EG．方法二：如图，延长AM至点H，使AM＝MH，连接BH．在△ACM和△HBM中，△ACM≌△HBM(SAS)，∴BH＝AC，∠BHM＝∠CAM，∴AC∥BH，∴∠HBA＝∠CAB＝90°∵四边形ABDE，四边形ACFG均为正方形，∴∠BAE＝∠CAG＝90°＝∠BAC＝∠EAG，且AB＝AE，AC＝AG，∴BH＝AG，在△EAG和△ABH中，∴△EAG≌△ABH(SAS)，∴EG＝BC，∠NEA＝∠HAB，∴∠ANE＝180°﹣(∠NEA+∠EAN)＝180°﹣(∠HAB+∠EAN)＝180°﹣(180°﹣90°)＝90°，∴AM⊥EG，∵∠BAC＝90°，AM为BC中点，∴AM＝BC，∴AM＝EG．(2)如图3中，结论不变．理由：在△ACM和△HBM中，△ACM≌△HBM(SAS)，∴BH＝AC，∠BHM＝∠CAM，∴AC∥BH，∴∠HBA+∠CAB＝90°，∵四边形ABDE，四边形ACFG均为正方形，∴∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAC+∠EAG＝180°，∴∠ABH＝∠EAG，且AB＝AE，AC＝AG，∴BH＝AG，在△EAG和△ABH中，△EAG≌△ABH(SAS)，∴EG＝BC，∠NEA＝∠HAB，∴∠ANE＝180°﹣(∠NEA+∠EAN)＝180°﹣(∠HAB+∠EAN)＝180°﹣(180°﹣90°)＝90°，∴AM⊥EG，∵∠BAC＝90°，AM为BC中点，∴AM＝BC，∴AM＝EG．(3)①如图4﹣1中，当点F在BC的延长线上时，作CH⊥AM于H．易证：△ANG≌△CHA，可得AN＝CH，在Rt△ACM中，∵AC＝4，CM＝3，∴∵•AM•CH＝•AC•CM，∴CH＝，∴AN＝CH＝．②如图4﹣2中，当点F在线段BC上时，同法可得AN＝CH＝.综上所述，AN的值为．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常压轴题．例4．（培优综合3）在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，直线于点．直线于点，连接，．（1）如图1，若点，在直线的异侧，延长交于点．求证：．（2）若直线绕点旋转到图2的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时，，，求的长度．（3）若过点作直线于点．试探究线段、和的关系．【答案】（1）见解析；（2）；（3）线段、和的位置关系为，数量关系为或或【分析】（1）根据平行线的性质证得再根据，即可得到，得到．（2）延长与的延长线相交于点．证明，推出，求出的面积即可解决问题．（3）位置关系的证明比较简单，数量关系分四种情形：当直线与线段交于一点时，当直线与线段交于一点时，当直线与线段的延长线交于一点时，当直线与线段的延长线交于一点时，画出对应的图形，利用三角形和梯形的面积公式分别证明即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1，直线于点，直线于点，，，，又为边中点，，在和中，，，．（2）解：如图2，延长与的延长线相交于点，直线于点，直线于点，，，，，又为中点，，又，∴在和中，，，，，，∵，，，，，，，．（3）位置关系：，数量关系：分四种情况讨论∵直线于点．直线于点，直线于点，∴，①如图3，当直线与线段交于一点时，由（1）可知，，即，，，，∵，．②当直线与线段交于一点时，如图，延长交的延长线于点．直线于点，直线于点，，，，又为边中点，，在和中，，，．，即，，，，∵，．③如图4，当直线与线段的延长线交于一点时．由（2）得：，，，∴，即，．④当直线与线段的延长线交于一点时，如图，延长交的延长线于点．直线于点，直线于点，，，，，又为中点，，又，∴在和中，，，，，∴，即，．综上所述，线段、和的位置关系为，数量关系为或或．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，以及三角形和梯形的面积公式的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形熟练运用全等三角形的判定与性质．例5．（培优综合4）将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，，连接．（1）如图1,若三点在同一条直线上，则与的关系是；

（2）如图2，若三点不在同一条直线上,与相交于点，连接,猜想之间的数量关系，并给予证明；（3）如图3，在(2)的条件下作的中点,连接，直接写出与之间的关系．【答案】（1）且；（2）；证明见解析；（3）且．【分析】（1）根据题意利用全等三角形的判定与性质以及延长AC交BD于点C’进行角的等量代换进行分析即可；（2）根据题意在上截取,连接，并全等三角形的判定证明和，进而利用勾股定理得出进行分析求解即可；（3）过点B作BM∥OC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD于点N，证明∆BFM≅∆CFO，∆AOD≅∆OBM，进而即可得到结论．【详解】解：∵，∴，延长AC交BD于点C’，如下图：

∵，∴，即，综上且，故答案为：且；证明:在上截取,连接

在和中在和中即；且，理由如下：过点B作BM∥OC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD于点N，∵BM∥OC，∴∠M=∠FOC，∵∠BFM=∠CFO，BF=CF,∴∆BFM≅∆CFO（AAS），∴OF=MF，BM=CO，∵DO=CO，∴DO=BM，∵BM∥OC，∴∠OBM+∠BOC=180°，∵∠BOC+∠AOD=360°-90°-90°=180°，∴∠OBM=∠AOD，又∵AO=BO，∴∆AOD≅∆OBM（SAS），∴AD=OM=2OF，∠BOM=∠OAD，∵∠BOM+∠AON=180°-90°=90°，∴∠OAD+∠AON=90°，即OF⊥AD．∴且．【点睛】本题考查等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.【变式训练】1．如图所示，在中，交于点，点是中点，EF∥AD交的延长线于点，交于点，若，求证：为的平分线.【答案】见解析【分析】延长FE，截取EH=EG，连接CH，可证△BEG≌△CEH，即可求得∠H=∠BGE，进一步证明，最后由平行线的性质即可证得∠CAD=∠BAD，即可解题．【详解】证明：延长FE，截取EH=EG，连接CH，∵E是BC中点，∴BE=CE，在△BEG和△CEH中，，∴△BEG≌△CEH（SAS），∴∠BGE=∠H，BG=CH∵BG=CF∴CH=CF∴∴∵EF∥AD，∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠BGE，∴∠CAD=∠BAD，∴AD平分∠BAC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，本题中求证△BEG≌△CEH是解题的关键．2．阅读理解：（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）如图1延长到点，使得，再连接，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三边关系即可，（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中由三边关系，（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由是边上的中点，得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，【详解】（1）如图1延长到点，使得，再连接，∵AD为中线，∴BD=CD，在△ADC和△

EDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=EB=6，，∵，∴，∴，（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，由D为BC中点，BD=CD，在△FDC和△GDB中，∵CD=BD，∠FDC=∠GDB，FD=GD，∴△FCD≌△GBD（SAS），∴FC=GB，∵，DF=DG，∴EF=EG，在△BEG中EG<EB+BG，即，（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由是边上的中点，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠GDB，AD=GD，∴△ACD≌△GBD（SAS），∴AC=GB，∠DAC=∠G，∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G=∠CAD．【点睛】本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键，3．如图所示，，是的中点，，，求证．【答案】见解析【分析】延长AM到F，使MF＝AM，交CD于点N，构造平行四边形，利用条件证明△ABF≌△CAD，可得出∠BAF＝∠ACD，再结合条件可得到∠ANC＝90°，可证得结论．【详解】证明：延长AM到F，使MF＝AM，交CD于点N，∵BM＝EM，∴四边形ABFE是平行四边形，∴BF＝AE，∠ABF＋∠BAE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAD＋∠BAE＝180°，∴∠ABF＝∠CAD，∵BF＝AE，AD＝AE，∴BF＝AD，在△ABF和△CAD中，，∴△ABF≌△CAD（SAS），∴∠BAF＝∠ACD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠CAF＝90°，∴∠ACD＋∠CAF＝90°，∴∠AHC＝90°，∴AM⊥CD．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，通过辅助线构造平行四边形证明三角形全等得到∠BAF＝∠ACD是解题的关键．4．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在CB上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD．（1）求证：AD=AE；（2）若点F为CD中点，AF交BE于点G，求∠AGE的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90°．【分析】（1）根据∠BAC=90°，EA⊥AD，可得∠BAD=∠CAE，然后根据AB=AC，∠ACE=∠ABD，可证明△ABD≌△ACE，继而可得出AD=AE；（2）延长AF至M，使FM=AF，连接MC，易证△ADF≌△MCF，可得出AD=AE=CM，易证∠BAE=∠ACM，从而证得△ABE≌△CAM，通过∠ABG=∠CAF，得到∠AGE=90°．【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，EA⊥AD，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴AD=AE；（2）延长AF至M，使FM=AF，连接MC，在△ADF与△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（SAS），∴AD=CM，∠DAF=∠M，∴AD∥CM，∴∠ACM+∠DAC=180°，∵△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∴AD=AE=CM，∵∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAC+∠DAC+∠CAE=180°，∴∠BAE+∠DAC=180°，∴∠BAE=∠ACM，在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（SAS），∴∠ABG=∠CAF，∵∠CAF+∠BAG=90°，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠AGB=∠AGE=90°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键．5．【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．在△ABD与△ECD中∴△ABD≅△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为．（直接写答案）【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP．【答案】观察发现：EC，2，12，1，6；探索应用：17；应用拓展：见解析【分析】观察发现：由“SAS”可证△ABD≌△ECD，可得AB=EC，由三角形的三边关系可求解；探索应用：由“SAS”可证△ABE≌△HCE，可得AB=CH=25，即可求解；应用拓展：由“SAS”可证△BPA≌△EPF，可得AB=FE，∠PBA=∠PEF，由“SAS”可证△ACD≌△FED，可得AD=FD，由等腰三角形的性质可得结论．【详解】观察发现解：如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=EC，在△AEC中，EC-AC＜AE＜EC+AC，而AB=EC=7，AC=5，∴2＜AE＜12．又∵AE=2AD，∴1＜AD＜6，故答案为：EC，2，12，1，6；探索应用解：如图2，延长AE，CD交于H，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∵CD∥AB，∴∠ABE=∠ECH，∠H=∠BAE，∴△ABE≌△HCE（AAS），∴AB=CH=25，∴DH=CH-CD=17，∵∠DFE=∠BAE，∴∠H=∠DFE，∴DF=DH=17，故答案为：17；应用拓展证明：如图2，延长AP到点F，使PF=AP，连接DF，EF，AD，在△BPA与△EPF中，，∴△BPA≌△EPF（SAS），∴AB=FE，∠PBA=∠PEF，∵AC=BC，∴AC=FE，在四边形BADE中，∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，∵∠BAC=60°，∠CDE=120°，∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°．∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠ACD=∠DEB+∠EBA，∴∠ACD=∠FED，在△ACD与△FED中，，∴△ACD≌△FED（SAS），∴AD=FD，∵AP=FP，∴AP⊥DP．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，作出恰当的辅助线，证得三角形全等是解答此题的关键．【课后训练】1．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为A． B． C． D．以上都有可能【答案】C【分析】如图，延长ED到T，使得DT＝DE，连接CT，TF，证明△EDB≌△TDC（SAS），推出BE＝CT，由CT＋CF＞FT，可得BE＋CF＞EF．【详解】解：如图，延长到，使得，连接，．，，，在和中，，，，，，故选：．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度数．【详解】解：连接CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，∵四边形ABCF是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CF，∴∠NAE＝∠F，∵点E是的AF中点，∴AE＝FE，在△NAE和△CFE中，，∴△NAE≌△CFE（ASA），∴NE＝CE，NA＝CF，∵AB＝CF，∴NA＝AB，即BN＝2AB，∵BC＝2AB，∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，∴DE＝NC＝NE，∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，∴∠B＝80°．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．3．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝．（用α含的式子表示）【答案】180°﹣α．【分析】根据全等三角形的性质得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝FM，FB＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根据角的和差即可得到结论．【详解】解：延长AE至M，使EM＝AE，连接AF，FM，DM，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△AEC与△MED中，，∴△AEC≌△MED（SAS），∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，∵EF⊥AE，∴AF＝FM，∵点F在BD的垂直平分线上，∴FB＝FD，在△MDF与△ABF中，，∴△MDF≌△ABF（SSS），∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，故答案为：180°﹣α．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．4．请阅读下列材料：问题：在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且∠AMD=90°（1）如图1，若AB与CD不平行，试判断AB+CD与AD之间的数量关系；小雪同学的思路是：延长DM至E使DM=ME，连接AE，BE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小雪的思路，在图1中把图形补充完整，并直接写出上面问题AB+CD与AD之间的数量关系：（2）如图2，若在原条件的基础上，增加AM平分∠BAD，（1）中结论还成立吗？若不成立，写出AB+CD与AD之间的数量关系，并证明．【答案】（1）AB+CD＞AD；（2）不成立，AB+CD=AD；证明见解析【分析】（1）根据条件作出图形，利用DM=EM、BM=MC便可得到是四边形BECE是平行四边形，再结合EM=DM,且∠AMD=90°，得到等腰三角形，最后根据三角形三边关系求解．（2）增加AM平分∠BAD，便可以得到点A.B.E必然共线，故（1）的结论不成立，通过（1）的分析，边可以证明其数量关系．【详解】解：（1）AB与CD不平行根据题意,延长DM使DM=EM，连接BE，AE，EC，BD由于M是BC的中点，故BM=MC∴四边形BECE是平行四边形∴CD=BE又EM=DM，且∠AMD=90°∴是等腰三角形∴AD=AB在中，(2)若在原条件的基础上，增加AM平分∠BAD则（1）的结论不成立关系为：证明：由于M是BC的中点，故BM=MC∴四边形BECE是平行四边形，∴CD=BE又EM=DM,且∠AMD=90°∴是等腰三角形∴AD=AE又AM平分∠BAD∴点A.B.E必然共线∴【点睛】本题比较综合，涉及到画图能力，平行四边形判定，等腰三角形性质应用，三角形三边关系等，解题的关键在于熟悉各个知识点的灵活运用．5．如图所示，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：.【答案】见解析【分析】延长GE至Q，使EQ=EG，连接CQ，根据SAS证△BEG≌△CEQ，推出BG=CQ，∠BGE=∠Q，又由BG=CF得CQ=CF，所以得∠F=∠Q，则∠BGE=∠F，再根据平行线的性质得∠BGE=∠BAD，∠F=∠CAD，于是得∠BAD=∠CAD，所以结论得证.【详解】证明：：延长GE至Q，使EQ=EG，连接CQ.∵点E是BC中点，∴BE=CE，在△BEG和△CEQ中，∵GE=QE，∠BEG=∠CEQ，BE=CE∴△BEG≌△CEQ(SAS)，∴BG=CQ，∠BGE=∠Q，又∵BG=CF，∴CQ=CF，∴∠F=∠Q，∴∠BGE=∠F，∵EF∥AD，∴∠BGE=∠BAD，∠F=∠CAD，∴∠BAD=∠CAD，∴.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和角平分线的判定，主要考查学生运用性质进行推理的能力，正确作辅助线是解此题的关键.6．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P．（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是．②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①AP＝2PM；②成立，证明见解析【分析】（1）由“SAS”可证△AEC≌△CDB，得到∠ACE＝∠CBD，根据三角形的内角和定理计算，得出结论；（2）①由等边三角形的性质和已知条件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝30°，得出PB＝PC，由等腰三角形的性质得出∠PBC＝∠PCB＝30°，得出PC＝2PM，证出∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，得出AP＝PC，即可得出AP＝2PM；②延长PM＝MH，连接CH，由“SAS”可证△ACF≌△BCP，可得AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，由“SAS”可证△CMH≌△BMP，可得CH＝BP＝AF，∠HCM＝∠PBM，由“SAS”可证△AFP≌△HCP，可得AP＝PN＝2PM．【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（SAS），∴∠ACE＝∠CBD，∵∠BPC+∠DBC+∠BCP＝180°，∴∠BPC+∠ACE+∠BCP＝180°，∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°；（2）①解：AP＝2PM，理由如下：∵△ABC为等边三角形，点M是边BC的中点，∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，∵AM⊥BC，点M是边BC的中点，∴PB＝PC，∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＝∠PCB＝30°，∴PC＝2PM，∠ACP＝30°，∴∠PAC＝∠PCA，∴PA＝PC，∴AP＝2PM，故答案为：AP＝2PM；②