专题3.25 用勾股定理求最值常用方法专题（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题3.25用勾股定理求最值常用方法专题（知识梳理与考点分类讲解）【方法一】利用几何性质解决问题【知识点1】点和线之间，垂线段最短【知识点2】两点之间，线段最短（将军饮马问题）【知识点3】利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题运用画圆解决问题有两种类型：类型（1）：动点到某一定点的距离是定值（圆上的点到圆心的距离恒等于半径），类型(2)：动点为90°固定角的顶点（直径所对的圆周角恒定为90°）【方法二】利用代数方法解决问题【知识点1】利用配方法求三次二项式的最值【知识点2】运用二次函数中顶点求最值（以后学习）代数方法较为常见，所以我们本专题不涉及.接下来，我们来简单看一下每个几何知识点对应的问题【考点一】勾股定理➼➻垂线段最短求最值【例1】中，，，，，为的中点，直线经过点，过作于，过作于．则的最大值为（

）A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC=60°，AB=2，∴BH=1，AH=，∵点D为BC中点，∴BD=CD，在△BFD与△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF=CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为，综上所述，AE+BF的最大值为，故选：B．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及勾股定理，垂线段最短，构建全等三角形是解答此题的关键．【举一反三】【变式1】如图，中，，，，点P是边上一动点，则线段长度的最小值为（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】根据勾股定理得出，当时，的值最小，利用面积法求解即可．解：在中，，，，∴，∵当时，的值最小，此时：的面积为：，∴，∴，故选：C．【点拨】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．【变式2】如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一个动点，则AP＋BP＋CP的最小值是（）A．14 B．14.8 C．16 D．18【答案】B【分析】根据勾股定理可求出AC，由题意可知当BP取最小值时，AP＋BP＋CP的值最小，而当BP⊥AC时，BP取最小值，故利用面积法求出BP的最小值即可.解：∵在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∴BC＝8，∴AC＝，∴AP＋CP＝AC＝10，∴当BP取最小值时，AP＋BP＋CP的值最小，而当BP⊥AC时，BP取最小值，故此时S△ABC＝，∴，即BP的最小值为4.8，∴AP＋BP＋CP的最小值是10+4.8＝14.8，故选B.【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，分析得出当BP⊥AC时BP取最小值是解题的关键.【考点二】勾股定理➼➻两点之间线段最短求最值➼➻将军饮马问题【例2】已知如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】要使DN+MN最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长．解：根据题意，连接BD、BM，则BM就是所求DN+MN的最小值，在Rt△BCM中，BC＝8，CM＝6根据勾股定理得：BM＝＝10，即DN+MN的最小值是10；故选B．【点拨】此题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．【举一反三】【变式1】如如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是______．【答案】10【分析】作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N，因此，所以最小值为，用勾股定理算出即可．解：如图，作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N，∵∠B＝∠D＝90°，点A和点A1关于BC对称，点E和点E1关于DC对称，∴，，∴，∴AM＋MN＋EN的最小值是，∵AD＝AB＝4，E是AD中点，∴，，∴，，∵∠BAD＝90°，∴，故答案为：10．【点拨】本题考查了线段和的最值问题，勾股定理、轴对称性质，作出辅助线是本题的关键．【变式2】如图，在中，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】如下图，首先确定DC＇＝DE＋EC＇＝DE＋CE的值最小，由已知条件得出BD和BC＇的长度，然后根据勾股定理计算得出DC＇，即为DE＋CE的值最小值．解：如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC＇，交AB于E，此时DE＋CE＝DE＋EC′＝DC′的值最小，连接BC′．在中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°．由对称性可知∠ABC＇＝∠ABC＝45°．∴∠CBC＇＝90°．∵CC＇⊥AB，OC′＝OC，∴BC＇＝BC＝2．∵D是BC边的中点，∴BD＝1．根据勾股定理可得：DC＇＝＝．故EC＋ED的最小值是．故答案为：D．【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，确定动点E何位置，使EC＋ED的值最小是关键．【考点三】勾股定理➼➻两点之间线段最短求最值➼➻长方体展开最值问题【例3】如图，是一块长、宽、高分别是、和的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点出发，沿长方体的表面爬到和相对的顶点处吃食物，则它需要爬行的最短路线长是（）．

A． B．6 C． D．【答案】A【分析】根据长方体的侧面展开计算：沿前表面和上表面所构成矩形的对角线爬行距离，沿前表面和右表面所构成矩形的对角线爬行距离，沿左表面和上表面所构成矩形的对角线爬行距离，沿左表面和后表面所构成矩形的对角线爬行距离，再比较大小即可；解：如图1，当蚂蚁由点经前表面和上表面所构成矩形的对角线到达点时，

由勾股定理可得，如图2，当蚂蚁由点经前表面和右表面所构成矩形的对角线到达点时，

由勾股定理可得，如图3，当蚂蚁由点经左表面和上表面所构成矩形的对角线到达点时，

由勾股定理可得，如图4，当蚂蚁由点经左表面和后表面所构成矩形的对角线到达点时，

由勾股定理可得，∵，故选：A．【点拨】本题考查了长方体的侧面展开，两点间的最短距离，勾股定理；根据长方体的侧面展开分类讨论是解题关键．【举一反三】【变式1】如图，长方体的长、宽、高分别为．如果一只小虫从点开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（）

A．5 B．4 C．6 D．7【答案】A【分析】根据题意把图形展开，连接，得出的长就是从处爬到处的最短路程，分为三种情况展开，根据勾股定理求出的长，再比较即可.解：如图将正面与右面展开在同一平面，连接，

由勾股定理得：，如图将下底面与后面展开在同一平面，连接，

由勾股定理得：，如图将下底面与右面展开在同一平面，连接，

由勾股定理得：，∴从处爬到处的最短路程是，故选：．【点拨】此题考查了立方体侧面展开图最短路径问题，解题关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意要进行分类讨论．【变式2】已知长方体的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将长方体按不同方式展开，构造直角三角形，利用勾股定理求出长即可得到答案．解：如图1所示将长方体展开，则；如图2所示将长方体展开，则；如图3所示将长方体展开，则；∵，∴蚂蚁爬行的最短路径长为，故选：C．【点拨】本题考查了平面展开−−−最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答．【考点四】勾股定理➼➻两点之间线段最短求最值➼➻圆柱体展开最值问题【例4】如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（

）．（杯壁厚度不计）A．20 B．25 C．30 D．40【答案】B【分析】化曲为直，利用勾股定理解决．解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接，过点B作于D，由已知得：，，，在中，由勾股定理得：，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为．故选：B【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键．【举一反三】【变式1】如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．若，，，则蚂蚁爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．12【答案】A【分析】求出蚂蚁沿着木柜表面经线段到，以及蚂蚁沿着木柜表面经线段到的距离，再进行比较即可．解：蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是，蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是．，最短路径的长是．故选A．【点拨】此题主要考查了长方体展开图的对角线长度求法，这种题型经常在中考中出现，也是易错题型，希望能引起同学们的注意．【变式2】如图，一个圆柱形食品盒，它的高为，底面圆的周长为(1)点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，则蚂蚁需要爬行的最短路程是______；(2)将左图改为一个无盖的圆柱形食品盒，点C距离下底面，此时蚂蚁从C处出发，爬到盒内表面对侧中点B处(如右图)，则蚂蚁爬行的最短路程是___．【答案】【分析】（1）把圆柱侧面展开，在中，利用勾股定理求解即可．（2）将圆柱侧面展开，得到矩形，作点关于的对称点，构造，根据勾股定理求出即可解决问题．解：(1)如图，把圆柱侧面展开，在中，∵，∴，故答案为：．(2)如图所示，点与点关于对称，可得，，则最短路程为故答案为：．【点拨】本题考查了勾股定理求线段最短距离，轴对称的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【考点五】勾股定理➼➻两点之间线段最短求最值➼➻圆柱体表面缠中的最值问题【例5】如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为___________cm．【答案】15【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：；又∵圆柱高为，∴小长方形的一条边长是；根据勾股定理求得；∴；故答案为：15．【点拨】本题主要考查了平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【举一反三】【变式1】．如图，圆柱底面半径为cm，高为18cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点．且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，则棉线最短为_____cm．【答案】30【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：→→；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为cm，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：（cm）；又∵圆柱高为18cm，∴小长方形的一条边长是（cm）；根据勾股定理求得（cm）；∴cm；故答案为：30．【点拨】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开﹣﹣路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【变式2】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上．(1)若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．(2)若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．【答案】(1)25；(2)【分析】（1）根据题意画出图形，在Rt中，再根据勾股定理求解即可；（2）在Rt中根据勾股定理求解即可．（1）解：如图所示，在Rt中，，，（尺）答：葛藤长为25尺．故答案为：25；（2）解：在Rt中，，，（尺），答：葛藤长为尺．故答案为：．【点拨】本题考查的是平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造出直角三角形是解决问题的关键．【考点六】勾股定理➼➻两点之间线段最短求最值➼➻毛毯中的最值问题【例6】如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（

）A．65 B．85 C．90 D．150【答案】B【分析】勾股定理求出，平移的性质推出防滑毯的长为，利用面积公式进行求解即可．解：由图可知：，∵米，米，∴米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米），铅直的防滑毯的长度（米），∴至少需防滑毯的长为：（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：（平方米）．故选：．【点拨】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．【举一反三】【变式1】如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？【答案】25cm【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．解：如图，将台阶展开，由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，．所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625，即AB＝25（cm），答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm．【点拨】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键．【变式2】如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是

________米．【答案】【分析】解答此题要将木块表面展开，再构建直角三角形，然后根据两点之间线段最短，再利用勾股定理进行解答．解：如图，由题意可知，将木块展开，展开图的长相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为18+2×2=22米；宽为7米．于是最短路径为：（米）．故答案为：．【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，两点之间线段最短的性质，勾股定理的应用，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．【考点七】勾股定理➼➻两点之间线段最短求最值➼➻长方体内筷子最值问题【例7】如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，根据勾股定理求解即可．解：当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，此时，而，∴，∴长度的最小值为．故选：A．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的最大值是解题的关键．【举一反三】【变式1】如图长方体木箱的长，宽，高分别为，则能放进木箱中的直木棒最长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用勾股定理计算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可．解：如图，∵侧面对角线，∴，∵，∴，∴空木箱能放的最大长度为．故选：C．【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．【变式2】将一根长为的细木棒放进