专题2.21 轴对称的最值问题（基础练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.21轴对称的最值问题（基础练）一、单选题1．在中，，，，直线m是中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为（

）A．6 B．10 C．11 D．132．如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．83．如图，在ABC中，AB＝AC，BC＝4，ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（

）A．21 B．7 C．4 D．24．如图，在中，点是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，，．则的周长的最小值为（

）A． B． C． D．5．如图，正方形的面积为16，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（

）

A．2 B．4 C．6 D．86．如图，在中，，是的一条角平分线，点E，F分别是线段，上的动点，若，，那么线段的最小值是（

）

A． B．5 C．4 D．67．如图，在等边中，D为的中点，P，Q分别在，上，且，，在上有一动点E，则的最小值为（

）

A．28 B．29 C．18 D．198．如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（

）

A．3 B．5 C． D．9．如图，等腰中，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（）A． B． C． D．10．如图，已知点D，E分别在的边，上，若，，由作图痕迹可得，的最小值是（

）A．2 B．3 C．6 D．二、填空题11．如图，已知空间站与星球距离为，信号飞船在星球附近沿圆形轨道行驶，，之间的距离为数据表示飞船与空间站的实时距离，那么的最小值．12．如图，在△ABC中，AB=5，AC=7．MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD，BD，则△ABD周长的最小值为．13．如图，Rt△ABC中，∠C＝，AC＝6，BC＝8，AB＝10，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为．14．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，且AD＝4，E是AB边的中点，点P在AD上运动，则PB＋PE的最小值是．15．如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，BC=6，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为．

16．如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为．

17．如图，在四边形中，是边的中点，，，，若，则线段长度的最大值是．18．如图，在面积为48的等腰中，，，P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点外别为M、N，则线段MN的最大值为．三、解答题19．已知a，b，c是的三边长．（1）若为等腰三角形，且周长为18，，求b，c的值；（2）若，且的周长不超过20cm，求a取最大值时的三边长．20．如图，在中，已知，若，的周长是20．（1）求作：的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．（保留作图痕迹，不写作法）(2)①求的长度；②若点P为直线上一点，请直接写出周长的最小值是______．21．如图，，点P是内一点，，点M，N分别在，上，求的周长的最小值．22．在等边三角形中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若，试求的最小值．23．如图，在中，已知的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．（1）若，求的度数．（2）若，的周长是．①求的长度；②若点P为直线上一点，请你求出周长的最小值．24．如图，在中，，AE平分∠BAC，BD⊥AC于D，E为BC边上一点，AE、BD交于点F，EG//BD．（1）求证：AB=AG；（2）当时，在上有一动点，求的最小值．参考答案1．B【分析】连接BP，设直线m交AB于点D，根据线段垂直平分线的性质可得BP=CP，从而得到当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，即可求解．解：如图，连接BP，设直线m交AB于点D，∵直线m垂直平分AB，∴BP=CP，∴CP+AP=BP+AP≥AB，即当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，∵的周长为AP+PC+AC，∴△APC周长的最小值是AB+AC=6+4=10．故选：B．【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．2．D【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，根据等边三角形的各边上的高相等，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．【详解】连接CE，∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC∴EB=EC，当C.F.E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，∵等边△ABC中，F是AB边的中点，是等边三角形边上的高，和中∴AD=CF=8，∴EF+BE的最小值为8，故选D【点拨】此题考查等边三角形的性质、轴对称－最短路线问题，解题关键在于作辅助线.3．B【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=14，解得AD=7，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴CM+MD的最小值为7．故答案为B．【点拨】本题考查的是轴对称－最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的三线合一是解答此题的关键．4．D【分析】连接BE，依据是AB的垂直平分线，可得AE=BE，进而得到AE+CE=BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC．【详解】如图，连接BE，∵点D是AB边的中点，l⊥AB，∴l是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴AE+CE=BE+CE，∵BE+CE≥BC，∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，∴△AEC的周长最小值等于AC+BC=5+8=13．故选：D．【点拨】本题主要考查了最短距离问题，利用线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．5．B【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为F，此时，FD+FE=BE最小，而BE是等边三角形ABE的边，BE=AB，由正方形面积可得AB的长，从而得出结果．解：由题意可知当点P位于BE与AC的交点时，有最小值．设BE与AC的交点为F，连接BD，

∵点B与点D关于AC对称∴FD=FB∴FD+FE=FB+FE=BE最小又∵正方形ABCD的面积为16∴AB=4∵△ABE是等边三角形∴BE=AB=4．故选：B．【点拨】本题考查的知识点是轴对称中的最短路线问题，解题的关键是弄清题意，找出相对应的相等线段．6．A【分析】过点作于点，交于，此时，即的最小值，利用面积法可求出的值，即的最小值．解：过点作于点，交于，

，是的一条角平分线，点为底边的中点，，，点、关于对称，，，此时的最小值，，，，，，的最小值为．故选A．【点拨】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．7．A【分析】作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值．解：是等边三角形，，，∵D为的中点，，，∴，∴，，如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，∵，∴，∴当点P、E、三点在同一直线上时，最小，则最小，即的最小值为，，，，，∴，，，是等边三角形，，的最小值为28．故选：A．【点拨】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．8．D【分析】如图所示，过点E作于H，连接，先证明得到，再证明得到，进而推出当三点共线且点F与点H重合时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案．解：如图所示，过点E作于H，连接，∵，是边上的高，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴当三点共线且点F与点H重合时，有最小值，即此时有最小值，∵，∴，∴的最小值为，故选D．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．9．B【分析】连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，的最小值为3，由此即可解决问题．解：如图，连接．∵，，∴，∵，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴的最小值为3，∴的最小值为，故选：B．【点拨】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，两点间线段最短，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．C【分析】根据作图痕迹可得平分，结合可得，根据点到直线距离垂线段最短结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半即可得到答案；解：由图像可得，平分，∵，∴，当时，最短，∵，∴，故选C；【点拨】本题考查角平分线作图，点到直线距离垂线段最短及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题的关键是熟练掌握角平分线作图得到平分．11．/【分析】三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站与星球、飞船在同一直线上时，取到最小值，据此求解即可．解：空间站与星球、飞船在同一直线上且飞船位于空间站与星球之间时，取到最小值．故答案为：．【点拨】此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握相关知识点．12．12【分析】MN与AC的交点为D，AD+BD的值最小，即△ABD的周长最小值为AB+AC的长．解：MN与AC的交点为D，∵MN是BC边上的垂直平分线，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC，此时AD+BD的值最小，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AC最小，∵AB=5，AC=7，∴AB+AC=12，∴△ABD的周长最小值为12，故答案为：12．【点拨】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键．13．14【分析】由图形可得：△APC周长，因为AC＝3，所以求出的最小值即可求出△APC周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，的值最小，即可得到结论．解：如图所示，连接AE，BP，∵直线EF垂直平分AB，∴A，B关于直线EF对称，∴，，在中，，∴当P和E重合时，C、P、B三点共线，此时，的值最小，最小值等于BC的长，∴周长的最小值，故答案为：14．【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出动点的位置．14．4【分析】连接EC，交AD于点P，连接BP，此时PB＋PE的值最小，再根据等边三角形三线合一的性质求得答案即可．【详解】如图，连接EC，交AD于点P，连接BP，此时PB＋PE的值最小，且PB＋PE＝EC．因为点E是AB的中点，所以CE是等边三角形ABC的高，所以CE＝AD＝4，即PB＋PE的最小值为4．故答案为：4【点拨】本题考查了等边三角形三线合一的性质，以及两点之间线段最短，根据两点之间线段最短找到最短线段就是CE是解题的关键．15．.【分析】连接CE交AD于F，连接BF，则最小，再根据等边三角形的性质求出EC的长即可.解：连接CE交AD于F，连接BF，则最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短）∵三角形ABC为等边三角形，且D为BC边的中点,∴在中：,.∴,即AD为BC的垂直平分线，∴C和B关于AD对称，则，∴，同理可得：∴，∴在中由勾股定理得：.故答案为：.

【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．16．【分析】首先证明出，得到，进而得到，推理出要的面积最大，则的面积最小即可，然后得到当最小时，的面积最小，最后利用求解即可．【详解】如图，连接，

∵在中，，，点F是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵为定值，∴要的面积最大，则的面积最小即可，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，则当最小时，的面积最小，当时，最小，此时，∴．故答案为：．【点拨】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．17．14【分析】作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，，得出是等边三角形，当、、、共线时的值最大，最大值为．解：作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，，如图所示：∴，∴，，，同理可证：，，，是边的中点，，，，．．．是等边三角形．，，即，当、、、共线时的值最大，最大值为故答案为：．【点拨】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的关键．18．19.2【分析】点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，根据三角形三边关系可得，当点P与点B或点C重合时，P、M、N三点共线，MN最长，由轴对称可得，，再由三角形等面积法即可确定MN长度．解：如图所示：点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，由图可得：，当点P与点B或点C重合时，如图所示，MN交AC于点F，此时P、M、N三点共线，MN最长，∴，，∵等腰面积为48，，∴，，∴，故答案为：．【点拨】题目主要考查对称点的性质及三角形三边关系，三角形等面积法等，理解题意，根据图形得出三点共线时线段最长是解题关键．19．(1)(2)a的最大值为4，此时三边长分别为4，7，9【分析】（1）分情况：a是底边，a是腰，依据三角形的周长及三角形三边关系解答；（2）根据三角形三边关系及三角形的周长列不等式组，求出，即可解答．【详解】（1）解：若a是底边，则，则，解得，∴；若a是腰，，则，解得，而，不能构成三角形，舍去，∴；（2）根据三角形三边关系及周长得，即，解得，∴a的最大值为4，此时，∴a的最大值为4，此时三边长分别为4，7，9．【点拨】此题考查了三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．20．(1）见解析(2)①8；②20【分析】（1）根据垂直平分线的做法作图即可；（2）①根据垂直平分线的性质得，的周长是20．，即可求的长度；②依据，，即可得到当与重合时，，此时最小，进而得出的周长最小值．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）①，的周长是，即，垂直平分，，，，．的长度为8．②当与重合时，的周长最小．理由：，，当与重合时，，此时最小值等于的长，的周长最小值．【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．21．10【分析】分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，的周长，然后证明是等边三角形，即可求解．【详解】分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，连，则，，，，，则的周长的最小值，∵，∴，∴是等边三角形．的周长，∴．∴的周长的最小值是10．【点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明是等边三角形是关键．22．12【分析】如图，连接BE交AD于点P，此时最小，据此求解即可．解：如图，连接BE交AD于点P，此时最小，∵是等边三角形，，∴AD是BC的垂直平分线，∴．∴．即BE就是的最小值．∵，点E是边AC的中点，∴．∴的最小值是12．【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径问题，正确找到最小的情形是解题的关键．23．（1）40°；（2）①；②．【分析】（1）由等边对等角得到，再结合三角形内角和180°解得，接着由垂直平分线的性质得到，继而由三角形内角和180°定理解题；（2）①由垂直平分线