广东省清远市恒大足球学校2024年高三上数学期末达标检测模拟试题含解析

广东省清远市恒大足球学校2024年高三上数学期末达标检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则下列结论错误的是()A．函数的最小正周期为πB．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递增D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到2．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（）A． B． C． D．3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A． B． C． D．4．设是虚数单位，则（）A． B． C． D．5．已知实数，满足约束条件，则目标函数的最小值为A． B．C． D．6．展开项中的常数项为A．1 B．11 C．-19 D．517．复数（为虚数单位），则等于（）A．3 B．C．2 D．8．设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（）A． B． C． D．9．已知向量，（其中为实数），则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．下列函数中既关于直线对称，又在区间上为增函数的是()A．. B．C． D．11．已知是双曲线的左、右焦点，是的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的渐近线方程为（）A． B． C． D．12．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如，．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（）A． B． C． D．以上都不对二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知全集，集合，则______.14．展开式中的系数为_________.15．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，，，0，2，则该组数据的标准差为_______.16．定义在上的奇函数满足，并且当时，则___三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点和椭圆.直线与椭圆交于不同的两点，.（1）当时，求的面积；（2）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值.18．（12分）在以为顶点的五面体中，底面为菱形，，，，二面角为直二面角.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.19．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若的面积为，，求的周长.20．（12分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了人，其中女性人，男性人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；（2）根据统计数据建立一个列联表；（3）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.附：21．（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，i=1,2,⋯,12，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814（1）设ui和yi的相关系数为r1，xi和（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？附：①相关系数r=i=1n(xi-x②参考数据：308=4×77，90≈9.4868，e22．（10分）已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，证明：对；（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围。

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由可判断选项A；当时，可判断选项B；利用整体换元法可判断选项C；可判断选项D.【详解】由题知，最小正周期，所以A正确；当时，，所以B正确；当时，，所以C正确；由的图象向左平移个单位，得，所以D错误.故选：D.【点睛】本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题.2、A【解析】

根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【详解】由得，即，即，因为，所以，由余弦定理，所以，由的面积公式得故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3、B【解析】

求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B.【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4、A【解析】

利用复数的乘法运算可求得结果.【详解】由复数的乘法法则得.故选：A.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.5、B【解析】

作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，利用数形结合即可得到的最小值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，当位于时，此时的斜率最小，此时．故选B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6、B【解析】

展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.【详解】展开式中的项为常数项，有3种情况：（1）5个括号都出1，即；（2）两个括号出，两个括号出，一个括号出1，即；（3）一个括号出，一个括号出，三个括号出1，即；所以展开项中的常数项为，故选B.【点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.7、D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得，然后直接利用复数模的公式求解.【详解】，所以，，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.8、B【解析】∵∵∴∵，∴∴故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.9、A【解析】

结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由，则，所以；而当，则，解得或.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.10、C【解析】

根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.【详解】A中，当时，，所以不关于直线对称，则错误；B中，，所以在区间上为减函数，则错误；D中，，而，则，所以不关于直线对称，则错误；故选：C.【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.11、D【解析】

根据为等腰三角形，可求出点P的坐标，又由的斜率为可得出关系，即可求出渐近线斜率得解.【详解】如图，因为为等腰三角形，，所以，,，又，，解得，所以双曲线的渐近线方程为，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.12、A【解析】

首先确定不超过的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.【详解】不超过的素数有，，，，，，，，共个，从这个素数中任选个，有种可能；其中选取的两个数，其和等于的有，，共种情况，故随机选出两个不同的数，其和等于的概率．故选：.【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据题意可得出，然后进行补集的运算即可．【详解】根据题意知，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算，考查计算能力，属于基础题．14、【解析】

变换，根据二项式定理计算得到答案.【详解】的展开式的通项为：，，取和，计算得到系数为：.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.15、【解析】

先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差．【详解】解：某地区连续5天的最低气温（单位：依次为8，，，0，2，平均数为：，该组数据的方差为：，该组数据的标准差为1．故答案为：1．【点睛】本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．16、【解析】

根据所给表达式，结合奇函数性质，即可确定函数对称轴及周期性，进而由的解析式求得的值.【详解】满足，由函数对称性可知关于对称，且令，代入可得，由奇函数性质可知，所以令，代入可得，所以是以4为周期的周期函数，则当时，所以，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用，周期函数的判断及应用，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或【解析】

（1）联立直线的方程和椭圆方程，求得交点的横坐标，由此求得三角形的面积.（2）法一：根据的坐标求得的坐标，将的坐标都代入椭圆方程，化简后求得的坐标，进而求得的值.法二：设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出根与系数关系，结合求得点的坐标，进而求得的值.【详解】（1）设，，若，则直线的方程为，由，得，解得，，设直线与轴交于点，则且.（2）法一：设点因为，，所以又点，都在椭圆上，所以解得或所以或.法二：设显然直线有斜率，设直线的方程为由，得所以又解得或所以或所以或.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题.18、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）连接交于点，取中点，连结，证明平面得到答案.（Ⅱ）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（Ⅰ）连接交于点，取中点，连结因为为菱形，所以.因为，所以.因为二面角为直二面角，所以平面平面，且平面平面，所以平面所以因为所以是平行四边形，所以.所以，所以，所以平面，又平面，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知两两垂直，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设设平面的法向量为，由，取.平面的法向量为.所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果；（2）由面积公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，结合即可求得周长.【详解】（1）由题设得.由正弦定理得∵∴，所以或.当，（舍）故，解得.（2），从而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周长为.【点睛】本题考查由余弦定理解三角形，涉及面积公式，正弦的倍角公式，应用正弦定理将边化角，属综合性基础题.20、（1）图形见解析，理由见解析；（2）见解析；（3）犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系【解析】

（1）利用等高条形图中两个深颜色条的高比较得出性别与雾霾天外出戴口罩有关系；（2）填写列联表即可；（3）由表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．【详解】解：（1）在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系.（2）列联表如下：戴口罩不戴口罩合计女性男性合计（3）由（2）中数据可得：.所以，在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系.【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了登高条形图的应用问题，属于基础题．21、（1）模型y=eλx+t的拟合程度更好；（2）（i）v=0.02x+3.84【解析】

（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；（2）（i）先建立U额R0关于x的线性回归方程，从而得出y（ii）把y=90代入（i）中的回归方程可得x值．【详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性．解：（1）r1r2则r1<r（2）（i）先建立U额R0由y=eλx+t，得lny=t+λx由于λ=i=1t=所以U额R0关于x所以lny=0.02x+3.84（ii）下一年销售额y需达到90亿元，即y=90，代入y=e0.02x+3.84又e4.4998≈90，所以所以x≈4.4998-3.84所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、