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第三节(一)格林(Green)公式区域连通性的分类格林(Green)公式简单应用小结一、区域连通性的分类

设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD区域D分类单连通区域复连通区域(无“洞”区域)(有“洞”区域)如果D的边界线L与平行于两座标轴的直线的交点都不多于两个，则称D为凸的.否则D是凹的.边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.二、格林公式定理1边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.B证明(1)凸区域yxoabDcdABCE同理可证yxodDcCEBA证明(2)凹区域D两式相加得GDFCEAB证明(3)复连通区域由(2)知微积分基本定理：微分形式在区域上积分函数在区域边界上的积分格林公式：

应用时注意：

(1)封闭的曲线

(2)正方向

(3)有连续的一阶偏导数格林公式:xyo1.简化曲线积分三、简单应用AB解法1：直接计算

解法2：利用Green公式xyoLAB例2.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围原式圆周区域为D,

则计算中应注意：积分路径的方向解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件)P257,例7

,

P255.例3.（重要）练习思路:习1习2.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:

令则利用格林公式,得格林公式:对象：首先：然后：总结Green公式如何用：2.计算平面面积例如,椭圆所围面积.四、小结1.连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系3.格林公式的应用.——格林公式;重点：1.简化曲线积分注意：Green公式应用的条件作业：P2681(奇),

2，4例2.例3.积分与路径有关！积分与路径无关！思考？如何用Green公式解释！3.简化二重积分xyo解法1：直接计算化累次积分:xyo解法2：利用Green公式解例5.质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解:

由图知故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y

轴正向夹角为求变力F

对质点M

所作的功.(90考研)

F

的大小等于点M在此过程中受力F作用,

例6.设

C

为沿从点依逆时针到点的半圆,计算解:

添加辅助线如图,利用格林公式.原式=例:解1:解2:不封闭！例:解:

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