2024高考数学备课技巧

2024高考数学备课技巧

目录

1.第1讲函数与方程思想.....................................................2

1.1.应用（一）借助"函数关系”解决问题........................................2

1.2.［应用体验］...............................................................3

1.3.应用（二）转换函数关系解决问题..........................................4

1.4.［应用体验］...............................................................5

1.5.应用（三）构造函数关系解决问题..........................................6

1.6.［应用体验］...............................................................7

1.7,应用（四）构造方程形式解决问题.......................................8

1.8.［应用体验］...............................................................9

1.9.应用（五）转换方程形式解决问题.........................................10

1.10.［应用体验］.............................................................11

1.11.函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识........................12

2.第2讲数形结合思想........................................................13

2.1.应用（一）利用数形结合思想研究函数的零点问题.........................13

2.2.［应用体验］.............................................................14

2.3.应用（二）利用数形结合思想解决不等式问题.............................15

利用数形结合思想解不等式或求参数范围问题的技巧................................15

2.4.［应用体验］.............................................................15

2.5.［应用体验］.............................................................17

3.第3讲分类讨论思想........................................................18

3.1.应用（一）由概念、法则、公式引起的分类讨论.........................19

3.2.［应用体验］.............................................................19

3.3,应用（二）由运算、性质引起的分类讨论...............................20

3.4.［应用体验］..............................................................21

3.5,应用（三）由参数变化引起的分类讨论..................................22

3.6.［应用体验］..............................................................23

3.7.应用（四）根据图形位置或形状分类讨论...............................24

所以直线BM的方程为........................................................24

3.8.［应用体验］.............................................................25

1.分类讨论的原则.............................................................26

2.分类讨论的本质与思维流程..................................................26

第1页共36页

4.第4讲转化与化归思想......................................................26

4.1.应用（一）正与反的转化...............................................27

4.2.［应用体验］..............................................................27

4.3.应用（二）常量与变量的转化..........................................28

4.4.［应用体验］..............................................................29

4.5.应用（三）特殊与一般的转化..........................................29

4.6.［应用体验］..............................................................31

4.7,应用（四）函数、方程、不等式间的转化.................................31

4.8.［应用体验］..............................................................32

4.9.［应用体验］..............................................................34

1.转化与化归的原则..........................................................34

2.转化与化归的指导思想......................................................35

1.第1讲函数与方程思想

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问

题.方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化

为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组或不

等式组）来使问题获解.方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有

时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的.

函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初

等函数的性质，解决有关求值、解（证明）不等式、解方程以及讨论参数的取值

等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研

究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.

LL应用（一］借助“函数关系”解决问题

在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函

数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解.

3

［例1］已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若al=5，an+2an+l=0>

1

则Sn一4的最大值与最小值的积为.

第2页共36页

［解析］因为an+2an+l=0,所以哼、一段，所以等比数列｛an｝的公

dll乙

3

1e、，3…，办一

比为一7，因为al=5，所以Sn=一

①当n为奇数时，Sn=l+ld,Sn随着n的增大而减小，则IVSnWSl

②当n为偶数时，Sn=l-(1P，Sn随着n的增大而增大，则,=S2WSn

71

故一不•<().

<1,=12WSn—Sn

157

综上，Sn一表的最大值与最小值分别为也一£.

、noiz

故Sn—的最大值与最小值的积为无(一书=一蔡

\no\izy/z

［技法领悟］

数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n

项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n的函数，在解等差数列、

等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研

究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高

发散思维的水平.

1.2.［应用体验］

1.已知等差数列｛an｝满足3a4=7a7,al>0,Sn是数列｛an｝的前n项和，

则Sn取得最大值时n=.

解析：设等差数列｛an｝的公差为d,V3a4=7a7,/.3(al+3d)=7(al+

n(n—1)(33、

6d］,/.4al=-33d.Val>0,d<0,Sn=nal+-------2-----d=n(—彳dj+

；.n=9时,Sn取得最大

第3页共36页

值.

答案：9

.J3

2.（2018•北京高考）若△ABC的面积为V（a2+c2—b2）,且“为钝角,

c

则NB=______，:的取值范围是______

d

a2+c2—b2

解析：由余弦定理得cosB=

2ac

/.a2+c2-b2=2accosB.

又•••S=](a2+c2—b2),

1\/|

..^acsinB=4XzaccosB,

tanB={§,

••・/8=于

2几JI

又・.zC为钝角,ZC=-y~—4A＞彳,

JI

・・・0vNA/

f2n

sinl^-zA

II-tt弓玄/E里3sinA

^cosA+jsinA

1』也.1

sinA2'2tanA,

•.•0<tanA碧，.•.嬴

二量+坐X#=2，

即三＞2.

a

JI

答案：y(2,+00)

1.3.应用（二］转换函数关系解决问题

在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需

要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角

第4页共36页

度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关

系，切入问题本质，从而使原问题获解.

-1■

［例2］已知函数h(x)=xlnx与函数g(x)=kx—1的图象在区间仁，ej±

有两个不同的交点，则实数k的取值范围是()

「1］(1"

A.Lee—1」B.I1,1+~e」

C.［1,e-1］D.(l,+oo)

1

［解析］令h(x)=g(x),得xlnx+l=kx,即「+lnx=k.令函数f(x)=lnx

iri-

+-,若方程xlnx—kx+l=O在区间1e上有两个不等实根，则函数f(x)=

1「111111

Inx+i与y=k在区间1e上有两个不相同的交点，fz令工一或

=0可得x=l,当xe点1)时，f'(x)V0,函数是减函数；当x€(l,e)时，

f'(x)>0,函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为=而fQj=

11

-1+e,f(e)=l+-,又一l+e>l+g,所以，函数的最大值为e—l.所以关于

-1一,

x的方程xlnx—kx+l=0在区间展，e上有两个不等实根，则实数k的取值范

围是(1,1+：.故选B.

［答案］B

［技法领悟］

发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为

主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，

是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y=t+lnx的单

调性巧妙地求出实数k的取值范围.此法也叫主元法.

1.4.［应用体验］

3.对于满足0vpw4的所有实数p,使不等式x2+px>4x+p—3成立的x

的取值范围是.

第5页共36页

解析：设f(p)=(x—l)p+x2—4x+3,

则当x=l时，f(p)=O.

所以XHl.

f(0)>0,

函数f(p)在［0,4］上恒为正，等价于，c

［f(4)>0,

(x—3)(x—1)>0,

即Jc,c解得x>3或XV—1.

,x2—1>0,

答案：(-8,-l)u(3,+8)

4.已知函数f(x)=F3—那2+(a+l)x+l,其中a为实数.

(1)已知函数f(x)在x=l处取得极值，求a的值；

(2)已知不等式F(x)>x2—x—a+l对任意ae(0,都成立，求实数x

的取值范围.

解：(l)F(x)=ax2—3x+a+l,由于函数f(x)在x=l处取得极值，

/.fz(1)=0,即a—34-a+l=0,/.a=l.

(2)由题设，知ax2—3x+a+l>x2—x—a+1对任意a£(0,+8)都成

立，

即(x2+2)a—x2—2x>0对任意a6(0,+8)都成立.

设g(a)=(x2+2)a—x2—2x(aCR),

则对任意xeR,g(a)为单调递增函数(aeR),

对任意ae(0,+oo),g(a)>0恒成立的充要条件是g(0)20,

即一x2—2x20,-2<x<0.

于是x的取值范围是［—2,0］.

1.5.应用(三)构造函数关系解决问题

在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，

通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用

函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现.特别要

注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进

思维迁移.

［例3］已知函数f(x)=ex—2x+2a,xGR,aGR.

第6页共36页

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)求证：当a>ln2—1且x>0时，ex>x2—2ax+l.

［解］(1)由f(x)=ex—2x+2a,知f(x)=ex—2.

令F(x)=O,得x=ln2.

当xvln2时,f'(x)<0,故函数f(x)在区间(-8,In2)上单调递减;

当x>In2时，f'(x)>0,故函数f(x)在区间(In2,+8)上单调递增.

所以f(x)的单调递减区间是(一8,In2),单调递增区间是(In2,+oo),

f(x)在x=ln2处取得极小值f(ln2)=eln2-21n2+2a=2-21n2+2a.

(2)证明：设g(x)=ex—x2+2ax—l(xzO),

贝Ug'(x)=ex—2x+2a,

由(1)知g'(x)min=g'(In2)=2—21n2+2a.

又a>ln2—1,则g'(x)min>0.

于是对VxGR,都有g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增.

于是对Vx>0,都有g(x)>g(O)=O.

即ex—x2+2ax—1>0,故ex>x2—2ax+l.

［技法领悟］

一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a,b)上成立，需构造辅助函数F(x)=f(x)

一g(x),通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式.若F(a)=O,只需证明

F(x)在(a,b)上单调递增即可；若F(b)=O,只需证明F(x)在(a,b)上单调递减

即可.

1.6.［应用体验］

5.(2018•天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB1BC,

.若点为边上的动点，

AD±CD,ZBAD=120°,AB=AD=1ECDA

则NF•下E的最小值为()

213

AmB，2

25

C.T7D.3

第7页共36页

解析：选A如图，以D为坐标原点，DA所在的直线为x

轴，DC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，连接AC.

由题意知NCAD=zCAB=60。，ZACD=zACB=30°,

则D(0,0),A(l,0),B修,坐)，

C(0,啊.设E(0,y)[0<y<V3),

则福=(—1,y),用甘=(—|,y-

祸磔=|+y2—彩=(y一鸣篇

当丫=乎时，N『能有最小值H.故选A.

6.(2019•洛阳尖子生第二次联考)已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函

_f(e)f(ln2)

数为y=F(x),当x>0时，x?(x)-f(x)<0,若a=F-b=]n2，c

f(—3)

—3一,则a,b,c的大小关系正确的是()

A.a<c<bB.b<c<a

C.a<b<cD.c<a<b

f(x)

解析：选由题意，构造函数，当时，

Dg(x)=--X-x>0g'(x)=

xf'(x)—f(X)

二•函数在上单调递减.・・•函数为奇函

x2<0,g(x)(0,+s)f(x)

f(—3)

数，，函数g(x)是偶函数，，c=———=g(—3)=g(3),又a=g(e),b=

g(ln2),且3>e>l>ln2>0,/.g(3)<g(e)<g(ln2),「.cVaVb.故选D.

1.7,应用(四)构造方程形式解决问题

分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程(组)，使原问

题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造

力的一个方面.

[例4](2018•全国卷ni)已知点M(—1,1)和抛物线C：y2=4x,过C的

焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若ZAMB=9O。，则k=.

第8页共36页

[解析]由题意知，抛物线的焦点坐标为F(l,0),

设直线方程为y=k(x—1),

直线方程与y2=4x联立，消去y,

得k2x2—(2k2+4)x+k2=0.

设A(xl,y1),B(x2,y2),

2k2+4

贝！Jxlx2=l,xl+x2=--

由M(—l,1),得可而=1-yl),

百而=(一1一x2,l-y2).

由zAMB=90。，得五曲•后而=0,

(xl+1)(x2+1)+(y1—1)(y2—1)=0>

/.xlx2+(xl+x2)+l+yly2—(yl+y2)+l=0.

又yly2=k(xl-1)-k(x2-1)=k2[xlx2-(xl+x2)+1],yl+y2=k(xl+

x2-2),

2k2+4(2k2+4

.\1+-+l+k21+12+1=0,

K19Zkk2

44

整理得合一看+1=0,解得k=2.

K4K

［答案］2

［技法领悟］

本题由ZAMB=9O。，知A而历而=0,从而得出关于k的方程，问题即可解

决.

L8.［应用体验］

7.(2019•福建省质量检查)等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且a8—a5=

9,S8-S5=66,贝Ua33=()

A.82B.97

C.100D.115

a8—a5=9,

解析：选C设等差数列｛an｝的公差为d,则由＜得

S8-S5=66

第9页共36页

■(al+7d)-(al+4d)=9,d=3,

<所以a33=al+32d=4+

.(8al+28d)-(5al+10d)=66,al=4,

32x3=100.故选C.

8.(2018•浙江高考)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若

a=S，b=2,A=60°,则sinB=,c=.

解析：由正弦定理温得sinB若•sinA=^X*="|工

sinAsinDa77乙/

由余弦定理a2=b2+c2—2bccosA,

得7=4+c2-4cxcos60°,

即c2—2c—3=0,解得c=3或c=—1(舍去).

答案：方一3

1.9.应用(五)转换方程形式解决问题

把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方

程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的

充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面.

21tanex

［例5］已知sin(a+B)=y,sin(a—0)=于求而丁］的值.

［解］法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，得

-2

sinacos6+cosasinB=亨

<

1

sinacosP-cosasinB=g,

广…137

所以sinacos3=五，cosasinB

tanasinacosB13

tanB-cosasinP_7,

tanasin(a+0)10

法二:令,.因为

tanBsin(a-p)3

sin(a+0)tana

sin(a+p)cosacosBtana+tanBtanBx+1

□...,

sin(a—p)sin(a—0)tana—tanBtanax—1'

cosacosBtanB

第10页共36页

所以得到方程岩=孚解方程得黑£=x=¥.

［技法领悟］

本例解法二运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于sinacosB

与cosasinB（或需的方程来求解，从而获得欲求的三角表达式的值.

1.10.［应用体验］

9.设非零向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,b,c=120°,则

|b|的最大值为.

解析：ra+b+c=0,/.a=—［b+c］,

|a|2=|b|2+2|b||c|cos120°+|c|2,

即|c|2一|b||c|+|b|2-4=0,

/.A=|b|2一4（|b|2-4）>0,

解得0<|b|4乎，即|b|的最大值为挈.

答案：挈

10.（2019•全国卷ni）设Fl,F2为椭圆C：||+$=1的两个焦点，M为

C上一点且在第一象限.若AMFIF2为等腰三角形，则M的坐标为.

解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半

径的圆上，即在圆（x+4）2+y2=64上.

因为点M在椭圆||+券=1上，

（x+4）2+y2=64,

所以联立方程可得x2,y2

原+的=1，

x=3,

解得r-

ly=±V15.

又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为（3,店）.

答案：（3,V15）

［总结升华］

第11页共36页

1.11.函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识

(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性

质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函

数思想构造新函数，建立函数关系求解.

(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转

化为函数关系，利用函数的性质求解.

(3)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去

处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二

次方程来解决.

(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，

求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决.

(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或

建立函数表达式的方法加以解决.

第12页共36页

2.第2讲数形结合思想

数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化

来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：

以形助数以数助形

借助形的直观性来阐明数之间的联借助于数的精确性来阐明形的某些

系.以形助数常用的有：借助数轴，借属性.以数助形常用的有：借助于几何

助函数图象，借助单位圆，借助数式的轨迹所遵循的数量关系，借助于运算结

结构特征，借助于解析几何方法果与几何定理的结合

由“形，，到“数，，的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的

意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数"到“形”的转化.

2.1.应用(一］利用数形结合思想研究函数的零点问题

g(x),x<0,

［例1］已知函数g(x)=a—x2—2x,f(x)=,且函数y=

lg(x—1),x>0,

f(x)—x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是.

a—x2—2x,

［解析］f(x)=1y=f(x)—X恰有三个不同的零点等价于

x2十1,x30,

y=f(x)与y=x有三个不同的交点，试想将曲线f(x)上下平移使之与y=x有三

个交点是何等的复杂，故可变形再结合图象求解.

a—x2—3x,x<0,

由f(x)—x=j,、

a—x2—x+1,x20,

—x2—3x,x<0,

可得f(x)—x=a+<

—x2—x+1,x20,

所以y=f(x)—x有三个零点等价于

x2+3x,x<0,

a=j,xM有三个根.

x2+x-1,

第13页共36页

x2+3x,x<0,

令h(x)=j.、

［x2+x—1,x20,

画出y=h(x)的图象如图所示，将水平直线y=a从上向

下平移，当a=0时，有两个交点，再向下平移，有三个交

点，当a=-1时，有三个交点，再向下就只有两个交点了，

因此ae［-l,0).

［答案］［—1,0)

［技法领悟］

利用数形结合探究方程解的问题应注意两点

(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论

两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面

性，否则会得到错解.

(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准

为原则，不要刻意去用数形结合.

2.2.［应用体验］

1.已知f(x)=|x|+|x—1］,若g(x)=f(x)—a的零点个数不为0,则a的最

小值为.

(1—2x,x<0,

解析：原方程等价于f(x)=Jl，OWxWl,其图象如图所

I2x—1,x>l,

示，要使a=f(x)有零点，则aNl,因此a的最小值为1.

答案：1

Ixl,xWm,

2.已知函数f(x)=、其中m>0.若存在实数b,使

x2-2mx+4m,x>m,

得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是.

解析：作出f(x)的图象如图所示.

当x>m时，x2—2mx+4m=(x—m)2+4m—m2,

所以要使方程f(x)=b有三个不同的根，则有4m—

m2Vm,即m2—3m>0,又m>0,解得m>3.

答案：(3,+8)

第14页共36页

2.3.应用(二)利用数形结合思想解决不等式问题

［例2］若不等式「9—x2Wk(x+2)—也的解集为区间［a,b］,且b—a

=2,则k=.

［解析］如图，分别作出直线y=k(x+2)—正与半圆y

=^9—x2.

由题意，知直线在半圆的上方，且过定点A(—2,一何由b—a=2,可

知b=3,a=l,即直线与半圆交点N的横坐标为1,代入y=.9T2=

2也，所以直线y=k(x+2)—也过点(1,2&),则k=kAN=畔三三方~

=呼他

［答案］.

［技法领悟］

利用数形结合思想解不等式或求参数范围问题的技巧

求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特

点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化

为数量关系来解决问题.

2.4.［应用体验］

3.已知f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)单调递增,f(l)=O,若f(x—1)

>0,则x的取值范围为()

A.{x［0<xVl或x>2}B.{x|x<0或x>2}

C.{x|xV0或x>3}D.{x|xV-l或x>l}

解析：选A因为函数f(x)为奇函数，所以=*r

0,又函数f(x)在(0,+8)上单调递增，所以函数f(x)在(一8,0)//

上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x

-l)>0可转化为一lVx-lVO或x-l>l,解得OVxVl或x

>2.故选A.

4.若存在实数a,对任意的x€［0,m］,都有(sinx-a>(cosx-a)wO恒成

立，则实数m的最大值为()

第15页共36页

JIJI

A彳B.y

3n5n

C.丁D.丁

解析：选C在同一坐标系中，作出y=sinx和y=cosx的图象,

JI

当m=z时，要使不等式恒成立，只有a=华,

4,L

JI

当m>1时，在x6[0,m]上，必须要求y=sinx和y=cosx的图象不在y

\[53n

=a=华的同一侧.所以m的最大值是丁,故选C.

应用(三)利用数形结合求解析几何问题

[例3](1)(2018•全国卷ni)设Fl,F2是双曲线C：附一段=l(a>0,b>0)

的左、右焦点，0是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若

|PF1|=V6|OP|,则C的离心率为()

A事B.2

C，V3D.V2

(2)已知圆C：(x—3)2+(y—4)2=1和两点A(—m,0),B(m,

0)(m>0).若圆C上存在点P,使得NAPB=90。，则m的最大值为()

A.7B.6

C.5D.4

[解析]⑴

如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为

P',连接P'F2,由题意可知，四边形PF1P'F2为平行

四边形，且△PP'F2是直角三角形.

因为|F2Pl=b,|F2O|=c,所以|OP|=a.

又|PFl|=,a=|F2P'I，|PP'|=2a,

所以|F2Pl=V^a=b,所以c=[a2+b2=，§a,

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所以e=；=V^.故选C.

a

(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4),半径r

1

=1,且|AB|=2m,因为NAPB=90。，连接OP,易知|OP|=?|AB|=m.

要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点0的最大距离.因为|0C|=

［32+42=5,所以|0P|max=|0C|+r=6,即m的最大值为6.故选B.

［答案］(1)C(2)B

［技法领悟］

(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直

白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一

些复杂的计算，给解题提供方便.

(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何意义的代数形

式，主要有：①比值一一可考虑直线的斜率；②二元一次式一一可考虑直线

的截距；③根式分式一一可考虑点到直线的距离；④根式一一可考虑两点间

的距离.

2.5.［应用体验］

5.过直线x+y—2啦=0上一点P作圆x2+y2=l的两条切线，若两条

切线的夹角是60。，则点P的坐标是.

解析：如图，由题意可知ZAPB=6O。，由切线性质可知

zOPB=30。.在Rt^OBP中，OP=2OB=2,又点P在直线x

+y—2/=0上，所以不妨设点P(x,2/一x),则0P=

A/X2+(2V2-x)2=2,即x2+(2g一x)2=4,整理得x2

-2啦x+2=0,所以x=小,即点P的坐标为(啦，啦).

答案：(小,衣］

6.已知0为坐标原点，设Fl,F2分别是双曲线x2—y2=l的左、右焦

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点，P为双曲线左支上任意一点，过点F1作ZF1PF2的平分线的垂线，垂足为

H,则|0H|=(]

A.1B.2

1

C.4D，2

解析：选A如图所示，延长F1H交PF2于点Q,由PH为ZF1PF2的平

分线及PHJ_F1Q,可知|PF1|=|PQ|.

根据双曲线的定义,得|PF2|一|PF1|=2,即|PF2|一|PQ|=

从而|QF2|=2.

在△F1QF2中，易知0H为中位线，则|OH|=1.

故选A.

［总结升华］

运用数形结合思想分析解决问题的3个原则

(1)等价性原则

在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会

出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形

的性质只能是一种直观而浅显的说明.

(2)双向性原则

在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两

方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在

许多时候是很难行得通的.

(3)简单性原则

找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来

叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单.

3.第3讲分类讨论思想

在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一

的方法、统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这

就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子

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区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为

特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还

必须把它们总合在一起，这种“合一分一合”的解决问题的过程，就是分类讨

论的思想方法.

分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点.分类讨论思想在函

数、数列、不等式、解析几何、立体几何、概率等数学问题求解中有广泛的应

用.

3.1.应用(一)由概念、法则、公式引起的分类讨论

［例1］等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若对任意的正整数n,Sn+2=

4Sn+3恒成立，则al的值为(］

A.-3B.1

C.-3或1D.1或3

［解析］设等比数列｛an｝的公比为q,当q=l时，Sn+2=(n+2)al,Sn

=nal,由Sn+2=4Sn+3得，(n+2)al=4nal+3,即3aln=2al—3,若对

任意的正整数n,3aln=2al—3恒成立，则al=O且2al—3=0,矛盾，所

,”,al(1—qn)al(1—qn+2)

以附1,所以Sn=———,Sn+2=——

代入Sn+2=4Sn+3并化简得al(4—q2)qn=3+3al—3q,若对任意的正

4—q2=0,al=l,al=-3,

整数n该等式恒成立,则有《解得

13+3al—3q=0,lq=-2,

故al=l或一3.故选C.

［答案］C

［技法领悟］

本题易忽略对q=l的情况进行讨论，而直接利用Sn=317-qD)

(qHl),很容易造成漏解或增解，若本题是解答题，这种解答是不完备的.本

题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q=l,Sn=nal和qHl,Sn=

进行讨论.

3.2.［应用体验］

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sin(兀x2),—l<x<0,

1.已知函数f(x)=】若f(l］+f(a)=2,则a的所

、ex—1,x30,

有可能值为.

解析：f(l)=eO=l,即f(l)=l.

由f(l)+f(a)=2,得f(a)=l.

当azO时，f(a)=l=ea—1,所以a=l.

当一lvavO时,f(a)=sin(na2)=l,

JI

所以na2=2kn+y(k£Z).

11

所以a2=2k+2(k€Z),k只能取0,此时a2=1

因为一l<a<0,所以a=一坐.

故a=l或一座.

答案：1或一堂

2.若函数f(x)=ax(a>0,且a=l)在［-1，2］上的最大值为4,最小值为

m,且函数g(x)=(l-4mh&在［0,+8)上是增函数，则a=.

,,1

解析：若a>l,有a2=4,a—l=m,此时a=2,m=》此时g(x)=一

11

班为减函数，不合题意；若0<a<l,有a—1=4,a2=m,故a=］,m=云，

经检验符合题意.

答案：4

3.3.应用(二)由运算'性质引起的分类讨论

［例2］已知a>0,b>0且a=l,bWl,若logab>l,则()

A.(a—l)(b—1)<0B.(a-l)(a-b)>0

C.(b-l)(b-a)<0D.(b-l)(b-a)>0

［解析］；a>0,b>0且a=1,bWl,

...当a>l,即a—1>0时，

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不等式Iogab>l可化为alogab>al,即b>a>l,

A(a-l)(a-b)<0,(a-l)(b-l)>0,(b-l)(b-a)>0.

当OVaVl,即a-l<0时，

不等式logab>l可化为alogab<al,即0<b<a<l>

A(a-l)(a-b)<0,(a——(b—l)(b—a)>0.

综上可知.故选D.

［答案］D

［技法领悟］

应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性

质决定的.在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间

段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之

3.4.［应用体验］

3.在△ABC中，C=T",AB=2,AC=黄，则cosB的值为()

A.|B「坐

亚1

或一亍D］或一5

解析：选D由题意知C=7，c=AB=2,b=AC=加，

bc%sin?书

由正弦定理输-sinC，侍sinB=2=2-

因为b>c,所以B>C=z，

n2几

又0<BV“，所以B=-y或亍.