2023年湖南省永州市统招专升本数学自考预测试题(含答案)

2023年湖南省永州市统招专升本数学自考

预测试题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.

.若/,(才0.〉0)=O./>(xo.j>o)=。.则/(a-.y)在点处()

A.有极值B.无极值C.不一定有极值D.有极大值

rx2-1,x<0,

=\li叫"(X)存在.则“=)

l2x+a,

2.'B.0D.2

3.

F列各对函数中相同的是)

A.y=1与_y=

B.y=ln.z2与_y=21n1

C.》=(|x|-.r)(|—x|+x)与,y=0

D.=J--1与y=-—―

'".r+1

4.

设函数八公具有任意阶导数.且/'(①)=[/(①)了•则/“(z)=)

A.〃！[/(工)]+B.,汇+

C(〃+1尸D.(〃+1)![/(工)1+

5.

点工=°是八幻=arctan1的)

A.可去间断点B.跳跃间断点

C.第二类间断点D.连续点

6.

当才-»0时，函数fCr)=e*-h—1是函数奴工)=犬的()

A.高阶无穷小B.低阶无穷小

C.同阶无穷小D.等价无穷小

7.

过6轴及点(3.—2.4)的平面方程是()

A.31+2_y=0B.2»+z=0C.2z+t=0D.2z+3y=0

8.

已知函数/Q)在区间［O.a］(a>0)上连续./(O)>0.且在(O.a)上恒有/"(.r)>0.

设X=1/("di.*=a/(0),S1与“的关系是()

A.5tVs2B.Sj="C.Si>s2D.不确定

9.

f(£—1h1+2/z=0・

方程组J有非零解的条件是()

2.门+(k—1)T2=0

A.k#—1B.A#3

C.k#—1且A#3D.k=-1或A=3

10.

曲线y=通的渐近线共有(只考虑水平和垂宜渐近线)()

X+4H

A.1条B.2条C.3条D.4条

11.

直线L与彳轴平行且与曲线》=彳一］相切，则切点的坐标是()

A.(1,1)B.(-1,1)C.(0,-1)D.(0,1)

12.

若直线V=5丁+m是曲线,y=+3z+2的一条切线，则常数m=()

A.OB.1C.5D.6

13.

设/①)=,则八G=

21njr21nx

A.-B.

工(1+In'x)(1+lnZ”

2口1

(1+r2)2(1+x2)2

14.

00

设为+£4-a„_,)=l.那么极限lima“()

/J-MO

A.可能存在，也可能不存在B.不存在

C.存在，但极限值无法确定D.存在，并且极限值为1

15.

设〃.r)=胃一&r,则在区间(0,1》内(

A.函数/(工)单调增加且其图形是凹的B.函数/(x)单调增加且其图形是凸的

C.函数/(了)单调减少且其图形是凹的i).函数/(J-)单调减少且其图形是凸的

16.

sin2x

已知函数f(x)=.-V*在x=0点连续，则。=()

2x+a,x40

A.4B.2C.3D.0

17.

积分tsinzcos2xilr)

A.1B.0C.sinlD.cosl

18.

已知级数X",•则下列结论正确的是

打，

A.若lim〃.=0♦则£收敛

4—8-I〃一I

oo•oo

B.若的部分和数列｛SJ有界.则2幺收敛

>=.残=1

o>8

c.若Xi«„i收敛.则绝对收敛

M-1W-1

noE

D.若£u„|发散，则也发散

«—Ift-1

19.

若Y+l是〃x)的一个原函数,则/(X)=()

A.-----FCB.X2+1C.2xD.2

3

20.

曲线、=与±4的渐近线()

产—3

A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线

C.仅有垂直渐近线D.既无水平也无垂直渐近线

21.

下列极限存在的是

A.lim中

4…r

C.lim—D.lim

-r・0XJ•oOyJC

22.

’3巴x<0

若函数/(x)=<sinx在工二0在处连续，贝!|Q=

+a.x>0

A.0B.1C.2D.3

23.

・设/Q'）为连续函数•则|=

A.Jcos.z/(sinj)d、rB.Jsin.z/(cos.r)d.r

rr.

COSJ/(COSJ,)djIX|sinxf(sinj)d.r

o

培+x2+x3=k.3,

如果线性方程组，玉+H2+对=一2,有唯一解，则有（）

玉+x2+kx3=-2

A.k手l,k杀一2B.k=一l,k羊一2

…C.k*-Lk*2D.左w1,女工2

24.

25.

A「2012

.「(一cos/2)At=）

d/Jsinr

A.—COST2B.cos(sin.r)2cos.r

C..ZCOSJ*2D.cos(sin.r2)

26.

袋中有5个白球，2个红球，第一次取出一球,不放回，第二次再取出一球•则两次取出

的都是白球的假率是（）

27.

，r+1-—I

7#0.

函数/(.r)=<在.r=0处连续，则k=()

1=0

A.0B.2c-iD.1

28.

.已知=eTr,f(0)=0,则/(.r)=()

A.e2j+eJB.e2j—eJC.e"+e~JD.e"—e""，

29.

)

A.1B.2C.OD.-j-

30.

函数/(7)=eT—的一个原函数是

A.F(j-)=e'—erB.F(j)=e'+e-r

C.F(T)=「-e'D.F(.r)=-er-e-r

二、填空题（20题）

2]=

4-2)

31.i

若lim(上近

=4•则a=

32lg".-a

函数/（G=—的可大奇点是

33.-

34函数.v=er+1在点（0,2）处的法线方程是

设/=1阂;”用力力，改换枳分次序后/=

幕级数W凶士的收敛半径为

36.Mn

37微分方程y"+y=O的通解为.

若=鼠4>0）,则正项级数2>“的敛散性为

38.…„-i

40.

J

以3,i=e^sin.r.y2=ecos.r为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为

V------1------

5J(«+1)(«+2)

设曲线L：/4-y=4,则对弧长的曲线枳分［（/+y+I）d5=

rsin2jj0

-----,/V0.

设/(J)=V"在①=0处连续，则k=

3/—27+晨7>。

设/(z)=N•则2xf(JL')cLr=

44.」

/=若/"(/)=上若>0),则/(x)=

45.'r

♦设z=In，储+二，则dz=

4o.

47函数》/)的傅氏变换=

48.

已知函数,/(J)=ln.t为可导函数.则/(T)在点/=1.01处的近似值为

49.

点(0,1)是曲线y=*+&/+h的拐点，则a=.b=

50点M(4,-3,5)到().1轴的距离为

三、计算题(15题)

产,A

xsxnjcdx

求极限lim"—.--------.

51Lo*(er一］)

f\ln(l+/)dz

求极限lim&---------------.

uc10x-sinx

52.•

fx/31

求-------djr.

53),二'+7?

产,A

xsxnjcdx

求极限lim"—.--------.

r

540^'(e-D

求函数=>+.<y+»2-y+1的极值.

55.

56.

0<jV1

设随机变量X的概率密度为八，)=1''(0>O),.r1,.r2.-,

[0，其他

心是X的简单随机样本，求。的极大似然估计.

57.

计算£(/一/")(11+(/-2小)打,其中心是四个顶点分别为(0,0).(2,0).(2,2)和

(0.2)的正方形区域的正向边界.

58.

(3.r2.0<j-<1.

设随机变量X的概率密度为/(*)=1用Y表示对X的三次

1。，其他.

独立重复观察中事件X&4•产现的次数.求:

至少出现一次的概率;

(2)X恰好出现两次的概率，即P(Y=2｝；

(3)Y的数学期望E(Y).

求不定积分卜嘿咀dw.

Je

59.

2111

计算四阶行列式1211的值.

1121

计算不定积分jx(cosx+e2x)dx.

61.

62.

已知函数/⑺具有一阶连续导数，且满足/⑵=4•，/⑵=。及1,求

/J0

I"x2/y/(2j')clx.

J0

arcsinTx

计算Jdx-

y/x-x2

63.

64设函数v=.y(j,)由方程y=(In%)"•确定，求y.

65.

r2.r—4v+?=0.

求过点A(l・2,l)且与直线/：。平行的直线方程.

[3a—、-2%=9

四、证明题(10题)

66.

求由抛物线犷=1一f及其在点(1,0)的切线和？轴所周成的平面图形的而积.

y

已知二元函数z=xe*,证明：x-^-+y—=x.

67.派布

68.

证明：当］>0时,ln(7+A/1+j-2)>----:-----

69.

已知方程.r11--V=0有一正根r=1.证明方程11八°-76-3.r2+1=0

必有一个小于1的正根.

设0<“《证明不等式写W43J。

70.aa

71.

已知方程4彳+313—V=0有一负根x=-2•证明方程4+9/—5、，=0必有一个

大于一2的负根.

72.

30.设D是由曲线)•=111工仆=6及工轴所围成的的平面区域

求:(1)平面区域D的面积S;(2)D绕j轴旋转一周所成的旋转体的体积V.

73.

证明不等式:彳>0时，1++\/1+j-2)>+三.

74.

设a>〃>0,利用拉格朗日中值定理证明：纥心&In齐W咛2

abb

75.

2

已知方程、r"一、——I、+r=o有一正根r=1.证明方程1一7/-3x+1=0

必有一个小于1的正根.

五、应用题(10题)

76.

求由曲面z=M十丁.与平面/+y=1,及三个坐标面所围成立体的体积.

已知二兀^数其中/(〃)为可导函数、

证明Ia.+上1邑=二*

xAr了dr.1

77.

78.

某公司主营业务是生产自行车,而且产销平衡，公司的成本函数CQ)=40000+200.r-

0.002/.收入函数RQ)=350.Z-0.004/，则生产多少辆自行车时.公司的利润最大？

79.

某房地产公司有50套公寓要出租.当月租金定为2000元时.公寓会全部租出去，当月

租金每增加100元时.就会多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需花费200元的维修

费.试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

80.

曲线*=M与直线.y=以(()VaV1)及1=1围成两个平面图形.求当a为何值时,

两个平面图形绕.r轴旋转一周所得的两个旋转体的体积之和最小.

81.

已知曲线y=a>0)与曲线y—In6在点(2”0.%)处有公切线.试求:

(1)常数a和切点(网,山);

(2)两曲线与无轴围成的平面图形的面积5.

82.

设/(x)在［a,幻二阶可导，且/")=0,又设F(x)=(N-a)2f(z),证明在(a,6)内

至少存在一点£使I飞)=0.

83.

某公司主营业务是生产自行车,而且产销平衡，公司的成本函数CQ)=40000+200.r-

0.00212.收入函数RG）=35O.r-O.004/,则生产多少辆自行车时.公司的利润最大?

84.

已知曲线1y=。6（“>0）与曲线y=In在点（2、，义）处有公切线.试求:

（1）常数。和切点（心，加）；

（2）两曲线与1轴围成的平面图形的面积S.

85.

某立体声收音机厂商测定，为了销售一新款立体声收音机z台，每台的价格（单位:元）

必须是力（心=800一工,厂商还测定，生产工台的总成本为C（r）=2000+UU为使利润最大

化•厂商必须生产多少台?最大利润是多少？

六、综合题（2题）

该曲线的方程；

OO.,

87.

试求出由该曲线段与曲线在此点处的切线，以及z=0,1=a所围成图形的面

积A⑴;

参考答案

1.C

［答案］c

【精析】已知条件仅说明点（.r°.y。）是驻点.而驻点不一定是极值点.故应选C.

2.A

[答案]A

【精析】由于1皿(工)存在，则liW(x)=lin叭x),由题可知lin仪工)=lim(.r2-1)=-1,

I).X4)*I).*—・

Iim/(x)=lim(2x+a)=a,故a=-1.

3.C

【精析】从定义域与对应法则两个方面验证.只有c是完全相同的.故应选C.

因为=[/(外了.所以

/'(1〉==2]/1)]3.

,3=2•31/(用了•/Q.)=2•31/“)了・

/">(1)=2*3*4E/(.r)?•/'I)=4![/(n)了，

4.A

5.B

【精析】limarctan—=limarctan—=—毋,左右极限存在但不相等,z=0为跳

…+才21o-x2

跃间断点，故选B.

6.C

［答案］c

【精析】若=limg（x）=0（同一极限过程）,lim/产,=C（/0,8）.称f（.x）

g（工）

与g（"是同阶无穷小量；当C=1时,称两者为等价无穷小量，记作/（x）〜g（x）.

因为lim华|=lim。’厂1=［即0"=1,所以函数八力是函数8（1）的同阶

-r-0月（工）x-0XJ-DLXL

无穷小，故选C.

7.D

L答案」D

【精析】设过（上轴的平面方程为“r1小0.所以3“-2〃0.B",-取u--2.

则平面方程为2上I3,y0.故应选D.

8.C

由/'（.r）>0在（O.a）上恒成立知/（1）在（O.a）严格单调增加.由题意知.存

在SG（0，。），使得=J/（j）d>r=a•/（S），由于0VSVa•则/（0）V/（S）V/（a）,

又/（0）>0.所以a•/（&）>af（O'）=",即”>立•本题选C.

［答案1D

【精析】方程组有非零解.则

k—12

=(k—3)(比+1)=0.

2k—1

9D得£=—1或£=3,故选D.

10.C

［答案1C

【精析】因为y=/(工)8=E-2)(二11)../(h)=1,所以y=1

k+4“N(I+4)

是曲线的水平渐近线”im/(.r)=8Jim/(.r)=8•从而jr==-4是曲线的垂直

x-0x-4

渐近线,故选c.

11.C

【精析】由导数几何意义，切线斜率6="=l—e，，又切线与工轴平行.故4=0,即

1-e，=0,解得z=0,代入曲线方程3，=z-e，得y=一1.所以切点坐标为（0,一I）.

12.B

［答案］B

【精析】由题设可知，切线斜率A=J=2N+3=5,解得，=1.代入曲线方程得》=

6,即切点坐标为（1.6）,代入切线方程.y=51+.解得TH=1.故选B.

13.A

［答案］A

【精析】令，=1.则N=Inr,代人原函数得

/（r）=1Ji。•

1+ln-i

，(力=----^-1---.=-------------

7(l+ln3r)2r(l-ln:z)?，

即八戈）君七声故选A.

14.D

【评注】由于级数的部分和s.=4+£（4-/T）=a2,所以由级数的和为1知,

有于是lima”=lima”］=lims〃=1,故选D.

rt-HO”T8n-HOn-HO

15.C

［答案］c

【精析】Z（X）=3x2-3，r（x）=6工，当OVnV1时，/（工）VO./'Q）>0.故函

数/（上）在区间（0,1）内单调减少且其图形是凹的.

16.B

17.B

［答案］B

【解析】/（X）=学0・《>"2在对称区间［-1/］上的奇函数，故选区

18.C

［答案1C

【精析】A项中若结论不成立;B项中若“”=（1）",结论不成立；D项中若

n

u„=（一1）"工，结论不成立；由绝对收敛的定义知，C项正确.

n

19.C

C

【评注】由原函数的定义，（必+1），=/（工），得到：/（x）=2x,所以选C.

20.B

【精析】lim2）+:=0.limT+J=8.

所以.y=0是水平渐近线.a=±Q是垂直渐近线•故应选B.

r_i_］z-十/

A项Jim-~—=lim--=0.极限存在；

J・8①J-OO1

21.A

B项.lim石」■--=8.极限不存在；

C项Jim—=8.极限不存在；

D项，limJI+七=lim=8•极限不存在.

J*-00VJTX-OOVJC

22.C

23.A

［答案］A

【精析】|"cosw/(sin.r)dw=/(sin.r)d(sin.r)=I

JoJoJo'

24.A

A

k11

【评注】系数行列式由行列式的展开性质得1k1=(k+2)(无-1)2.线性方程组有唯

11k

一解，故系数行列式不为零.

25.B

［答案］B

【精析】原式=—［—cos(sinj)23,(sin.r)'=cos(sini)2cos］，应选B.

［答案］B

【解析】P(A)表示两次取出的都把自己求的概率.

Cl•Ci5X410

P(A).w7*-7——

■a7X62r

26.B

27.D

［答案］D

【精析】lim/(立)1.

x—0

/(0)=6.根据函数在①=0连续知k=1•故选D.

28.B

【精析】由d[ef/(a)]=e，clz两边积分得e-J/(.r)=e，+C,

即/(-r)=c2z+CcJ，把/(0)=0代入得(、=—1,

/(x)=e2j—e，.故应选B.

29.D

[答案]D

【精析】limsin?-I)=[mi「『八、二】).^7T=]XJ=)•故应选D.

z-1x-1x-i.r—1z-ixT12Z

30.B

r

【精析】j/'(J')dJ,—|(e"—")d.r=e'd.f+Jecl(—i)=e"十e"+C,结合选项

可知B正确.

31.

3

4

1100

【精析】〃7(〃+*2)=42/\工n一7一t-二2))，故级数仁X〃-六(〃I〒f2、)的前〃项和

01八1J11上11上4_1111V

s=2(1_§+2_1+可—可+，”+_—中+==)

2(2〃十1〃+2)'

8

故

»2=1

32.

In2

【精析】=I”一二+2q

.r-*o©yvZCl)r-*o©\2*a

r.为守产

1+-^-=4.

L81<x-a!1-a

因为lim/l+卷一

=1,所以e*=4.2。=ln4,因此a=In2.

j■-*81Cl

33.

N=0

［答案1==0

【精析】函数/（C）=辿在例环域oV|Z|<1内的洛朗展开式为皿=1-1一+

之z3!

——（―1）"~.1、,t—，不含负塞项，故z=。是f（z1的可去奇点.

5!（2"十D!

34.

y-a—2=0

【精析】），'=一e）•则，=—1.故在点（0.2）处的法线斜率为1.则法线方程为

z-0

y—2=Q•-0）,即y—.1—2=0.

35.

胆yf”x,y)dx

1

【评注】根据第级数的收敛半径公式.

36.1

37.

y=Gcosx+Gsinx

【评注】特征方程：，+i=o,特征值：、2=±i，方程通解为y=Gcosx+Gsinx.

38.

发散

OO8

因为=lim=氏(4>0).故与»上具有相同的敛散性,所

"・8-g’—1n

n

OO

以Zw"发散.

I

［答案］4

【精析】|'|x-2|d,r=£|.r-2|<Lr+|'|.r-2|dr

j(2—.r)dr十］(J，-2)d»

40.

y-2'+23=0

【精析】由题设知，其特征根为人2=1士心

从而有(r—1尸=—1，即产—2r+2=0,

所以微分方程为/-2，+2.y=0.

41.1

[答案11

【精析】S<7+17(7+2)=§(rn-7T2)=1-7+7-T+*，，+^Tl'

-4f=1--一一二)=1.故级数的和为1.

〃十2nt2«-\n一■乙)

42.

207r

【精析】令w=2cos£,;y=2sinf,0&f427r,贝@+1)小=j(4cos2z|lsin?r

-1)•y(—2sin/)24-(2cosz)*dz=J10d^=20n.

43.2

【精析】因为limf(d)=lim5T=2,lim/(i)=lim(3x~—2w+A)=k.

jr"0Jr・O«ri*0+j*0+

/(0)=氏，则由连续定义可知lim/(jr)=)=f(0)•所以A=2.

j•OTx-0+

44.

x2+C

【精析】j2.jf(.r~)d.7'=f(J'2)dj'=f(.r:)+C=.J'2+C.

45.

【精析】由/“(>)=—=—，得/"(H)=

9万+(、所以/(①)=[六、"=2C+(]

46.

adr+ydy

I?+/

【精析】z=In+y=-ylnCjr2+v2).

2d(./+T?)_£cLr+_vdy

d<=-ydCln(.r+./)]=2(./+/)=G+y•

[答案11

【精析】F[6(/)]=[dt

=。一"‘

/-I)

47.1=L

48.

0.01

【精析】由/(.力/(zo)+/"("ro)Ar.故/(1+0.01)/(1)+/(1)-0.01=

Ini+(曰=J0.01=0.01.

49.

0,1

1=()3+4x()2+〃.

【精析】由题设知八0)=l，r(0)=0-1

0=6X0+2a.

所以〃=1,a=0.

50.

［答案］73T

【精析】点M到Or轴的距离为〃=，（-3*+5?=6T西=734.

51.

•rsinzdi

I-jrsiru?"•2x1_

原式=lim-----j--=--lim------------

L。T2bxT

52.

2

pln(l+r)drxln(l+x)..x

解:lim--------------=lim——-——-=hm--

XT>x-sinxx-*°l-cosx1▼:

2

53.

【精析】见到,做三角代换.

令/=tan/,dw=dtan/=—^-dr.i£[1，痣]，贝UZ£「9・3

cos~t43

1

因此—^-dz

tan2Zy/1+tan2Zcos"/

I

•9,dr

cos2/sin/cos-r

tan-/+

cos2/COS"/

-^7-dz

cos"

tan/

7

——-----&=曾出=丁dsirV

，-

tarrfcosf4sirrfsin/

一曰E+5/2.

o

3

54.

•rsirurdri-x2sinx2•2x1_

原式=lim蚓—

r-*067—

55.

ffr=2/+y+1=0,

【精析】解方程组]

[fy=①+2y—1=0.

得驻点为（一1,1）・

fxx=2,fry=1.fyy=2•即A=2.8=1.C=2.

A=B2-AC=l2-2X2=-3<0,又4>0,

所以（一1.1）为函数的极小值点.

极小值为/（-1J）=0.

56.

【精析】似然函数为乙⑷-二17行尸

I-J1-1

1,••.!'*1.(0<，乃•<1).

M

lnL(^)=〃ln8\(0—1)〉]In」:・

i-1

令白必夕)=(XIn.r,=0.

得6的极大似然估计e=~——.

£Im，

t«1

57.

【精析】因为P=工2—zy\Q=y;-2?y.建=—2了,器=

dxoy

—3xy2，所以

，(x2—xy3)dx+(y—2z?)dy=/(—2y+3xy2)dxd>

=Jdj?!(—2y+3xy2)dy

=J(8x—4)dr=8.

58.

.±XL.

【精析】PP)(万！=/'(.r)d.r=3尸dr=>—•

4；-on00O

依题1〜B(n.p)-8(3*).

1k73T

则丫的分布律P；Y=4}=C([)七)#=0.123.

73iz?q

(i)pvii-Pri：i—P{Y=0}i一(七)墨

127191

(2)PY=2；<1(y)(y)=乖；

(，।/：(Y)〃/).

oo

59.

【精析】IarcTane=-arctanerde-T

Je'J

=­e^arctane'+,»

J1+eiJ

・e"

=­e-rarctaner+/1-~T:

J\1+e'/

——e-'arctane'+z--yln(1+e")+C.

60.

解:原式=

61.

|x(cosx+e2i)dr=jxcosxdx+Jxe2jdx=Jxdsinx+；Jxde^

解:

jsinxdx+；xe"-gJe2ldx

=xsinx-

■1，、1rY

=xsinx+cosx+-xe-e+C.

24

62.

【精析】1//〃(2工)£|£=jjj2/(2j-)d(2x)=y£^dZ(2x)

1_1fl_

=；合/(2工)-/'(2z)•2/业

/0Jo

(>>

=_jrd/(2x)=--yjcf(2JT)—J/(2x)dx

一；2—红/")山-

63.

arcsin/x

【评注】解：原式=Jdr=2gd底=arcsin/xdarcsiijx

7x7i-JC

=(arcsinVx)2+C.

64.

【精析】.y'=+(Inz)"•(/D’

=［『柿2了•土*+(1皿尸♦(e1"，')'

lnr

=e-'n<'^Tlndna)+1♦工•x+(IM)'•十%•21or•—

likrxJ.r

=(lnz)‘•1n(hir)+七］•工庙'+2(1皿尸］•工心I

65.

【精析】所求直线的方向向量为§=2-41={9,7,101.

3-1-2

又直线过点故所求直线方程为：气力=与学=宗■.

66.

【精析】由题意知，抛物线在点(1,0)处切线的斜率/=>'-2x1=-2.

().0)I(1.0)

故切线方程为y-o=-2(N—1)，即y=一2才+2,易知切线马》轴交点为(0,2),故

所求面积

S=[—-2/+2-(1-)Jdx=f(x2—2/。l)dx=

JoJo□o3

67.

因为一元函数z=.J,

"2上_V

则三=e'+xex•-r,

oxX

mwc--xex-yex,

Dx

2ZZ2Z

贝卜芋+yex=xex—yex+>铲=xex.