北师大版 八年级数学 平面直角坐标系的应用

>平面直鬲生圻系应用>

骸课前删忒

【题目】课前测试

在平面直角坐标系xOy中，已知A(l,-5),B(4,2),C(-1,0)三点.

(1)点B关于x轴对称点B，的坐标为，点C关于y轴对称点C'的坐标

为；

(2)求(1)中的SBC的面积.

【答案】(4,-2);(1,0);号.

【解析】

(1)根据"关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数"和"关于y

轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数"求解；

(2)先判断出AC'^x轴，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解.

解：(1)B(4,2)关于x轴对称点B'的坐标为(4,-2);

C(-1,0)关于y轴对称点U的坐标为(1,0);

故答案为:(4,-2)；(1,0);

(2)-.A(1,-5),C'(1,0),

・•・AU，x轴且AG=0-(-5)=5,

点B'至I」AC'的也巨离为4-1=3,

所以,AAB'C'的面积=/x5x3=^.

本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的

坐标规律：

(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.

【难度】3

【题目】课前测试

如图，在平面直角坐标系中，一个方格的边长为1个单位长度，三角形MNQ是

三角形ABC经过某种变换后得到的图形.

(1)请分别写出点A与点M,点B与点N,点C与点Q的坐标；

(2)已知点P是三角形ABC内一点，其坐标为(-3,2),利用上述对应点

之间的关系，写出三角形MNQ中的对应点R的坐标.

【答案】

(1)A(-4,1),M(4,-1);

B(-1,2),N(1,-2);

C(-3,4),Q(3,-4);

(2)(3,-2).

【解析】

(1)利用平面坐标系分别得出各点坐标进而得出答案；

(2)利用(1)中各点横纵坐标关系得出都关于原点对称，进而得出答案.

解：(1)如图所示：A(-4,1),M(4,-1);

B(-1,2),N(1,-2);

C(-3,4),Q(3,-4);

(2)由(1)得，三角形MNQ中的对应点R的坐标为:(3,-2).

此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出各点坐标关系是解题关键.

【难度】2

鹦而识史行

适用范围北师大版，八年级

知识点概述：本章重点部分是平面直角坐标系的应用。了解，掌握平面直角坐标

系点的运动，以及根据坐标作图，相关的计算等

适用对象：成绩中等偏下的学生

注意事项熟练掌握作图以及建立坐标系

重点选讲：

①坐标画图

②面积问题

③探究以及找规律

如出林锂

益如诅精,if1:平面直南生柠系的应用

/\I,,

:呻，应用:

在平面直角坐标系中的问题有，作图题目，计算面积的题目，还有一些探究的

题目，找规律的题目，这类题目比较爰考查，而且有时间比较难，因此需要多

加练习。

坐标作图题

I

I

计算面积题

阅读探究题

骸俐峻啸第

题型1:作图

每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形在建立平面直角坐标系后尸ABC

的顶点均在格点上，

①写出A、B、C的坐标.

②以原点0为对称中心，画出AABC关于原点0对称的^AiBiCi,并写出Ai、

Bi、Ci.

【解析】

①根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标；

②首先根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标

符号相反得到A、B、C的对称点坐标，再顺次连接即可.

解：①A(l,-4),B(5,-4),C(4,-1)；

②Ai(-1,4),Bi(-5,4),J(-4,1),如图所示:

此题主要考查了点的坐标，以及关于原点对称的点的坐标，关键是掌握关于原点

对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.

【难度】2

【题目】题型1变式练习1：作图题

已知点0(0,0),D(4,2),E(6,6),C(2,4)

(1)在平面直角坐标系中，描出各点并依次连接各点得到四边形OCED.

(2)按要求绘制下列图形，并说明发生了哪些变化？

①横坐标不变，纵坐标都乘以-1；

②纵坐标不变，横坐标都乘以-1.

%

,8一七

■22一

1

-4-S-2-LL-r34

LIT

r2L

-I

r:

—

-3r-L

-l

■l

4夕

--k

-l

」I

5-

二r

—

・-

6—

二r

卜■

・

【答案】

1-8—r

D\

-7-6-5-4-3-2

【解析】

(1)根据平面直角坐标系找出各点的位置，然后顺次连接即可；

(2)①根据网格结构找出点C、E、D横坐标不变，纵坐标都乘以-1的对应点

Ci、Ei、Di的位置，再与点。顺次连接即可；

②根据网格结构找出点C、E、D纵坐标不变，横坐标都乘以-1的对应点C2、

、的位置，再与点。顺次连接即可.

E2D2

解：(1)四边形OCED如图所示；

(2)①四边形OJEiDi如图所示;

②四边形OC2E2D2如图所示.

本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握网格结构准确找出对应点

的位置是解题的关键是解题的关键.

【难度】3

【题目】题型1变式练习2:作图题

如图，A(3,2),B(-3,2),C(3,0),

(1)在直角坐标系中，画出点A,B,C关于原点的对称点A,B"C';

(2)点A(3,2)关于原点的对称点为A'(),

点B(-3,2)关于原点的对称点为B，(),

点C(3,0)关于原点的对称点为C'();

(3)你发现点P(x,y)关于原点的对称点P'().

【答案】

A为（-3,-2）

B为（3,-2）

C为（-3,0）;

P为（-x,-y）

【解析】

根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，从而得

出A',B"CP,在图象上画出各点的位置.

解：(1)如图：

(2)根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数,

.•.点A(3,2)关于原点的对称点为A为(-3,-2),

点B(-3,2)关于原点的对称点为B'为(3,-2),

点C(3,0)关于原点的对称点为C'为(-3,0);

(3)根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，

点P(x,y)关于原点的对称点P'为(-x,-y).

-S-

4-

B.；4一

，C..：_..C，.

-5-4-3-1<12345

-j.Av

•-门・

A'-3，B'

-4

-6---

本题主要考查了平面内两点关于关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反

数，该题比较简单.

【难度】3

题型2:平面直角坐标系的面积问题

在直角坐标平面内，已知点A(3,0)、B(2,3)，点B关于原点对称点为C.

(1)写出C点的坐标；

(2)求SBC的面积.

【答案】C(-2,-3);9

【解析】

(1)根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案；

(2)分别计算出AAOB和AAOC的面积，再求和即可.

解：(1)B(2,3)关于原点对称点为C(-2,-3);

19

(2),.'SiAOB=yX3X3=],

19

SiAoc=yX3X3=—,

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，以及三角形的面积，关键是掌握掌握

点的坐标的变化规律.

【难度】3

【题目】题型2变式练习1:平面直角坐标系的面积问题

如图，AABC的三个顶点的坐标分别是A(2,3),B(4,0),C(-2,0)

求AABC面积。

【答案】9

【解析】

根据题目的图可知：AABC的高就是点A的纵坐标，即3

△ABC的底边可知是BC,BC的长度根据两点间的距离可知

即，4-(-2)=6

所以AABC的面积=9

【难度】2

【题目】题型2变式练习2:平面直角坐标系的面积问题

已知SBC的坐标分别是A(1,2),B(-4,0),C(-1,-2)，点A、0、C在

一条直线上，求AABC的面积

【答案】SBdDEF.

【解析】

A(1,2),B(-4,0),C(-1,-2),点A、0、C在一条直线上

所以根据画图可知，该三角形的面积可以分成2各部分来求面积

即：S^ABC=SAABO+S△OBC

求2个小的三角形的面积，先做出高

即：AABO的高是AE,同理AOBC的高是CF

AE=A点的纵坐标=2,CF=C点的纵坐标的绝对值=2

0B=4

所以SAAB0=4,S^0BC=4

所以SMBC=8

题型3:探究与找规律

直角坐标系中，已知点P(-2,-1),点T(t,0)是*轴上的一个动点.

(1)求点P关于原点的对称点P'的坐标；

(2)当t取何值时，WTO是等腰三角形?

【答案】(2,1);,卷，脏，4.

【解析】

(1)根据坐标关于原点对称的特点即可得出点P’的坐标,

(2)要分类讨论，动点T在原点左侧和右侧时分别进行讨论即可得出当t取何

值时，WTO是等腰三角形.

解：（1）点P关于原点的对称点P'的坐标为（2,1）;

（2）0P-在，

（a）动点T在原点左侧，

当TN=P'0=百时，APTO是等腰三角形，

二点丁1（7^,。），

（b）动点T在原点右侧，

①当T2O=T2P'时，MT。是等腰三角形，

得：T2（f.0）,

②当T3O=P'O时，WTO是等腰三角形，

得：点丁3（赤，0）,

③当T4P'=P'O时，APTO是等腰三角形，

得：点T4（4,0）.

综上所述，符合条件的t的值为飞，/，遥，4.

本题主要考查了平面直角坐标系中坐标关于原点对称的特点，难度适中.

【难度】3

【题目】题型3变式练习1:探究与找规律

如图，在平面直角坐标系内，一动点从原点。出发，按向上，向右，向下，向右

的方向不断的移动，每次移动一个单位，得到点A（O，I），A2（I』），4（I,O）4（2,O）,...

那么点4M（n为自然数）的坐标是（）（用n表示）

【答案】（2n,l）

【解析】

分析，先计算出n是1,2,3的时候，再找规律

当n=l时，4（2,1）

当n=2时,4（4,1）

当n=3时,%（6，1）

点的横坐标是2n

由此找出规律发现，人田（2〃,1）

【难度】3

【题目】题型3变式练习2:探究与找规律

一个质点，在第一象限及X轴,Y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动至（K0,1）,

然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0,0）至I」（0,1）到（1,1）到（1,0）.…，

且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在的位置的坐标是（）

【答案】（5,0）

【解析】

根据质点运动的规律解答。

解，质点每秒移动一个单位，（0,0）到（0,1）到（1,1）到（1,0）.…，用的时

间分别是1,2,3,到（2,0）时用4秒，到（2,2）用6秒，至到0,2）用8秒,

到（0,3）用9秒，到（3,3）用12秒,到（4,0）用16秒,依次类推,可知

【难度】3

【题目】兴趣篇1

如图所示,ABllCDllx轴，且AB=CD=3,A点坐标为（-1,1），若C（l,

-1）:

（1）写出B,D坐标；

（2）你发现A,B,C,D坐标之间有何特征？

【答案】B(2,l),D(-2,-1).

A,C关于原点对称，B,D关于原点对称.

【解析】

(1)根据平行于x轴的直线的特点、以及AB=CD=3得出B,D坐标；

(2)对比ABCD的坐标得出他们之间的特征.

解：(l)；ABllCDllx轴，A点坐标为(-1,1),点C(l,-1),

点B、D的纵坐标分别是1,-1,

•.AB=CD=3,

•.B(2,1),D(-2,-1).

(2)-.A(-1,1),c(i,-1)纵坐标互为相反数,

,・关于原点对称，

同理，B,D关于原点对称.

本题主要是考查平行于x轴的直线的特点，培养学生的观察能力.

【难度】3

【题目】兴趣篇2

若点A的坐标是(a,b)且a、b满足、/^§+b2+4b+4=0,求点A关于原点。

的对称点A'的坐标.

【答案】(-3,2)

【解析】

本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点A(a,b),关于原点的对称点

是(-a,-b),根据口+b2+4b+4=0，则a-3=0,b+2=0,即可解得a

与b的值，求点A关于原点对称的点A'的坐标就是把横纵坐标都变成相反数.

解：,••Va=3+b2+4b+4=0,

.•・G+(b+2)2=0.

•••V^3>0,(b+2)2>0,

.,.a-3=0,b+2=0,

即a=3,b=-2,

.・•点A的坐标是(3,-2).

又•••点A和点A'关于点O对称，

根据关于原点对称的点坐标的关系，

•・•点A关于原点O的对称点A'的坐标为(-3,2).

本题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题.并且本

题又考查了任何数的平方以及二次根式的值是非负数，解题的关键在于求出a、

b的值，难度适中.

【难度】3

【题目】备选题目1

如图，在长方形OABC中，0为平面直角坐标系的原点，点A(a,0),点C(0,

b),且a,b满足石M+M-6|=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以

每秒2个单位长度的速度沿着0-C-B-A-0的路线移动

(l)a=(),b=()，点B的坐标是()

(2)当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标

(3)在移动过程中，当点P到X轴的距离为5个单位长度时,求点P的移动时

间

【答案】4,6,(4,6);BC的中点，(2,6);2.5秒，5.5秒

【解析】

根据二次根式和绝对值的非负性可知，a=4,b=6

看图可知B(4,6)

(2)因为P点以每秒2个单位长度的速度沿着0-C-B-A-0的路线移动

当点P移动4秒时，一共走的路线长是8,

因为0C=6,BC=4,所以此时P点的位置使BC的中点

坐标为(2,6)

(4)当点P到X轴的距离为5个单位长度时分2种情况

当P在0C上时：t=5+2=2.5秒

当P在AB上时：因为0C+BC+AB=16,

又因为距离X轴5个单位长度

所以P点走了16-5=11

所以t=l”2=5.5

【难度】3

【题目】备选题目2

.如图的围棋盘,放在某个平面直角坐标系内，白棋②坐标(-7,-4),白棋④

【解析】

根据已知两点的坐标建系，然后确定其他的坐标

解，由白棋②坐标(-7,-4),白棋④的坐标(-6,-8)得出

棋盘的Y轴是右侧的第一条线，横坐标从右往左依次为-1,-2