中考初中数学复习考点精讲第35讲图形的平移

第35讲图形的平移

【考题导向】

这部分内容重点考查图形的平移变换的性质，与图形变换相关的计算和逻辑推

理证明等.常与三角形和四边形结合，在网格背景设置试题，题型丰富，多为

选择题、填空题和解答题.

主要内容涉及到：1.理解平移的概念，并掌握其性质.2.能按平移变换的要

求作出简单的图形.3.运用图形的平移变换进行图案设计.

【考点精练】

考点1：图形平移的判断

【典例】在6X6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法

中，正确的是（)

A.向下移动1格B.向上移动1格

C.向上移动2格D.向下移动2格

【同步练】在由相同的小正方形组成的3X4的网格中，有3个小正方形已经涂黑，请你再

涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形中，其中两个可以由另外两个平移得到，则还需

要涂黑的小正方形序号是（曲

A.①或②B.③或④C.⑤或⑥D.①或⑨

①②③

④⑤

⑥⑦⑧⑨

考点2：图形平移的性质应用

【典例】如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm,再向右平移2cm,得到正方

形A'B'C'I）',此时阴影部分的面积为____cm2.

【同步练】如图，将边长为2个单位长度的等边AABC沿边BC向右平移1个单位长度得到

△DEF,则四边形ABFD的周长为个单位长度.

D

A.

考点3:有关平移变换的作图

【典例】(2018广西南宁)(8.00分)如图，在平面直角坐标系中，已知AABC的三个顶点

坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).

(1)将aABC向下平移5个单位后得到△ABG,请画出△ABG；

(2)将AABC绕原点0逆时针旋转90°后得到△AzB©,请画出△A/G；

(3)判断以0,A”B为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)

块

【同步练】(2017宁夏)在平面直角坐标系中，^ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3),B

(1,1),C(5,1).

(1)把AABC平移后，其中点A移到点A(4,5),画出平移后得到的△ABC：

(2)把△ABG绕点由按逆时针方向旋转90°,画出旋转后的AA?B2G.

考点4：平移变换在几何图形中的综合应用

【典例】已知在AABC中，AB=AC,将AABC沿BC方向平移得到ADEF.

⑴如图1,连结BD,AF,则BDAF；(填或“=”)

(2)如图2,M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC,DE,DF于点G,H,N,

连结BH,GF,求证：BH=GF.

图1图2

【同步练】(浙江金华，8,3分)一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线,

BA与CA的夹角为仇现要在楼梯上铺一条地毯，己知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面

积至少需要（)

444、

——(4+——)

A.sin。米2B.cos。米2C.tan。米2D.(4+4tan6)米2

【真题演练】

1.如图，将方格纸中上面的图形平移后和下面的图形拼成一个长方形，那么正确的平移方

法是（。

A.先向下移动1格，再向左移动1格

B.先向下移动1格，再向左移动2格

先向下移动2格，再向左移动1格

D.先向下移动2格，再向左移动2格

3.如图，0是正六边形ABCDEF的中心，下列图形：△（），口,AODE,AOEF,△OAF,△OAB,其

中可由△OBC平移得到的有（)

B、2个C、3个D、4个

4.如图，在△ABC中,BC=10,将△加（：沿BC方向平移得到AA，B'C',连接AA',若A'B'

恰好经过AC的中点0,则AA，的长度为.

A'

5.如图所示，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH,HG=24cm,WG=8cm,WC=6cm,

求阴影部分的面积为cm2.

II

6.如图，在长方形ABCD中，AB=10cm,BC=6cm,若此长方形以2cm/S的速度沿着A-B方向移动,

则经过,S,平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24.

DH

E3

7.如图，绐正五边形的顶点依次编号为1,2,3,4,5.若从某一顶点开始，沿正五边形

的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次‘移位".如:

小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3f4f5fl为第一次“移位”，这

时他到达编号为1的顶点；然后从1-2为第二次“移位”.若小宇从编号为2的顶点开始,

第2012次“移位”后，则他所处顶点的编号是,

8.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方

向平移到4DEF的位置，AB=10,DH=4,平移距离为6,求阴影部分的面积.

9.已知如图，射线CB〃OA,ZC=Z0AB=100°,E、F在CB上，且满足NFOB=NAOB,0E平

分NCOF。

(1)求NE0B的度数;

(2)若平行移动AB,那么NOBC:N0FC的值是否随之变化？若变化，找出变化规律；若不

变，求出这个比值；

(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使NOEC=NOBA?若存在，求出其度数；

若不存在，说明理由。

10.如图，矩形ABCD中，AB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，

得到矩形ABCD,第2次平移将矩形ABGD,沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形

人四&灰…，第n次平移将矩形A-.山„-沿A-B1的方向平移5个单位,得到矩形A„B„C„D„

(1)求ABi和ABz的长.

(2)若AB.的长为56,求n.

11.（四川省成都市，25,4分）如图，面积为6的平行四边形纸片5中，AB=3,ABAD

=45°,按下列步骤进行裁剪和拼图.

第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线被剪开，得到△48〃和△式»纸片，再将劭

纸片沿45■剪开（£1为面上任意一点），得到△/跖和△/应；

第二步：如图②，将△/旗纸片平移至△&不处，将步纸片平移至△8（%处；

第三步：如图③，将■.纸片翻转过来使其背面朝上置于△必加处（边政与加重合，丛PQM

与△比尸在加的同侧）.将△及力纸片翻转过来使其背面朝上置于处（边PR与勿重合，

△&邵与△仇K在a'的同侧）•

则由纸片拼成的五边形PMQRN中,对角线网，的长度的最小值为.

4+B+.4+

图①，图②+

【拓展研究】

如图1,水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线

上，AB=BC=6cm,0D=3cm,开始的时候BD=1cm,现在三角板以2CR/S的速度向右移

动.

(1)当B与0重合的时候，求三角板运动的时间；

(2)如图2,当AC与半圆相切时,求AD；

(3)如图3,当AB和DE重合时，求证：CI^-CG•CE.

图1图2图3

第35讲图形的平移（解析版）

【考题导向】

这部分内容重点考查图形的平移变换的性质，与图形变换相关的计算和逻辑推

理证明等.常与三角形和四边形结合，在网格背景设置试题，题型丰富，多为

选择题、填空题和解答题.

主要内容涉及到：1.理解平移的概念，并掌握其性质.2.能按平移变换的要

求作出简单的图形.3.运用图形的平移变换进行图案设计.

【考点精练】

考点1：图形平移的判断

【典例】在6X6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法

中，正确的是（）

A.向下移动1格B.向上移动1格

C.向上移动2格D.向下移动2格

解析：结合图形按平移的定义判断.

N

M

图①图②

【同步练】在由相同的小正方形组成的3X4的网格中，有3个小正方形已经涂黑，请你再

涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形中，其中两个可以由另外两个平移得到，则还需

要涂黑的小正方形序号是（9

A.①或②B.③或④C.⑤或⑥D.①或⑨

①②③

④⑤

⑥⑦⑧⑨

解：根据题意可涂黑①和⑨,

涂黑①时，可将左上和左下两个黑色正方形向右平移1个单位即可得；

涂黑⑨时，可将左上和左下两个黑色正方形向右平移2个单位、再向下平移1个单位可得;

故选：D.

【点评】1.平移前后图形的形状、大小都不变，平移得到的对应线段与原线段平行且相等，

对应角相等.

2.判断时选择某一特殊点，验证其平移情况即可.

考点2：图形平移的性质应用

【典例】如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm,再向右平移2cm,得到正方

形A'B'C'D',此时阴影部分的面积为__cm2.

【分析】阴影部分为长方形，根据平移的性质可得阴影部分是长为6,宽为4,让长乘宽即

为阴影部分的面积.

【解答】：•••边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm,

.•.阴影部分的长为8-4=4m,

•••向右平移2cm,

.•.阴影部分的宽为8-2=6cm,

阴影部分的面积为6X4=24cm2.

故答案为：24cm2.

【同步练】如图，将边长为2个单位长度的等边aABC沿边BC向右平移1个单位长度得到

△DEF,则四边形ABFD的周长为一个单位长度.

【解答】：根据题意，将边长为2个单位的等边aABC沿边BC向右平移1个单位得到aDEF,

故四边形ABFD的边长分别为AD=1个单位，BF=3个单位，AB=DF=2个单位：

故其周长为8个单位.

故答案为：8.

【点评】平移的基本性质：1.平移不改变图形的形状和大小；2.经过平移，对应点所连的

线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相

等.

解题方法主要有：1.对应点的距离等于平移的距离；2.利用“平移前后的两个图形全等”

“平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等”是解决平移问题的基本方法.

考点3：有关平移变换的作图

【典例】（2018广西南宁）（8.00分）如图，在平面直角坐标系中，己知aABC的三个顶点

坐标分别是A（1,1）,B（4,1）,C（3,3）.

（1）将aABC向下平移5个单位后得到△ABG,请画出△ABG；

（2）将AABC绕原点0逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△ABC?；

（3）判断以0,A.,B为顶点的三角形的形状.（无须说明理由）

【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出MB,.。的坐标，然后描点即可得到△ABC为

所作；

（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点Az、B?、G,从而得到△AzBC,

（3）根据勾股定理逆定理解答即可.

【解答】解：（1）如图所示，△ABG即为所求：

1

(2)如图所示，2c2即为所求：

(3)三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OAi=JI而■RT7,A,B=725+9=734，

即0B2+0AJ=AIM，

所以三角形的形状为等腰直角三角形.

【同步练】(2017宁夏)在平面直角坐标系中，^ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3),B

(1,1),C(5,1).

(1)把aABC平移后，其中点A移到点川(4,5),画出平移后得到的△AJ3C;

(2)把△AB3绕点儿按逆时针方向旋转90°,画出旋转后的AAzBzG.

【分析】(1)根据图形平移的性质画出平移后得的△ABC即可;

(2)根据图形旋转的性质画出旋转后的B£z即可.

【解答】解：(1)如图，△ABG即为所求；

【点评】1.画平移图形，必须找出平移方向和距离，其依据是平移的性质.2.求一个图形

旋转后、平移后的图形上某点的坐标，一般应把握三点：一是根据图形平移、旋转的性质;

二是利用图形的全等关系；三是点所在象限的符号.

考点4：平移变换在几何图形中的综合应用

【典例】已知在△ABC中，AB=AC,将△ABC沿BC方向平移得到ADEF.

（1）如图1,连结BD,AF,贝I]BDAF；（填或“="）

（2）如图2,M为AB边上一点,过M作BC的平行线MN分别交边AC,DE,DF于点G,H,N,

连结BH,GF,求证：BH=GF.

ADA.D

【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得NABC与NACB的关系，根据平移的性质，可得

AC与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与

性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案.

解析：（1）=

,、MGAMHNDN

（2）MN〃BF,AAMG^AABC,ADHN^ADEF,—=—>===，，MG=HN,MB=NF.在△BMH

BCABEFDF

'BM=FN,

和aENG中，"NBMH=/FNG,...△BMHg/\FNG（SAS）,，BH=FG

_MH=NG,

【同步练】（浙江金华，8,3分）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线,

BA与CA的夹角为，现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面

单位：米

-4-------

（第8题图）

积至少需要（

A.sin。米2B.cosd米2c,tan。米2D.(4+4tan6)米2

【分析】首先根据三角函数及AC的长冲算出楼梯的高BC,再根据平移思想计算出所应需要

的地毯的长度，最后计算所需要原地毯的面积.

【解析】由正切函数的概念知BC=tanA-AC=4tan。，根据平移思想可以将所需地毯的长度转

化为AC与BC的长，所以所需地毯的面积为（4+4tan9）Xl=（4+4tan。）米2,故选择D.

【点评】图形的平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到

的，这两个点是对应点.连结各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等.

【真题演练】

1.如图，将方格纸中上面的图形平移后和下面的图形拼成一个长方形，那么正确的平移方

法是（。

A.先向下移动1格，再向左移动1格

B.先向下移动1格，再向左移动2格

C.先向下移动2格，再向左移动1格

D.先向下移动2格，再向左移动2格

解：要将方格纸图中上面的图形平移后和下面的图形拼成一个长方形，正确的平

移方法可通过图象得出;

先向下移动1格，再向左移动1格,

B、也没有拼成长方形:

拼成的图形是长方形.所以C选项正确.

故选：C.

2.（2017毕节）把直线y=2x-1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为（)

A.y=2x-2B.y=2x+lC.y=2xD.y=2x+2

【分析】根据“左加右减”的函数图象平移规律来解答.

【解答】解：根据题意，将直线y=2x-1向左平移1个单位后得到的直线解析式为:

y=2(x+1)-1,即y=2x+l,

故选B.

3.如图，0是正六边形ABCDEF的中心，下列图形：ZXOCD,AODE,AOEF,AOAF,A0AB,其

中可由平移得到的有()

C、3个D、4个

解：4OCD方向发生了变化，不是平移得到:

△ODE符合平移的性质，是平移得到;

△OEF方向发生了变化，不是平移得到;

△OAF符合平移的性质，是平移得到；

△OAB方向发生了变化，不是平移得到.

故选：B.

4.如图，在aABC中，BC=10,将△ABC沿BC方向平移得到B'C',连接AA',若A'B'

恰好经过AC的中点0,则AA'的长度为一.

【分析】根据平移的性质知：A'B'〃AB,根据中位线定理得出B'是BC的中点，从而

得出BB'的长度，得出平移距离，根据平移的性质得出AA'的长度。

【解析】•.•将aABC沿BC方向平移至4A'B'C'的对应位置，

.'.A'B'〃AB,

•；0是AC的中点，

...B'是BC的中点,

.*.BB'=10+2=5,

故AABC平移的距离为5,所以AA'=5,

故答案为：5.

5.如图所示，把直角梯形ABCI)沿AD方向平移到梯形EFGH,HG=24cm,WG=8cm,WC=6cm,

求阴影部分的面积为cm2.

II(i

【解答】•.•直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EEGH,

；.HG=CD=24,

.,.DW=DC-WC=24-6=18,

VS阴影部分+S梯形EDWF=S图形DHGW+S梯形EDWF,

阴影部分=5梯形EDWF=-(DW+HG)XWG=-X(18+24)X8=168(cm2).

22

故答案为168.

6.如图，在长方形ABCD中，AB=10cm,BC=6cm,若此长方形以2cm/S的速度沿着A-B方向移动,

则经过_________________S,平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24.

DHCG

A£BF

解：设X秒后，平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24cm2,则

6(10-2x)=24,

解得x=3

即3秒时平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24cm-

7.如图，绐正五边形的顶点依次编号为1,2,3,4,5.若从某一顶点开始，沿正五边形

的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是凡，就走几个边长,则称这种走法为一次“移位”.如：

小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3-4-5fl为第一次“移位”，这

时他到达编号为1的顶点；然后从1-2为第二次“移位”.若小宇从编号为2的顶点开始,

第2012次“移位”后，则他所处顶点的编号是

'3

【解析】：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3f为第一次

“移位”，这时他到达编号为1的顶点：然后从1-2为第二次“移位”，

.•.3-4-5-1~2五个顶点五次移位为一个循环返回顶点3,

同理可得：小宇从编号为2的顶点开始，四次移位一个循环，

第10次“移位”，即连续循环两次，再移位两次，即第十次移位所处的顶点和第二次移位所

处的顶点相同，故回到顶点3.故答案为：3.

8.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方

向平移到△DEF的位置，AB=10,DH=4,平移距离为6,求阴影部分的面积.

【分析】根据平移的性质得出阴影部分的面积=梯形ABEH的面积，然后根据梯形面积计算方

法计算即可。

【解析】：由题意知阴影部分的面积二梯形ABEH的面积

根据平移的性质知DE=AB=10

又,；DH=4

.,.I1E=6

•.•平移距离为6

.\BE=6

,阴影部分的面积=梯形ABEH的面积=(AB+EH)BE4-2=(10+6)X64-2=48.

9.已知如图，射线CB〃0A,ZC=Z0AB=100°,E、F在CB上，且满足NF0B=NA0B,OE平

分/COF。

(1)求NE0B的度数;

(2)若平行移动AB,那么NOBC:N0FC的值是否随之变化？若变化，找出变化规律；若不

变，求出这个比值；

(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使N0EC=N0BA?若存在，求出其度数；

若不存在，说明理由。

CEFB

解析：根据两直线平行，同旁内角互补求出/AOC,然后求出NE0B=-ZA0C,计算即可得

2

解；

(2)根据两直线平行，内错角相等可得NAOB=/OBC,再根据三角形的一个外角等于与它不

相邻的两个内角的和可得/OFC=2NOBC,从而得解；

(3)根据三角形的内角和定理求出NC0E=NA0B,从而得到OB、OE、OF是NA0C的四等分

线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.

试题解析：(D:CB〃OA,

，NA0C=180°-ZC=180°-100°=80°,

：0E平分NCOF,

AZC0E=ZE0F,

VZF0B=ZA0B,

.,.ZE0B=ZE0F+ZF0B=-ZA0C=-X80°=40°；

22

(2)VCB/70A,

.".ZA0B=Z0BC,

ZF0B=ZA0B,

.".ZFOB=ZOBC,

ZOEC=ZFOB+ZOBC=2ZOBC,

.,.ZOBC：ZOFC=1：2,是定值；

(3)在△COE和aAOB中，

VZOEC=ZOBA,ZC=ZOAB,

；./COE=NAOB,

，0B、0E、OF是NAOC的四等分线,

ZCOE--ZA0C=-X80°=20°,

44

/.Z0EC=1800-ZC-ZC0E=180°-100°-20°=60°，

故存在某种情况，使/OEC=NOBA,此时NOEC=NOBA=60°.

10.如图，矩形ABCD中，AB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，

得到矩形ABCD,第2次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形

A2B2GD2…，第n次平移将矩形An一£"一山…沿A…B.-的方向平移5个单位，得到矩形ARC同

（n>2）.

?D,C5C。DnCq.,Cn

1

么，，B，28：/n8M3n

（1）求ABi和AB?的长.

（2）若AB“的长为56,求n.

【分析】Q）根据平移的性质得出AA产5,A也=5,A2BI=AB-AIA2=6-5=1,进而求出ABI

和AB?的长。（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而得出AB“=（n+1）X5+1求出n

即可.

【解答】：（1）VAB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩

形ABCD,

第2次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形/LBzGDz…，

.'.AAi=5,AiAz=5,A2BI=AB-AIA2=6-5=L

ABI=AAI+AIAZ+A2BI=5+5+1=111）

；.AB2的长为:5+5+6=16o

（2）：AB尸2X5+1=11,AB2=3X5+1=16,...,/.AB„=（n+1）X5+l»

.,.由AB“=（n+1）X5+l=56解得:n=10»

11.（四川省成都市，25,4分）如图，面积为6的平行四边形纸片4质中，46=3,ABAD

=45°,按下列步骤进行裁剪和拼图.

第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线即剪开，得到△/劭和△及力纸片，再将△/加

纸片沿四剪开（£为初上任意一点），得到跖和△月庞.：

第二步：如图②，将△/!应'纸片平移至△叱处，将△?（应1纸片平移至△比'C处；

第三步：如图③，将纸片翻转过来使其背面朝上置于△尸QM处（边尸0与加重合，/\PQM

与4DCF任理的同侧）.将△声e纸片翻转过来使其背面朝上置于△/«¥处（边PR与8c重合，

△必*与△/?（%在6c的同侧）.

则由纸片拼成的五边形PMQRN中,对角线4V的长度的最小值为

尸+

F+

【分析】本题考查/折叠及最小值问题，解题的关键是抓住平移变换为全等变换，再结合垂

线段最短即可求得MX的最小值.根据题意可知aADE丝Z\BCG丝Z\PRN,AABE^ADCF^APQM,

可得/卜1［十+/口［川=/D人8=/口03=45°,且PM