2023北京初三二模数学汇编：圆章节综合

2023北京初三二模数学汇编

圆章节综合

一、单选题

1.（2023•北京石景山•统考二模）如图，AB为。的直径，C,。为。上的点，BC=DC.若

NCBD=35。，则—/曲的度数为（）

A.20°B.35°C.40°D.70°

2.（2023•北京昌平•统考二模）船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立

两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正

方形网格，点48,。,2尸,加,\是网格线交点，当船航行到点尸的位置时，此时与两个灯塔间的角度

（/MPN的大小）一定无触礁危险.那么，对于A8,C,£＞四个位置，船处于时，也一定无触

礁危险.（）

A.位置AB.位置8C.位置CD.位置O

二、填空题

3.（2023•北京朝阳•统考二模）如图，48是.。的直径，CD是O的弦，ZBACM00,则NAQC=

4.（2023•北京房山・统考二模）如图,点A,B,C在OO上，BC=6,NBAC=60。，则。O的半径为

A

三、解答题

5.（2023•北京朝阳•统考二模）在平面直角坐标系xO），中，对于图形〃给出如下定义；将M上的一点

（。力）变换为点，”上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为M称N为阳的变换图

形.

（1）①点（3,0）的变换点的坐标为；

②直线，=x+l的变换图形上任意一点的横坐标为；

（2）求直线y=2x+l的变换图形与y轴公共点的坐标：

（3）已知。。的半径为1,若。的变换图形与直线y=入+2々/*0）有公共点，直接写出k的取值范围.

6.（2023・北京大兴・统考二模）已知：如图，线段4B.

求作：ABC,使得AC=BC,且NACB=30。.

11

AB

作法：①分别以点A和点B为圆心，A8长为半径画弧，两弧在A3的上方交于点O,下方交于点E,作直

线DE；

②以点。为圆心，AD长为半径画圆，交直线于点C,且点C在AB的上方；

③连接AC，BC.

所以他C就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接相＞，BD,AE,BE.

'：AD=BD,AE=BE,

OE是线段AB的垂直平分线，

AC=.

AB=BD=AD,

...△Afi。为等边三角形，

NAPS=60°.

,AB-AB,

.'.ZACB=-ZADB（）（填推理的依据），

，ZACB=30°.

7.（2023.北京房山・统考二模）在平面直角坐标系xS，中，有图形W和点P,我们规定：若图形W上存在

点M、N（点M和N可以重合），满足尸M=PN,其中点P，是点P关于x轴的对称点，则称点P是图形W

的“对称平衡点”.

⑴如图1所示，已知，点A（0,2）,点5（3,2）.

①在点片（0，1），鸟（1，-1），A（4,1）中，是线段A8的“对称平衡点”的是；

②线段AB上是否存在线段AB的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的“对称平衡点”的横坐标的范

围，若不存在，请说明理由；

（2）如图2,以点A（0,2）为圆心，I为半径作A.坐标系内的点C满足AC=2,再以点C为圆心，1为半

径作C,若〉C上存在，A的“对称平衡点”，直接写出C点纵坐标"的取值范围.

8.（2023•北京顺义•统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P,直线/与图形G.连接点尸与图形G

上任意一点。，取PQ的中点〃，点M关于直线/的对称点为M所有的对称点组成的图形W称为图形G

关于点P及直线/的“对应图形

已知点A（4,0）.

（1）对于直线/:x=a,若直线y=-2x-4关于点A及直线I的“对应图形”与直线y=-2x-4的交点在》轴的

上方，求。的取值范围；

⑵已知点8（0,4）,C（T,0）,0（6,4）,直线/:x=—1,eT的圆心T（f,O）,半径为2.若存在eT关于点。

及直线/的“对应图形”与的边有交点，直接写出f的取值范围.

9.（2023・北京西城・统考二模）在平面直角坐标系》。丫中，给定圆C和点P,若过点尸最多可以作出％条不

同的直线，且这些直线被圆C所截得的线段长度为正整数，则称点尸关于圆C的特征值为女.已知圆。的

半径为2,

(1)若点M的坐标为(1,1),则经过点M的直线被圆。截得的弦长的最小值为，点M关于圆0

的特征值为:

(2)直线y=x+6分别与x,)，轴交于点A,B,若线段A8上总存在关于圆。的特征值为4的点，求6的取

值范围；

(3)点T是x轴正半轴上一点，圆T的半径为1,点尺S分别在圆。与圆T上，点R关于圆T的特征值记

为r,点S关于圆0的特征值记为s.当点T在x轴正轴上运动时，若存在点心S,使得r+s=3,直接写

出点T的横坐标，的取值范围.

10.(2023•北京昌平•统考二模)用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦

用《近世代数》和《群论》证明是不可能的.但对于特定度数的己知角，如90。角，45。角等，是可以用尺

规进行三等分的.下面是小明的探究过程：

已知：如图1,ZAOB=90°.

求作：射线O&OG三等分/AQ8.

作法：如图2,

①在射线上取任一点C；

②分别以O,C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在OB上方交于点E,在。8下方交于点F,连接CE；

③作直线EF交OC于点O；

④以。为圆心，。。长为半径作圆，交线段CE于点G(点G不与点C重合)；

⑤作射线OGOE.

所以射线OG,OE即为所求射线.

(1)利用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明.

证明：.：OE=OC=CE,

:._COE为等边三角形.

:.ZCOE=60°.

ZAOE=ZAOB-ZCOE=30°.

OC为。的直径，

/.ZCGO=。.

又OE=OC,OG1EC,

.•.OG平分/EOC()(填推理的依据).

4cOG=ZEOG=-ZCOE=30°.

2

・•.ZAOE=/COG=ZEOG.

即射线OE,OG三等分/AOB.

参考答案

1.A

【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得/C4B=NCBD=35。，根据直径所对的圆周角为90度可得

ZADB=9O°,进而可得NCBA=90°-ZCAB=55°,ZABD=NCBA-NCBD=20。.

【详解】解：如图，连接A/）,AC,

BC=DC，NCBD=35。,

ZCAB^ZCBD=35°,

AB为。的直径，

ZADB=90°,

ZCBA=90°-ZC4B=55°,

ZABD=NCBA-ZCBD=55°-35°=20°,

故选A.

【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半

圆（或直径）所对的圆周角是直角.

2.B

【分析】先利用格点找出△加a「的外接圆的圆心，再判断哪个点在△MNP的外接圆上即可.

【详解】解：如图，

由网格可知，点。是MN和MP垂直平分线的交点,

即点。是△MNP的外接圆的圆心,

OM=OB=y/\2+^=>/5>

二点M在公MNP的外接圆上,

ZMPN=ZMBN,

船处于位置B时，也一定无触礁危险,

故选B.

【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外心，勾股定理与网格问题等，解题的关键有两个，一是找出

△MZVP的外接圆的圆心，二是掌握同弧所对的圆周角相等.

3.50

【分析】连接BC,则由圆周角定理可以得到NADC=NABC,再根据直径所对的圆周角是90度，得到

ZACB=90°,再根据/BAC=40。即可求解.

【详解】解：如图所示，连接BC

NADC=NABC

..•AB是直径

，ZACB=90°

■:ZBAC=40°

：.ZABC=180o-90°-40o=50°

二ZADC=ZABC=50°

故答案为：50.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键在于能

够熟练掌握相关知识进行求解.

4.21

【分析】根据己知条件以及图形，可知本题考查圆对应知识点，包括圆周角、圆心角、垂径定理，可构造

辅助线用垂径定理以及角度关系解答本题.

【详解】连接OB、OC并作OFLBC,如下图所示

,同弧BC

二/BOC=2/BAC=120。（同弧所对的圆心角是圆周角的二倍）

XVOF1BC（垂径定理），BC=6

，FB=FC=3,ZFOC=60°

/.0F=V3，0C=2下（30。特殊直角三角形三边之比为1:2:布）

二半径为2G.

故答案为：2—.

【点睛】本题简要综合了圆的基础知识点，且有60。特殊角度的提示，加之求半径常用垂径定理，故辅助

线不难做出，构图完成题目即可解决.

5.⑴①（3,3）；②T；

⑵（。，-2）；

（3）-且AwO.

【分析】（1）①按定义操作即可得出答案；

②设直线y=x+1的图像上任意一点坐标为（X,x+1）,然后按定义操作即可得出答案；

（2）设直线y=2x+l的图像上任意一点坐标为（a,2a+l）,求出该点的变换点坐标，根据横纵坐标之间的

关系求出直线y=2x+l的变换图形的解析式即可得出答案：

（3）设。。上点的坐标为（x,y）,可得x?+y2=l,然后求出其变换点到原点的距离为近,可得；。的变

换图形是以原点为圆心，半径为正的圆，再根据直线丫="+2%恒过点（-2,0）,求出直线y=H+2后与

O的变换图形相切时的“值即可.

【详解】（1）解：①按定义操作：3-0=3,3+0=3,

.•.点（3,0）的变换点的坐标为（3,3）,

故答案为：（3,3）；

②设直线y=x+l的图像上任意一点坐标为（x,x+l）,

按定义操作：x-（x+l）=-l,

直线y=x+l的变换图形上任意一点的横坐标为-1,

故答案为：-1；

（2）解：设直线y=2x+l的图像上任意一点坐标为（a,为+1）,

则该点的变换点坐标为（-。-1,3〃+1）,

.（x=-aT①

令《,

[y=3〃+1②

①x3+②得：3x+y=-2,

**.y=—3x—2,

当x=0时，y=-3x-2=-2,

・・・直线尸2x+l的变换图形与y轴公共点的坐标为（0,-2）；

（3）解：设。O上点的坐标为（x,y）,

♦.•0。的半径为1,

•••点(x,y)到原点的距离为1,

22

/.x+y=\f

：。。上的点(x,y)的变换点坐标为(x-y,x+)，)，

.,•其变换点到原点的距离为：=yjx2-2xy+y2+x2+2xy+y2=^2(x2+y2)=0,

二。的变换图形是以原点为圆心，半径为我的圆，

又•••直线y=H+2k=4(x+2),

直线y=H+2A恒过点(-2,0),

如图，点A(—2,0),直线y=H+2后与y轴交于点C,

当直线广区+2々与1。的变换图形相切于点8时，可得480=90。，

•*-AB=^OA1-OB2=A/4^2=V2>

二AB=OB,

二4?。是等腰直角三角形，

ZBAO=45°,

二AOC是等腰直角三角形，

:.OA=OC=2,

...此时直线y=依+2人过点(0,2),

：.2=2k,

解得：k=l,

同理，当直线y="+2左与O的变换图形相切于X轴的下方时，可得A=-1,

...若。的变换图形与直线y=H+2k/*0)有公共点，上的取值范围为TVZM1且女工0.

【点睛】本题考查了新定义，一次函数的应用，圆的基本概念，切线的性质，两点间的距离公式，勾股定

理等知识，正确理解变换图形的定义，能够准确表示出变换点的坐标是解题的关键.

6.(1)见解析

(2)BC,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

【分析】（1）尺规作图，使得W8=60。，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，画的

ZACB=30°.

（2）根据尺规作图的画法，得到垂直平分线上的点到线段两段距离相等.

【详解】（D解：根据题意尺规作图如下.

（2）解：BC-,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

【点睛】本题考查了尺规作图做线段的垂直平分线线，以及一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一

半的知识点，其中能够根据画法画出图形是解决本题的关键.

7.⑴①片，R；②不存在，理由见解析

（2）04券42

【分析】（1）①根据对称平衡点的定义进行判断即可；②不存在，根据对称平衡点的定义进行讨论可得结

论；

（2）画出图形进行判断即可.

【详解】（1）①如图所示，点Q（l,2）,EQ=M『B=回,则＜'。=勺8;RQ=MP；B=M,则

P、Q=P；B，

...线段A8的“对称平衡点”的是4，P、；

故答案为：A，P”

②不存在

设P为线段AB上任意一点，则它与线段AB上点的距离最小值为0,最大值为期和所中的较大值；显然

PA<3,PB<3

点尸关于x轴的对称点为P，它到线段AB上任意一点的距离24

即若M,N是线段AB上的任意两点，PM<3,PNN4,不存在=

...线段AB上不存在线段AB的“对称平衡点”；

(2)如图，由②可知线段MN上不存在0A的“对称平衡点”，O上存在，/的“对称平衡点”，

V>1(0,2),0(0,0)

A0<yc<2

【点睛】本题考查了对称平衡点.两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，

学会取特殊点特殊位置解决问题.

8.

(2)-14-2^<f<-14+2>/2^-6-2^</<-6+2^

【分析】(1)根据题意可得a-2,0),*0,T),根据新定义可得，点A(4,0)与直线-2x-4上的任意一点

所成的线段的中点，即为直线EF',设直线£广关于/：x=a的对称直线与x轴的交点为H,直线

y=-2x-4关于点A及直线/的“对应图形”与直线y=-2x-4的交点在x轴的上方，则只需要点“在点E

左侧，据此可得xH<xE,即可求解.

(2)根据题意，先画出图形，由eT的圆心T&0),半径为2,e7关于点。及直线/的“对应图形”，

。(6,4),根据新定义求得中点坐标，再关于％=-1对称，根据直线与圆的位置关系，即可求解.

【详解】(I)解：如图所示，直线>=-2X-4,

当x=0时，y=-^,当y=o时，x=-2,

则E(-2,0),*0,-4),

则点4(4,0)与直线-2x-4上的任意一点所成的线段的中点，即为直线6尸，

E'(l,0),F(2,-2)

设直线EF'的解析式为y=A(x-l),

.\-2=^(2-1)

解得：k=-2

，直线EF'的解析式为y=-2x+2,

设直线E尸关于/:x=a的对称直线与x轴的交点为H,

直线y=-2》-4关于点A及直线/的“对应图形”与直线y=-2\-4的交点在x轴的上方，则只需要点H在

点E左侧，

因此修<4,

***xH<-2

又.”"年

22

\\/1

(2)eT的圆心T(r,O),半径为2,e7关于点。及直线/的“对应图形，,。(6,4),

则T'是以(竽，等)为圆心，半径为1，

作r关于x=-l的对称的圆1则此圆是以卜(-5,2)为圆心的圆，

半径为1,

B

4—1——1——>4—J——1——1------1——1——1———•——

\TC)OAx

•.,点A(4,0),8(0,4),C(TO),

二直线8C的解析式为y=x+4,当y=2时，x=-2,

直线A8的解析式为y=-x+4,当y=2时，x=2,

•••M与ABC的边有交点，

当(M在8c的左侧，与BC相切时，〃到(-2,2)的距离为北，

-(0+2)=一；-5,

解得：r=2五-6，

当M在BC的右侧，与BC相切时，”到(-2,2)的距离为近

一(2-应)=-(-5,

解得：f=-6-2点，

当<，M在A8的左侧，与AB相切时，〃至IJ(2,2)的距离为近

2—"JT.=-----5；

2

解得：f=_14-2&，

当在A3的右侧，与相切时，〃至IJ(2,2)的距离为近

2+>/2=-----5；

2

解得：f=74+20，

结合图形可知：-14-2应4f4-14+2应或-6-2应4f4-6+2点.

【点睛】本题考查了几何新定义，一次函数的性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握新定义，中点坐标公

式以及轴对称的性质是解题的关键.

9.⑴2近，3

(2)8的取值范围是有484#或-#4分4-JL

(3)2--<Z<—+1

22

【分析】(1)设经过点M的直线与，。交于E、F两点，过点。作OHLEF于H,连接OW,OE,利用

垂径定理得到瓦'=29,由勾股定理可得当。，最大时，E”最小，即此时£尸最小，求出0闻=应，再

由O//4OM,得到当点，与点例重合时，。“有最大值应，即可求出EF的最小值为2忘，则被圆。截

得的弦长取值范围为2忘4x44,再由被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆。截得的弦长为4的弦

只有1条，可得点M关于圆。的特征值为3；

(2)根据题意得，关于圆。的特征值为4的所有点都在以。为圆心，G为半径的圆周上，分当〃>0时

和当b<0时，两种情况讨论即可求解；

(3)由于同一平面内，对于任意一点。，经过0、。的直线与圆。截得的弦(直径)都为4,则点。关

[r=1Ir=2

于圆。的特征值不可能为0,由此可得方工0,则1。或।；经过点S且弦长为4（最长弦）的直线

[5=2[5=1

有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，由（2）可知点S一定在以。为圆心，以也为半径的圆上，

2

同理点R一定在以T为圆心，以巫为半径的圆上，则当满足以。为圆心，2为半径的圆与以7为圆心，

2

立为半径的圆有交点，且同时满足以。为圆心，立为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时f

22

的值符合题意，由此求解即可.

【详解】（1）解：设经过点M的直线与，。交于E、F两点，过点。作。〃，防于H,连接OM,OE,

EF=2EH,

在RtAOEH中，由勾股定理得EH=>JOE2-OH2=^4-OH2，

.•.当。“最大时，EH最小,即此时EF最小，

•••点M的坐标为。，1）,

,,OM=42+r=-J2，

又,：OH&OM,

.••当点”与点M重合时，OH有最大值

，此时EH有最小值，4-（0）2=应，

二E尸的最小值为2忘

•••过点M的直线被圆。截得的弦长的最大值为4（直径），

二被圆。截得的弦长取值范围为2忘4x44，

，被圆O截得的弦长为正整数的只有是3或4,

•.•被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条,

.••点M关于圆。的特征值为3,

故答案为：20,3；

（2）解：设点G是圆。的特征值为4的点，

由（1）可知经过一点G且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3的直线有2条,

♦.•特征值要保证为4,

•••经过点G且弦长为2的直线有且只有1条，

经过点G的直线被圆0截得的弦长的最小值为2,

...由（1）可知，关于圆。的特征值为4的所有点都在以。为圆心，白为半径的圆周上,

•••直线y=x+6分别与x,），轴交于点A,B,

A（-b,O）,B（0,b）,

•*.OA=OB=h,

：.ZOBH=45°

当。>0时，

♦.•线段AB上总存在关于圆0的特征值为4的点，

...线段48与以。为圆心，6为半径的圆有交点，

当线段AB与以。为圆心，代为半径的圆相切时，将切点设为“，连接。”，则Oa=6，

/.OB=y/2OH=娓,

将以。为圆心，白为半径的圆与y轴正半轴的交点记为用，则

当线段AB与以。为圆心，代为半径的圆相交，且过点用时，可得a=6，

A5/3<&<7