2020-2021学年高中数学单元检测05 解三角形中的求范围问题（解析版）

02解三角形中的求范围问题

一、必备知识：

1.两角和差公式：

(l)sinAcosB+cosAsinB=(2)sinAcosB-cosAsinB=

(3)cosAcosB-sinAsinB=(4)cosAcosB+sinAsinB=

2.两倍角公式：

(l)sin2A=(2)sin2A=(3)cos2A=

3.基本不等式公式：

(1)«2+从2(a,hGR),当且仅当a=b时取等.

(2)a+b>oy答2®b〉0)，当且仅当a=8时取等.

4.辅助角公式：

asin0+bcos0=,其中tan0=

5.三角形的基本性质：

(1)大边对大角，大角对大边

(2)AABC中，因为A+B+C=所以有：

sin(A+B)=,cos(A+B)=,tan(A+3)=

自检自测：

1.(l)sin(A+B)(2)sin(A-B)(3)cos(A+B)(4)cos(A-B)

小Leos2A/c\l+cos2A

2.(l)2smAcos4A(2)一-一(3)一--

3.(1)2必(2)2\[ab,ab4.[a?+b?sin(6+e)，—5.(2)乃，sinC，-cosC,-tanC

二、题组：

题组一：

例1.⑴已知A/WC的内角A,5,C的对边分别为a,b,c,C=署，求cos2A+cos(A-B)的取值范围.

【答案】（0,6]

2TC7T

【详解】因为C=W乃，A+B=-,B=--A,

333

cos[24一

所以cos2A+cos（A-3）=cos24+=-cos2A+-sin2A=V3s:inf2A+y

22

又♦..（）<g<2A+（<万百sin（2A+W）e（0,,6]

（2）已知A/IBC的内角A,3,C的对边分别为“也c,C=2A,求cos2A+cos（A-B）的取值范围.

【答案】f—1,—'j

【详解】因为C=2A,A+B+C=»,B=〃-3A,

所以cos2A+cos（A-8）=cos2A+cos（—乃+4A）=cos2A+cos4A=-2cos22A+cos2A+1

又•.,（）<2A<7r,.'.—1<cos2A<1cos2A+cos（A-5）e

（3）在锐角A48c中，已知A=23,a力分别为角的对边，则色的取值范围是—

b

【答案】（夜,6）

【解析】•.•锐角AABC中，A=2B,.•.。=乃一（4+8）=万一33,

71

0<2B<-

2

TT大口乃c兀6cXa2RsinAsinAsin2B

由4O<B<-MJ<cosfi<->-=---------=------=--------=2cosBe

26422b2/?sinBsinBsinB

7t

0〈》一38〈一

2

TFb+c

（4）已知锐角△ABC的内角A,3,C的对边分别为a,b,c,A=-,求二^的取值范围.

3a

【答案】（百,2]

【详解】由正弦定理得：把=g1ng+smC因为A+8+C=乃,且4=生，所以。=也—B代入上

asinA33

2>3

sinB+sinC^-fijsinB+—cosB>/3sin13+；

1£________I322sin[8+z,

式化简得:=)_2

asinAsinAsinA

7tcc7t

0<B<-0<B<—

227t7t

又A43C为锐角三角形，则有《乙=><n—<Bn<一

八2乃八762

0<C<-0<B<—

2[32

所以任<8+四〈竺，则有正<sin(B+三]W1,即百<生=42.

3632I6ja

(5)锐角AABC的三边分别为4c,a=»cosB,则£的取值范围是()

b

A.[1,3)B.—,2C.D.[1,2)

【答案】D

【详解】由a=2Z?cosB得sinA=2sinBcos5=sin25，又A3e(0,不)所以A=2B或A=万一23.

71

0<B<-,

2

TTTT7T

0<2B<-,解得土<台(生

因为AA5c是锐角三角形，所以：当A=23时，，

264

0<兀-(2B+8)<,，

•2(11)sinCsin(7-35)sin3B

所以sin5De,M时一=-----=-1------=3-4sin2Be(l,2).

\42JbsinBsinBsinB

当4+23=4时，B=C,这时£=1.故选：D.

h

练习：

1.在AABC中，C=3B,则£的取值范围为()

b

A.—B.(0,3)C.(1,V3)D.(1,3)

、22,

【答案】D

n

【详解】因为C=3B,且A+B+C=»,所以4+48=不，即A=;r-4Be(0,%),所以Be0,,所

sinCsin38_sin2BcosB+cos2BsinB

以£==2cos2B+COS2JB=2COS2B-I-1G（1,3）,选D

bsin3sinBsinB

Af}

2.在锐角三角形ABC中,A=3,则一的取值范围是

AC

【答案】（0,0）

CA兀八4兀

0<A<一0cAe一

22

71717171

【详解】锐角△ABC中，，0<B<-,即，0<B<-,：.—<B<—

2242

TT

0<C<-

[2[2

"rrmmABACABsinCsin（乃一28）sin2B2sinBcosB_

由正弦定理二一=-一，可得——=-----=—-------人=-------=----------------=2cos」

sinCsinBACsinBsinBsinBsinB

Q-<fi<-,.-.0<cos5<—,.,.2cosBe（0,V2）,即空e（0,夜）.故答案为：（（）,行）.

422''AC

3.在锐角三角形ABC中，已知A=2C，则3的范围是（）

C

A.（0,2）B.（72,2）C.（V2,>/3）D.（6,2）

【答案】C

【详解】色=丝4=任2c=2cosC,又A+8+C=万，A=2C，锐角三角形ABC,

csinCsinC

（5

一<C<一,故cosCe,—,故.故选；C.

64（22）c

4.若AABC的面积为左（/+,2—廿），且NC为钝角,£的取值范围是（

a

A.（0,2）B.（0,君）C.（V3,+oo）D.（2,+oo）

【答案】D

222222

【详解】e•*a+c-b=laccosB<••S^ABC=^-（a+c-b）=^-x2accosB=^acsinB，

tanB=y/3，BE.（0,TT）/.B=一,・二A+C=—，又C为钝角，二・。<A<—»

336

.•.0<tanA（正，1>6,由正弦定理得c_sinC_.（笄一A）_geosA+gsinA

asinAsinAsinA

=—.——+—xV3+-=2.故选：D.

2tanA222

b

5.在锐角△A6C中A=28,B,。的对边长分别是b,c,则的取值范围是（）

b+c

11、J_223、

A.B.C.D.

453,2535a

【答案】B

(也、

【详解】在锐角AABC中，NA=2NB•••()<A<],()<C<5,:.N8e(30°,45°),cosBe3

2'27

COS2BG_L1,而sinC=sin(;r-A-3)=sin(4一35)=sin33，又因为

2,4

sin3B=sin(B+2B)=sinBcos28+cos8sin23=sin5(2cos2B-l)+2sinBcos2B,

所以sin3B=4cos28sin8—sinB=4(l-sin2B)sin8-sin8=3sinB-4sin3B,

bsinBsinBsinB1

所以，选B.

b+csinB+sinCsin5+sin(九一35)sinB+3sinB-4sin3B4cos2B

「sinC

6.在锐角AABC中，角A,6,C所对的边分别为a,b,c,若A=2C,则^~上的取值范围为（

a

1回V3j_

A.B.C.D.12

2)耳2T'26'V

【答案】B

csinCsin2Csin2CsinC1人

【详解】由正弦定理得:--------=---------=-tanC.

asinAsin2C2cosC2

71

0<A<生0<2C<-

22

TT

・・・△ABC为锐角三角形,0<C<-,即0<C<-,解得：-<c<-

2264

汽

0<B<-0<^--3C<-

22

rsinC

tanCG,1,/.—tanCG即------的取值范围为.故选B.

2a

题组二:

TT

例2.⑴已知△ABC的内角A,5,C的对边分别为a,b,c,B=-,b=2,求边长a的取值范围.

3

7FbOsinA2sinA4省.

【详解】•:B=H,b=2,由正弦定理，有a=------=---------=------sinA,

3sinAsinBsinB4一3

3

7t券，...O<A<1,O<sinA<l,...OvaW空，即a的取值范围为(o,怨］

'：B=-,A+B=

3

(2)已知△ABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,若Ab=2,且24BW2，求边a的取值范

343

围.

【答案】［2,«］

2sin

TTab2sinAf_6_V3

【详解】-：h=ZA=-,由正弦定理有a=------

3sinAsinBsinBsinBsinBsinB

A—<sinB<2<<3<V6,即a

432

(3)已知锐角AABC中，NA=2N8,4c=4,则BC的范围为

【答案】［夜,46)

BCAC

【详解】因为锐角△A6C中，NA=2N8，AC=4,所以，由正弦定理可得:

sinAsinB

A八7C

A+B>—3B*

4sinA4sin232

：3C=%2=±g=8cosB,乂AABC为锐角三角形，所以《,即〈

sinBsinB

2B=A*2B吟

所以看<8<(,因此*<cosB(乎，所以BC=8cosBe(4上,46).故答案为：(4夜,4间.

(4)在三角形ABC中，内角A,氏C的对边分别是a,b,c,且4=工,。=6,求2b-c的取值范围.

3

【答案】(-百,2君).

h_c_a_

【详解】*.*A=—,a=>/3,由正弦定理得sinBsinCsinAG

D---

2

R2万

所以b=2sin民c=2sinC=2sin(B+y),O<B<—,

*/0<B<—<3一看v泉一g<sin(3一令<1,—百<2h—c<2G，

2人—c的取值范围是(—6,26).

(5)在锐角AABC中，内角A,B,。的对边分别为a,b,c,且a=J3,A=2,求AA8C的周

3

长的取值范围.

【答案】(3+右,3臣]

【详解】设AABC的外接圆半径为，,则”而嚷=2，­=W©

2

-zx-1(、0<B<一

=2sinB+sin\--B\\=2y/3sin\B+-\,由题意［2,：.-<B<­,

.〔3JJ〔6J0<女__B62

I32

’3<8+菅<1，二$沅(5+看)6号,1,.,./j+ce(3,2^],

AABC周长的取值范围是(3+道,36]

(6)半径为A的圆外接于△ABC,且2/?卜足24-5皿2。)=(、&一。卜缶6,若R=2,则△ABC面积

的最大值为.

【答案】2+V3

【详解】因为27?卜诂2A-sin2C)=(Ga-。卜in8所以由正弦定理得：a2-c2=(ga-"b,

BPc2^a2+b2-y/3ab>所以由余弦定理可得：cosC=a'+b'~C'=—>又Ce(O,%),

2ab2

故C=S.由正弦定理得：a=2/?sinA,b=2Rsin8=2Hsin[w5〃—4j,

6

所以S=L“OsinC=R?sinA]=R2sinA--cosAd■—^sinA

216J(22

—R~—sin2A+(1—cos2A)——R2sin2A-^-\+^-R2>

(44J2I3)4

所以当A得时，S最大，Smn=^R\

若R=2,则AABC面积的最大值为2+百.故答案为：2+J8.

练习:

1M4BC内角A,8,C的对边分别为a/,c,若A=工力=2且工<84工，则边c取值范围为.

343

【答案】[2,石+1]

2sinC万一B]

【详解】；〃=2,A=代，由正弦定理有"_=—匚.•“=&£=―匕——J=1四匣+1=正+1,

3sinBsinCsinBsinBsinBtanB

'：—<B<—,：.1<tanB<A/3«■—<—<1«­2<-^-+1<^+l,2<c<V3+l,

433tanBtanB

即c的取值范围为[2,、方+1].

2.若△ABC为锐角三角形，且A=60°,AB=2陋，则边长BC的取值范围是______.

【答案】(3,6)

00

【详解】•.•△ABC为锐角三角形，A=60°,B+C=120°.•.0<JB=120°-C<90°,.-.30<C<90

BCADrAV3I

由正弦定理：——=-----，得“/IB-sinA^23又300<C<90°,—<sinC<l,

sinAsinCBC=——=--~r-=——2

sinCsinCsinC

I3

/.1<—<2/.3<——<6,即3VBe<6故答案为：(3,6)

sinCsinC

3,在线曲6c中，a=2,3=2A,则〃的取值范围是()

A.(2,273)B.(20,2胸C.(20,4)D.(26,4)

【答案】B

【详解】由题得。=乃一3—4="一34,因为三角形是锐角二角形,

0C<AA<一兀

2

KAKV2.V3

所以《0<5=2A<—,—vA<—,—<cosA.v—

26422

71

0<。=万一3A<一

2

j11G

又-----=--------------=------------=-----Z?=4cosA.所以(20,25/5).选B.

sin3sinAsin2A2sinAcosAsinA

4.已知3c的内角A，B,C所对的边分别为〃，b,c,若b=6，c2=2tzsinC，则。的最大值

为

【答案】3

【详解】由c?=2zsinC，可得csinC=2sinAsinC,因为sinCwO,所以c=2sinA,

由余弦定理得，a2=h24-c2-2bccosA=3+4sin2A-2^3x2sinAcosA

=3+2(1—cos2A)-2-\/3sin2A=3+2—4—cos2A+-^-sin2A=5—4sin(2A+q),

因为A£(0,7i),所以24+w，所以当24+乙二^—，即A二」•时，有

v76<66J623

5—4sin(2A+^|=5+4=9,此时/取得最大值9.所以a的最大值为3.故答案为：3.

5.在△ABC中，a=5A=60>求弘+2c的最大值....

【答案】2M

a_b_c

【详解】由正弦定理sinA一6一~sinsinC<得。=2sin8,c=2sinC.

T

(拒i、

3/?+2c=6sinB+4sinC=6sinB+4sin(120°-B)=6sin8+4——cos6+—sinB

[22,

=6sinB+2>/3cosB+2sinB=8sinB+2gcosB=-Js2+(2V3)2sin(8+0)=2>/19sin(5+9),

其中tan0=岑，所以(38+2。)11.=2招.故答案为：2M.

6.钝角ZMBC中，若4=拳|BC|=1,则2或|4B|+3|AC|的最大值为.

【答案】V10

【解析】在钝角ZL4BC中，若4=?，|6C|=1,由正弦定理可得阴=等=笑=亲=四.

411s\nAsinCs\nB空

2

：,\AB\=V2sinC,\AC\=y/2sinB：.2y/2\AB\+3|4C|=4sinC+3esinB=4sinC+3V2sin(C+—)=

sinC+3cosC=V10sin(C+<p),其中tanp=3>tanCe(0,>,.C+<p&(g,3.,.当C+<p=轲，

2^2\AB\+3|4。的最大值为旧故答案为国.

7.在锐角小钻。中，内角A、B、C的对边分别是"c,若/+%(。一百。)=1,c=\,则&a—匕的

取值范围是.

【答案】(1,73)

【详解】因为/+好一屈)=1,c=\,故心=注+廿—拒ab.

所以cosC="+"一L=1吆=走.乂锐角△AB。,故。=工.

2ab2ab26

由正弦定理，sinAsinBsinC•兀，

sin—

6

所以6a一力=2（gsinA—sin8）=2\/3sinA-sinf—一A

2A/3sinA----sinA--cosA—sinA--cosA=2sin

22

又锐角△A5C,故〈

故6a-b=2sin1G（1,也）.故答案为：(1,6)

8.在锐角三角形AA3C中，4B、C成等差数列，b=l,则a+c的取值范围(

A.（1,2]B.（0,1）C.（石,2]

【答案】C

7t

【详解】・.・人B、C成等差数列所以A+C=23,又4+B+C="所以3=1

a_b_c_l_2G

OsinAZ?sinC

由正弦定理得sinAsinfisinC5/33.=a+c=---------1----sinA+sinC)

sinBsinB

~2

"9+雪/"

=[sinA+sin(万一A一3)]=V3sinA+cosA=2sin(A+-^-

33I3j

rr27r717T7T7T7127r

♦.•AA8C是锐角三角形，所以0<A<2且0<C=，-A<2,所以a<A<2,所以—<A+上<——

23262363

等<sin(A+看上1G<2sin(A+不)V2即也<a+c<2故选：C

7T

9.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,且2A+C=—,〃=4sin3,则a+c的取值范

2

围是（）

。（区

B.0,|2D.25/2,—

2

【答案】C

TT7TTT

【详解】•.•2A+C=—>2A且0<4(不，:.OVA<一且C=——2A,

242

由正弦定理得—=rJ="一=4,

sinAsinCsinB

，a+c=4sinA+4sinC=4sinA+4sinC=4sinA+4sinH-2A)=4cos2A+4sinA

=4(1—2sin2A)+4$加A=—8sin2A+4sinA+4=—8(sinA—,,/0<A<^,

.八•4夜.，•41丫，9〃弁9]「

..0<sinA<—，..a+c=-8sinA—H—G2J2,一.故选：C.

2I4,212

10.在锐角MBC中，角A8,C的对边分别为a,b,c,若返+空=也吧,^sing+cosB=2,则a+c

bc3sinC

的取值范围是

【答案】［1,V3

cosBcosC2^sinA33十人-»»,-rr-yr-.—.Cl~4~C~_b~b~+d~_C~

【解析】AABC中,---1----=-----根据正余弦定理得到----------+----------

hc3sinC2abe2ahc

—=―—―解得b=——；VcosB+sinB=2>^,AcosB=2->/3sinB,sin2B+cos2B=sin2B+(2-^3sinB)

be3c2

2-4sinJB-45/3sinB+4=l,.*.4sinJB-45/3sinB+3=0,解得sinB二——；从而cosB=~，B-—

223

cihc27r27r

由正弦定理得----=-----=-----=1,.*.a=sinA,c=sinC；由A+B+On得A+C=---,/.C=-----A,且

sinAsinBsinC33

27r红-A)=sinA+sin女27r6A

0<A<Aa+c=sinA+sinC,=sinA+sin(cosA-cos---sinA=-sinA+---cosA=

T:33322

兀兀71_5)・一71

6sin(A+一),,「OVAV---,—VA+—V—，..—1<sin(A+—)W1,A—<^sin(A+-)

636662626

＜百，.・0的取值范围是(|,6

.c",sid,

11.在AABC中，三个内角A、B、。所对的边分别为a、b、c,a=2,m=

22J

n=|cos—,sin—|,且用•万=4，则8+c的取值范围为__________

I22)2

【答案】(2国］

【解析】：玩=(-cos4,sin4],n=\cos—,sin—।,/.sin2--cos2—,

I22JI22J2222

Acos2--sin2-=cosA=--,：.A=—.在AABC中，由正弦定理得“一=-^=’一=4,

2223sinBsinCsinA

/.b=4sinB,c=4sinC,.*./?+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin4sin(B+yL

Jt71TC27r

0<B<-,+—,...26<4sin(5+?)«4..../+c的取值范围为(2班,4].

3333

12.设锐角AABC的三个内角A.3.C的对边分别为n.0.c,且c=l,A=2C，则AABC周长的取

值范围为()

A.(0,2+72]B.(0,3+肉C.(2+0,3+百)D.[2+0,3+拘

【答案】C

0八<AA<—"0<2C<-0<Y

22

njr〃八万

【详解】：AABC为锐角三角形，且A+B+C=;r,.10<8<—n0<乃一。一2C<〈n一<c<一,••

2263

n

0<C<0<C<-0<C<-

222

—<C<—,—<cosC<—,又；A=2C,，sinA=sin2c=2sinC・cosC,

6422

b

又c=1,一,，Q=2COSC,由

sinAsinCsinBsinC

,csinBsin3CsinC-cos2C+cosC-sin2C.2-1

即Q11b=---------=--------=-----------------------------------=4cosC-l,

sinCsinCsinC

；・Q+〃+C=2cosC+4cos2C-1+1=4cos2C+2cosC»令t=cosC，则/E（—，^■），

22

又；函数丁=4r+2/在（空,券）上单调递增，...函数值域为（2+0,3+6）,故选。

13.AA6c中2血卜in2A-sin2c）=（a-3sinB,AAbC外接圆半径为0.则△A6C的周长的最大

值.

【答案】3娓

【详解】因为sin2C）=（叱6）sin8,AABC外接圆半径为企,

所以（20）（sin2A-sin2C）=（a-/?）2^2sinB，所以"人一）？，BPa2+b2—c2=ab^

2»22i

所以cosC——又CG（O,〃），所以C=工，则△A5C的周长

/=a+6+C=2夜（sinA+sinB+sinC）=2夜卜inA+sin（与一A）+s呜）=2而in（A+?）+遥，

_.、ict广17V.7C一广.1•।i4、,1

因为0<A<—,所以一VAH—<—，所以77<sinA+—4I,

3666216）

所以AABC的周长的最大值为3#，故答案为：376

1T3

14.在AA6c1中，内角AB,C的对边分别为a,〃,c,。为AA6c1的外心，A=一,OBOC=——，则

32

△A6C周长的取值范围是.

【答案】（6,9].

【详解】设AA6c的外接圆半径为R,A=-,则2A=NBOC=」，

33

一___c3

又OB,OC=R?©osNBOC=-Q,则R=g,

-27r一

又a+〃+c=26(sinA+sinB+sinC)=26sinB+sin(——B)+3=6sin(5+乡)+3,

_3J6

又8£(0,至)，B+),则a+〃+c£(6,9],△ABC周长的取值范围是(6,9].

15.已知a,"c分别为锐角AABC的三个内角A,3,C的对边，a=2,且(2+卜版114-$帅)=("供出(7,则

AA8C周长的取值范围为一—.

【答案】(2+2月,6]

【解析】由已知及正弦定理得(a+〃)(a—b)=(c—b)c,整理得6+c?-足=历，由余弦定理得

,h24-c2-6721,，乃।十bca4V3

cos/4=--------------——，Z0<A<yrf•>.A———.illi上5幺定，”.得-----=-----=-----=-----,

2bc23sinBsinCsinA3

二三角形的周长为a+Hc=2+怨sinB+华sinC=4sin(5+.1+2,"e停3二

sin^B+^e等,1.二乙钻。周长的取值范围为周长的取值范围为(2+26,6].

16.在△ABC中，角力、B、C的对边分别为a、b、c,已知c=2,6/=4sinAsinC,且。〉c,则ZiABC

面积的最大值为.

【答案】0+1

r\1

【详解】根据正弦定理：，一=4sinC=」一=——，解得sin2C=—,Ce((),〃)，

sinAsinCsinC2

故sinC=—，a>c,故c=：,—20sinA.

24a

S=­acsinB=2^2sinAsinB=2^2sinAsinf—+A|=2sin2A+2sinAcosA

2【4)

=1-cos2A+sin2A=0sin(2A-7)+l,当A=时有最大值为夜+1.故答案为：72+1

22»2

17.在锐角三角形ABC中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c,且，厂+厂一少=2cosA，c=4,

lc2-be

△A5c面积的取值范围是()

A.(26,8@B.(2,8)C.(273,8]D.126,8)

【答案】A

【详解】=“+：----—=2cosA.由余弦定理得2"：cos'=2cos4,acosB+bcosA=2ccosA,由

2c2-he2c2-be

正弦定理得sinAcos5+sin58sA=2sinCeosA,即sin(A+B)=2sinCcosA=sinC,XCe(0,TT),

IJI

sinCwO,・・・cosA=—,・・・A£(0,»),・,・A=一，三角形为锐角三角形,

23

/.B—-C<—,C>—,即S^ABC==bcstnA=Cb,

326162)AABC2

由正弦定理-----=-得---，-4sinB2\/3cosC+2sinC_2>/3十之，

sinBsinCb=-----

sinCsinCtanC

•.•小仁，3.•.tanC>*，2<8<8,5*£(26,8我.故选：A.

18.在锐角ZVLBC中，内角A,6,C的对边分别为a,"c,若B=°,b=4,S为A4BC的面积，则

4

S+8>/2cosAcosC的取值范围为.

【答案】(0,6]

【详解】由正弦定理—=-^―得S='bcs\nA=14•sinAsinC=80sinAsinC