无锡金桥实验学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）

第35页/共35页江苏省无锡市金桥实验学校2022—2023学年上学期九年级10月月考数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）1.下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义与一般形式判断选项即可．【详解】A、当时才是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、是分式，故此选项不符合题意；C、此选项符合题意；D、有两个未知数，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，一般形式为：．2.在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且，，则△ABC的形状是()A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.不能确定【答案】C【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值得出∠A及∠C的度数，继而可判断△ABC的形状．【详解】解：由题意得，，，故∠A=60°，∠C=60°，故可得∠B=60°，故△ABC是等边三角形．故选：C．【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值，难度一般．3.若△ABC∽△DEF，其面积的比为4：9，则△ABC与△DEF的周长比为（）A.2：3 B.16：81 C.3：2 D.4：9【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，即可求出周长之比．【详解】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积的比为4：9，∴△ABC和△DEF的相似比为2：3，∴△ABC与△DEF周长的比为2：3，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，相似三角形的周长之比等于相似比．4.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A.12 B.9 C.15 D.12或15【答案】C【解析】【分析】利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解【详解】解：∵x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，则x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x＝3或x＝6，当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．故选：C．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论．5.若关于x的方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是()A.m≤2 B.m≤ C.m≤2且m≠1 D.m＜2【答案】A【解析】【分析】分为两种情况，①方程为一元一次方程，②方程为一元二次方程，再求出即可．【详解】解：有两种情况：①当m-1=0，即m=1时，方程为一元一次方程2x+1=0，此时方程有解，解为x=-；

②当m-1≠0时，方程为一元二次方程，此时当△=22-4（m-1）×1≥0时，方程有实数根，

解得：m≤2且m≠1，

综合上述：当m≤2时，关于x的方程（m-1）x2+2x+1=0有实数解，

故选A．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的定义、根的判别式等知识点，能够进行分类讨论是解此题的关键．6.如图，的顶点A在y轴上，B，C两点都在x轴上，将边向右平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为O，线段交AC于点，若，则点D的坐标为（）A.（3，3） B.（4，4） C. D.（3，4）【答案】D【解析】【分析】作，垂足为F，，垂足为G，根据相似三角形判定与性质得，根据平移性质和勾股定理得，的长，由此可得答案．【详解】解：如图，分别作，垂足为F，，垂足为G，，，，和有公共角，，，根据平移的性质可知，设，则x，在中：，即，或（舍去），，．故D点的坐标为（3，4）．故选：D．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定与性质，坐标与图形变化——平移，掌握相似三角形的性质定理是解决此题关键．7.如图是简化的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，AB为助滑道，BC为着陆坡，着陆坡倾角为，A点与B点的高度差为h，A点与C点的高度差为120m，着陆坡BC长度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，求出BF=120-h，再根据正弦的定义可得结论．【详解】解：过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，如图，∵A点与C点的高度差为120m，且A点与B点的高度差为h，∴BF=120-h又∴故选：A【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，掌握正弦的含义是解答本题的关键．8.如图，在中，，，记，，，则下列关于，，的关系式正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，，与间的距离为h，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出，，的关系．【详解】解：设，，与间的距离为h，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．9.如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，可得AD⊥BC，BD=BC=6，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得，进而即可求解．【详解】解：AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=BC=6，∴AD=，过点O作OF⊥AB，∵BE平分∠ABC，∴OF=OD，∵∴，即：，解得：OD=3，∴tan∠OBD=，故选A．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义，推出，是解题的关键．10.如图，A（，1），B（，4），C（，4），点P是边上一动点，连接，以为斜边在的右上方作等腰直角，当点P在边且运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】如图，由题意，点P在的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是．利用相似三角形的性质求出，，，利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，即可解决问题．【详解】解：如图，由题意，点P在的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是．A（，1），B（，4），C（，4），，，，，，，，，同法可得，，，，点Q的轨迹形成的封闭图形面积．故选：B．【点睛】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共27分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．）11.若关于x的一元二次方程是一元二次方程，则m=________．【答案】2【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）,特别要注意a≠0的条件．【详解】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则|一定是二次项．

所以得到，解得m=2．故答案为2．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．要特别注意二次项系数a≠0这一条件，本题容易出现的错误是忽视m+2≠0这一条件．12.将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则的值是___________．【答案】17【解析】【分析】方程利用配方法整理后判断即可求出a与b的值．【详解】解：方程，变形得：，配方得：，即，则，故，故答案为：17．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13.已知，则的值是________．【答案】【解析】【分析】根据设x=2k，y=3k，z=4k，把x=2k，y=3k，z=4k代入，即可求出答案．【详解】解：设x=2k，y=3k，z=4k，所以，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质和求分式的值，能选择适当的方法求解是解此题的关键．14.如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，作BD⊥AC于点D，可以求得BD、AD的长，从而可以求出tanA的值．【详解】作BD⊥AC于点D，∵BC=2，AC=,点A到BC的距离为3，AB=,∴,即，解得：，∴AD=，故答案是：.【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．15.在中，，则的面积等于___________．【答案】【解析】【分析】过点B作于点H，易得为等腰直角三角形，根据勾股定理可得，再进行分情况讨论即可求解．【详解】解：∵，过点B作于点H，

∴为等腰直角三角形，∴，，∵，代入可解得，∵，，即，如图所示，点C有两种情况，中，当时，，当时，综上所述，的面积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，并且注意分情况讨论．16.如图，矩形中，点E在BC上，，点F为AE延长线上一点，满足，连接DF交BC于点G．若，，则______．【答案】【解析】【分析】首先根据等角的余角相等得到，然后可证，接着由相似三角形的性质得到对应边成比例可求，再由等腰三角形的性质和平行线的性质可证，最后利用勾股定理建立方程可求解．【详解】解：∵在矩形中，，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴垂直平分，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即：，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．利用勾股定理建立方程是解决本题的关键．17.如图，a//b//c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为，等边的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是______．【答案】【解析】【分析】如图所示，过点A作AD⊥直线c于D，过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E，先证明四边形ADEF是矩形，得到AF=DE，AD=EF，再由直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为，得到，，则，可设AB=AC=BC=x，由勾股定理得：，，，再由，即可得到，由此求解即可．【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥直线c于D，过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E，∵a∥b∥c，∴AD⊥直线a，EF⊥直线a，EF⊥直线c，∴四边形ADEF是矩形，∴AF=DE，AD=EF，∵直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为，∴，，∴，∵△ABC是等边三角形，∴可设AB=AC=BC=x，由勾股定理得：，，，又∵，∴，∴，∴，∴∴，∴，∴，解得（不符合题意的值已经舍去），∴△ABC的边长为．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，平行线的间距，解题的关键在于熟练掌握相关知识．18.如图，在平行四边形中，与交于点O，，，．点P从B点出发沿着方向运动，到达点O停止运动．连接，点B关于直线的对称点为Q．当点Q落在上时，则=___________，在运动过程中，点Q到直线的距离的最大值为___________．【答案】①.②.2【解析】【分析】①过点O作，垂足为H，根据题意可得，利用平行四边形的性质可得，然后在中，用锐角三角函数的定义求出、的长，在中，用锐角三角函数的定义求出、的长，从而求出、的长，进行计算即可求出的长；②根据题意可得点Q的轨迹为：以点A为圆心，长为半径的圆弧上，当点P运动到点O，则点Q在圆弧终点的位置，连接，过点Q作，垂足为G，连接OQ，根据轴对称的性质可得，，，从而可得，，进而求出，然后利用等腰三角形的性质以及三角形的外角性质可得，最后设，则，，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答．【详解】解：①过点O作，垂足为H，由题意得：，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，在中，，∴，，在中，，∴，，∴，∴，∴当点Q落在上时，则，②∵，∴点Q的轨迹为：以点A为圆心，长为半径的圆弧上，当点P运动到点O，则点Q在圆弧终点的位置，连接，过点Q作，垂足为G，连接，∵点B关于直线AP的对称点为Q，∴，，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，∴，在中，，∴，∴或（舍去），∴，∴在运动过程中，点Q到直线的距离的最大值为2．故答案为：；2【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共93分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．）19.解方程（1）（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）利用公式法即可求解此一元二次方程；（2）移项后提公因式求解一元二次方程．【小问1详解】解：，，故方程有两个不等实数根，，【小问2详解】解：，，，，，或，【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．20计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用特殊角的三角函数值代入计算；（2）用特殊角的三角函数值、幂的运算、二次根式运算法则代入．【小问1详解】【小问2详解】【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，幂的运算，二次根式的运算，属于基础计算题．21.已知关于x的一元二次方程x2-5x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1-2x2=5，求实数m的值．【答案】（1）；（2）6【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式计算即可；（2）根据根与系数的关系求出，，即可求出m的值．【详解】（1）∵一元二次方程有实数根，∴，∴，解得；（2）∵方程两实数根为x1，x2，∴，∴，∵3x1-2x2=5，∴，解得，∴，∵，∴m=6．【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟记根的判别式的三种情况及根与系数的两个关系式是解题的关键．22.如图，点C、D在线段AB上，是等腰三角形，，，且．（1）求的度数；（2）若，，BD=9，求的周长．【答案】（1）（2）17【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，根据相似三角形的性质得出，进而得到，即可解决问题；（2）结合（1）知，列出比例式即可解决问题．【小问1详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；【小问2详解】解：∵，∴，∵，∴∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长为17．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及其性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得到以及熟练掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例．23.如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，先在边上画点，使，再过点画直线，使平分矩形的面积；（2）在图（2）中，先画的高，再在边上画点，使．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）过点沿方向取一点，使得利用得线段比，即可找到点,再连接矩形的对角线交点即可；（2）利用三角形全等找到所需点，并进行简单证明．【详解】（1）画图如图（1）过点沿方向取一点，使得，得找到点,再连接矩形的对角线交点即可．（2）中，画图如图（2）画的高，步骤如下：如图，连接M，N(M，N都是格点上的点)交网格线于I，则，中，在中，，即在边上画点，使，步骤如下：如图，方法同上，找可得：，，为的中点，所以，即FY为BD的垂直平分线，FY交边于，即为所求点．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质，仅用无刻度的直尺作图是本题的难点，正确的计算和作图是解题的关键．24.某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价0.1元．销售量就减少2件．（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少m%．结果10月份利润达到3388元，求m的值（m＞10）．【答案】（1）售价应不高于15元．（2）m的值为40．【解析】【详解】试题分析：（1）设售价应为x元，根据不等关系：该文具店在9月份销售量不低于1100件，列出不等式求解即可；（2）先求出10月份的进价，再根据等量关系：10月份利润达到3388元，列出方程求解即可．试题解析：（1）设售价应为x元，依题意有1160-≥1100，解得x≤15．答：售价应不高于15元．（2）10月份的进价：10（1+20%）=12（元），由题意得：1100（1+m%）[15（1-m%）-12]=3388，设m%=t，化简得50t2-25t+2=0，解得：t1=，t2=，所以m1=40，m2=10，因为m＞10，所以m=40．答：m的值为40．考点：一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用25.如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段，，的和），经调试发现，当，时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离（线段AC）为10cm．求：（1）___________°，___________；（2）此时点B到桌面的距离．（参考数据：，，，）【答案】（1）45，5.5cm（2）28.78cm【解析】【分析】（1）延长交于点，则，先利用平角定义求出，然后利用直角三角形两个锐角互余可得，再利用角的和差关系可求出，最后根据题意利用支点到水平桌面的距离减去台灯底座高度即可求出的长；（2）先在Rt中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，然后在Rt中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．【小问1详解】解：（1）延长交于点D，则，∵，∴，∴，∵，∴，由题意得：（cm），故答案为：45；5.5cm；【小问2详解】在Rt中，，cm，∴（cm），（cm），由题意得：（cm），在Rt中，，∴（cm），∴（cm），∴此时点B到桌面的距离约为cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26.定义：如图，在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即thiA＝＝．请解答下列问题：已知：在△ABC中，∠C＝30°．（1）若∠A＝45°，求thiA的值；（2）若thiA＝，则∠A＝°；（3）若∠A是锐角，探究thiA与sinA的数量关系．【答案】（1）thiA＝；（2）60或120；（3）thiA＝2sinA【解析】【分析】（1）根据已知找到BC和AB的关系，依据定义计算出答案即可；（2）过点B向AC所在直线作垂线，根据thiA＝=，利用正弦首先表示出垂线段的长度，再根据正弦分两种情况：当∠A为锐角或钝角时，可得∠A=60°或120°．（3）根据题意，由thiA＝，sinA＝，sinC＝＝易得BC＝2BH，进而可得答案．【详解】（1）如图，作BH⊥AC，垂足为H．在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．在Rt△BHA中，sinA＝＝，即AB＝BH．∴thiA＝＝．（2）如图，过点B作BD⊥AC于D，∵thiA＝，∴thiA＝＝=，∴设AB=x，则BC=，∵∠C=30°，∠BDC=90°，∴BD=，在Rt△ABD中，sinA=，∴∠A=60°；如下图所示时，则∠BAC=120°，故答案为：60或120．（3）在Rt△ABC中，thiA＝．在Rt△BHA中，sinA＝．在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．∴thiA＝2sinA．27.在中，，在中，，请探索解答下列问题．【问题发现】（1）如图1，若，点D，E分别在上，则与的数量关系是___________，直线与的夹角为___________；【类比探究】（2）如图2，若，将绕点A旋转至如图2所示的位置，则与之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m=2，将绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出的长．【答案】（1），（2）不满足，，直线与的夹角为（3）或【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，计算即可；（2）过点C作于H，延长交于点F，根据直角三角形的性质得到，，证明，根据相似三角形的性质解答即可；（3）分点E在线段上、点D在线段上两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【小问1详解】解：∵，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴直线与